1、-函数的单调性一、引入课题一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：应函数的哪些变化规律：yx11-1yx1-11-1问：随问：随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？x1-11y-1-1画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律：1 1f (x) = x 从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降_?_?在区间在区间 _ _ 上，随着上，随着x的增大，的增大，f (x)的的值随着值随着 _ _ 2 2f (x) = -2x+1 从左至右图象上升还是下降从左至右
2、图象上升还是下降 _?_?在区间在区间 _ _ 上，随着上，随着x的增大，的增大，f (x)的值的值随着随着 _ _ 上升上升（-，+）增大增大下降下降（-，+）减小减小3 3f (x) = x2在区间在区间 _ _ 上，上，f (x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ _ 在区间在区间 _ _ 上，上，f (x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ _ x -4 -3 -2 -1 01234f(x) 16 941014916 (-,0减小减小（0，+）增大增大 y246810O- -2x84121620246210141822D对区间对区间D内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有
3、有f(x1)f(x2)图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升？OxIy区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间对区间D内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意任意区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升对区间对区间D内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2都都yf(x1)f(x2)O设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于如果对于区间区间D上的上的任意
4、任意当当x1x2时，时，都有都有 f(x1 ) f(x2 )，定义定义MN任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， D 称为称为 f (x)的的单调单调增区间增区间. 那么就说那么就说 f (x)在区间在区间D上上 是单调是单调增函数增函数，区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升D 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调减减函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. .xOyx1x2f
5、(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I, 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I, 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增当当x1x2时，时，都有都有 f (x1 ) f(x2 )，当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )，单调区间单
6、调区间注意：注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；是函数的局部性质；必须是对于区间必须是对于区间D D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。说某函数是增函数或减函数。下列说法是否正确？请画图说明理由。下列说法是否正确？请画图说明理由。（1 1）如果对于区间（）如果对于区间（0 0，+）上的任意）上的任意x x有有f( (x)f(0),(0),则函数在区间（则函数在区间（0 0，+）上单调）上单调递增。递增
7、。（2）对于区间（对于区间（a, ,b）上的某）上的某3 3个自变量的值个自变量的值 x1 1, ,x2 2, ,x3 3, ,当当 时，时， 有有 则函数则函数f( (x) )在区间（在区间（a, ,b）上单调递增）上单调递增。123( )()()()( )f af xf xf xf b123axxxb2 2单调性与单调区间单调性与单调区间 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间在某个区间D D上是增函数或减函数，那么上是增函数或减函数，那么就说函数就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间在这一区间具有（严格的）单调性，区间D D叫叫做做y=f(x)的单调区间：的单调区间：注
8、意：函数的单调区间是其定义域的子集；注意：函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内应是该区间内任意任意的两个实数，忽的两个实数，忽略需要略需要任意任意取值这个条件，就不能保取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，证函数是增函数（或减函数），例如，图图5 5中，在那样的特定位置上，虽然中，在那样的特定位置上，虽然使得使得 , ,但显然此图象表但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；示的函数不是一个单调函数；1x2x)(1xf)(2xf)(xf图5yx12()()f xf x几何特征几何特征：在自变量取值区间上，若单调在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下
9、降则函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数为减函数. .思考思考1 1：一次函数一次函数 的单调性，单调的单调性，单调区间：区间：)0(kbkxy思考思考2 2：二次函数二次函数 的单调性，单调区间：的单调性，单调区间：)0(2acbxaxy（二）典型例题例例1 1 如图如图6 6是定义在闭区间是定义在闭区间-5-5，55上的函数上的函数y=f(x)的图的图象，根据图象说出象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调的单调区间，以及在每一单调区间上，函数区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数. . O 书写单调区间时，注意区间端点的写法。书写单调区间时，
10、注意区间端点的写法。对于对于某一个点某一个点而言，由于它的函数值是一个而言，由于它的函数值是一个确定的确定的常数，无单调性可言常数，无单调性可言，因此在写单调因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。但对于某些不在定义域内的区间端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。书写时就必须去掉端点。练习：判断函数练习：判断函数 的单调区间。的单调区间。2( )2f xxxxxxxf2)(2 y21o单调递增区间：单调递增区间：单调递减区间：单调递减区间：1 ,( ), 1 ）上上是是增增函函数数。，（在在区区间间证证明明函函数数 xx
11、f12)( . 例例2 2内内任任意意是是区区间间设设),(,x 21 x121212( )()(21) (21)2(x)f xf xxxx0 x ,2121 xxx0)()(21 xfxf)()(21xfxf 即即证明：证明：。两两个个实实数数，且且 x 21x ),(12)( 在在区区间间则则函函数数xxf是是增增函函数数。 （取值）（取值）（作差）（作差）（下结论）（下结论）（定号）（定号）补例补例3 3证明函数单调性的方法步骤证明函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性的一上的单调性的一般步骤：般步骤： 任取任取x1，x2D
12、，且，且x1x2； 作差作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；下结论（即指出函数下结论（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性）上的单调性）.23)( . 2上上是是增增函函数数在在证证明明函函数数练练习习Rxxf f（x1） f（x2）f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）（）（3x12）（）（ 3x22） 3（x1x2）由由x1x2，得，得 x1x20.23)(上是增函数上是增函数在在函数函数Rxxf 设设x1，x2是是R上的任意两个实数，且上的任意
13、两个实数，且x1x2，则，则例例2 2 物理学中的玻意定律物理学中的玻意定律 ( (k k为正常数为正常数) )告诉我们告诉我们, ,对于一定量的气体对于一定量的气体, ,当体积当体积V 减减小时小时, ,压强压强 P 将增大将增大. .试用函数的单调性证明之试用函数的单调性证明之. .kpV=探究：探究：P30 P30 画出反比例函数画出反比例函数 的图象的图象这个函数的定义域是什么？这个函数的定义域是什么？它在定义域它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论上的单调性怎样？证明你的结论xy1 思考思考3 3：反比例函数反比例函数 的单调性，的单调性，单调区间：单调区间： )0(kxky.),
14、 0(1)(. 3减函数？证明你的结论减函数？证明你的结论上是增函数还是上是增函数还是在在函数函数例例 xxf设设x1，x2（0，+），且），且x1x2，则，则22111)(,1)(xxfxxf 212111)()(xxxfxf 2112xxxx 0), 0(,2121 xxxx01221 xxxx0)()(21 xfxf)()(21xfxf .), 0(1)(上是减函数上是减函数在在函数函数 xxf111Ox y1f（x）在定义域）在定义域上是减函数吗？上是减函数吗？减函数减函数 取取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）例例3 3 讨论函数讨论函数 在在(
15、-2,2)(-2,2)内的单内的单调性调性. .322 axxf(x)变式变式1 1：若二次函数：若二次函数2( )4f xxax 在区间在区间(-,1(-,1上单调递增，求上单调递增，求a a的取值范围。的取值范围。变式变式2 2：若二次函数：若二次函数2( )4f xxax 的递增区间是（的递增区间是（-,1-,1，则，则a a的取值情况是的取值情况是( )f x 是定义在是定义在R上的单调函数，且上的单调函数，且 的图的图象过点象过点A（0，2）和）和B（3，0）（1）解不等式）解不等式 （2）求适合）求适合 的的 的取的取值范围值范围( )f x(2 )(1)fxfx( )2( )0f
16、 xf x或x( )f x 是定义在（是定义在（-1，1）上的单调增函数，）上的单调增函数， 解不等式解不等式 (2 )(1)fxfx的单调区间。的单调区间。求函数求函数34xxy2 练习：练习：注意：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性在原函数定义域内讨论函数的单调性思考与讨论思考与讨论f(x)f(x)和和g(x)g(x)都是区间都是区间D D上的单调函数，上的单调函数，那么那么f(x)f(x)和和g(x)g(x)四则运算后在该四则运算后在该区间区间D D内还具备单调性吗？情况如何？内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？你能证明吗？能举例吗？1.1.若若f(x)f(x)为增函数
17、，为增函数，g(x)g(x)为增函数，为增函数，则则F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)为增函数。为增函数。2.2.若若f(x)f(x)为减函数，为减函数，g(x)g(x)为减函数，为减函数，则则F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)为减函数。为减函数。3.3.若若f(x)f(x)为增函数，为增函数，g(x)g(x)为减函数，为减函数，则则F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)为增函数。为增函数。4.4.若若f(x)f(x)为减函数，为减函数，g(x)g(x)为增函数，为增函数，则则F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)为减函数。为减函数。
