1、八年级 下册 18.2.1 矩形 1理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别 与联系； 2探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简 单的问题； 3探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半”这个定理 教学目标教学目标 重点难点重点难点 1 重点 矩形的性质 2 难点 矩形的性质的灵活应用 观察思考 有一个角是直角 的平行四边形叫做矩 形 小学中学习过的 长方形是矩形吗？正 方形是矩形吗？ 常见的矩形有哪些？ 平行四边形的性质： B C D A O （1）平行四边形的对边平行且相等； （2）平行四边形的对角相等，邻角互补； （3）平行四边形的对角线互相平分. 类比思考 探究性质 猜想
2、： 1 四个角都是直角 2 对角线相等 类比思考 探究性质 作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形所有 的性质此外，矩形还有哪些一般平行四边形没有的特 殊性质呢？ B C D A O O B C D A 已知：A=B=C=D=90 求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形 D C B A 证明： A=B=C=D=90 AB/CD AD/BC 四边形ABCD是平行四边形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 平行四边形ABCD是矩形 类比思考类比思考 探究性质探究性质 已知：四边形ABCD是矩形，求证： AC = BD A B C D 证明：在矩形ABCD中 有ABC = DAB = 90 BC
3、= AD 又AB = BA ABCBAD AC = BD 类比思考 探究性质 边 角 对角线 对称性 平行四 边形 矩形 对边平行 且相等 对角相等 邻角互补 对角线互 相平分 中心对称图形 对边平行 且相等 四个角 为直角 对角线互相 平分且相等 中心对称图形 轴对称图形 O 这是矩形所特有的性质 类比思考 探究性质 A B C D O 类比思考类比思考 探究性质探究性质 如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到 什么结论？ B C O A RtABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜是一条怎样的线段？它的长度与斜 边边AC有什么关
4、系？一般地，这个结论对所有直角三角形有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形 都成立吗？ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知：在已知：在RtABC中，中，ABC=900，BO是是AC上的中线上的中线. 求证: BO = AC O C B A D 证明证明: 延长延长BO至至D,使使OD=BO, 连结连结AD、DC. AO=OC, BO=OD 四边形ABCD是平行四边形. ABC=900 ABCD 是矩形 AC=BD 1 2 1 2 BO= BD= AC 21类比思考 探究性质 类比思考 探究性质 三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三位学
5、生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角 三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处三个三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处三个 人的位置对每个人公平吗？请说明理由人的位置对每个人公平吗？请说明理由 A B C O 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 解：解：四边形四边形ABCD是矩形 AC AC与与BD相等且互相平分 OA=OB. OA=OB. 又AOB=60， OAB是等边三角形. OA=AB=4. OA=AB=4. 运用性质 解决问题 例例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点 O， 且AOB=60，AB=4 cm求矩形对角线的长 A B C D O 小结:
6、如果矩形两对角 线的夹角是60或120, 则其中必有等边三角形 . 运用性质 解决问题 例例2 2 如图，矩形如图，矩形ABCD中，AB长长8cm，对角线比AD边长4cm。求AD的长及点的长及点A到到BD的距离AE的长的长 解：设解：设 AD=X AD=X cm,则对角线长（X+4）cm,在RtABD中，由勾股定理，得 X X2+82=(X+4)2,2+82=(X+4)2,解得解得 X=6 X=6， 即AD=6cm.由 AE*DB=AD*AB,解得 AE=4.8cm AE=4.8cm 分析：矩形的四个角都是直角，直角三角形斜边上的高，面积公式 运用性质 解决问题 例例3 如图，矩形ABCD中，
7、中，E是是BC上一点，DFAE于于F，若AE=BC 。求证：CE=EF. 解：四边形ABCD是矩形 B=90，且ADBC 1=2 DFAE ,AFD=90 B=AFD. 又 AD=BC=AE， ABE DFA(AAS) AF=BE. EF=EC. 分析： 方法1：证明 ABE DFA 方法2：连接DE 证明 DEF DEC 矩形具有而一般平行四边形不 具有的性质是 ( ) B.对边相等 A.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 C 练习1 1 已知:四边形ABCD是矩形 1.若已知AB=8，AD=6， 则AC_ OB=_ 2.若已知 DOC=120，AC8， 则AD= _cm AB=
8、_cm 练习2 2 O D C B A 10 5 4 343.已知ABC是Rt，ABC=900， BD是斜边AC上的中线 (1)若BD=3 则AC (2) 若C=30，AB5， 则AC ， BD . D C B A 6 10 5 练习3 3 练习4 如图：O是矩形ABCD的对角线的交点， AE平分BAD，AOD=1200 求AEO的度数 解：在矩形ABCD中 OA=BO=CO=DO,BAD =90， AOD=120AOB=60 AOB是等边三角形. AB=OB.AE平分BAD BAE=45 BEA=45 BE=AB BO=BE 易得 OBE=30 BOE=BEO=75, AEO=BEO-AEB
9、=75-45=30 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两 条对称轴 课堂小结 矩形 矩形的对边平行且相等；矩形的对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等且互相平分 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形的判定矩形的判定 教学目标 1掌握矩形的两个判定定理，能根据不同掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条件，选取适当的定理进行推理计算； 2经历矩形判定定理的猜想与证明过程，经历矩形判定定理的猜想与证明过程，渗透类比思想，体会类比学习和图形判定探究的一般思路探究的一般思路 重点难点重点难点 1 重点 矩形的判定 2 难点 矩形的
10、判定定理及性质的综合应用 四边形 平行 四边形 一个角 是直角 矩形 平行四边形 矩形 四边形 课前热身课前热身 1、矩形的四个内角都是_。 2、矩形的对角线_且 _。 直角 相等 互相平分 3、矩形是_对称图形。 轴对称和中心 4、在直角三角形中，_角所对的直角边等于斜边的_。 5、在直角三角形中，斜边上的_等于斜边的_。 30 一半 中线 一半 测量？ 木工朋友在制作窗框后，需木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？其根据又是什么呢？ 矩形的判定方法1： 有一个角是直角的平行四边形
11、是矩形. 在 ABCD中 B=90 四边形ABCD是矩形 A B C D 有一个角是直角 有两个角是直角 有三个角是直角 的 四边形是矩形吗？ 李芳同学用“边直角、边直角、边直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形。猜想她判断的依据？ 有三个角是直角的四边形是矩形 你能证明上述结论吗？ A B D C 已知：在四边形ABCD中，A=B=C=90 求证：四边形ABCD是矩形。 A B C D 证明： A=B=90 A+B=180 ADBC 同理可证：ABCD 四边形ABCD是平行四边形 又 A=90 四边形ABCD是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形
12、A B C D A=B=C=90 四边形ABCD是矩形 符号表达式：符号表达式： 四边形 ABCD是平行四边形， AB=DC且ABCD ABC DCB（SSS） AB/CD 又 四边形ABCD是平行四边形 ABCD是矩形 ABC=DCB 命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 已知：在 ABCD，AC=BD 求证： ABCD是矩形 A B C D 证明: 又BC=CB, 且AC=DB ABC+DCB=180 ABC=DCB=90 A B C D O 四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD 四边形ABCD是矩形 对角线相等的对角线相等的平行四边形平行四边形是矩形是矩形 符号表达式：符号表达式：
13、测量？ 现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？ 分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格 测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格 分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格 方案: 方案: 方案: 分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格 方案1: 先用两组对边相等判定是平行四边再用定义判定是矩形 测量出三个内角的度数，如果三个内
14、角都是直角，则窗框符合规格 方案2: 有三个角是直角的四边形是矩形 分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格 方案3: 先用两组对边相等判定是平行四边再用对角线相等判定是矩形 分别测量出一组对边的长度和这组同旁内角的度数，如果这组对边的长度相等，且这两个内角都是直角，则窗框符合规格 方案4: 先用一组对边平行且相等判定是平行四边再用定义判定是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形 。 （对角线互相平分且相等的四边形是矩形。） 有三个角是直角的四边形是矩形 。 方法1： 方法2： 方法3： 1、下列各句
15、判定矩形的说法是否正确？、下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）四个角都相等的四边形是矩形；）四个角都相等的四边形是矩形； （ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ ） （3）四个角都是直角的四边形是矩形。（）四个角都是直角的四边形是矩形。（ ） （6）两组对边分别平行，且对角线相等的四）两组对边分别平行，且对角线相等的四 边形是矩形边形是矩形 ( ) 运用性质 解决问题 2、已知如图四边形ABCD
16、 中，ABBC， ADBC，AD=BC ， 试说明四边形ABCD 是矩形。 证明： AD=CB ADCB 四边形ABCD是平行四边形 ABBC B=90 ABCD是矩形 A B C D 3、如图，平行四边形ABCD中，AB= 6，BC= 8，AC= 10 ， 求证 : 四边形ABCD是矩形。 D B C A 证明： AB=6,BC=8,AC=10 AB2+BC2=62+82=100=102=AC2 B=90 又 四边形ABCD是平行四边形 ABCD是矩形 4、BD、BE分别是ABC与它的邻补角的平分线，AEBE，ADBD， 求证：四边形AEBD是矩形。 证明： AEBE，ADBD E=90,
17、D=90 BD，BE分别是ABC与它的邻补角CBP的平分线 21211= ABC,2= ABP AEBD是矩形 C B A D E P 1 2 1+2= (ABC+ABP)= 180=90 2121即DBE=90 A O B D C 5、已知如图四边形ABCD 中 AO=BO=CO=DO ， 试说明四边形ABCD 是矩形。 证明： AO=BO=CO=DO AO=CO，BO=DO 四边形EFGH是平行四边形 即AC=BD 四边形ABCD是矩形 又AO+CO=BO+DO A B C D E F G H O 6、已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、D
18、O上的一点，且AE=BF=CG=DH。 求证：四边形EFGH是矩形。 证明： 四边形ABCD是矩形 AO=BO=CO=DO 又 AE=BF=CG=DH OE=OF=OG=OH 四边形EFGH 是平行四边形 又EO+OG=FO+OH 即EG=FH 四边形EFGH是矩形 A B D C H E F G 四边形ABCD是平行四边形 DAB+ABC=180 7、如图， ABCD 四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由 证明： 同理：EFG=90、FGH=90 四边形EFGH是矩形 AE、BE分别平分DAB、ABC EAB+EBA=90 即AEB=90 HEF=90 A
19、 B D C H E F G 8、如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由 证明： M P N Q 四边形ABCD是平行四边形 ABC=ADC 又AN、DM是ABC、ADC的平分线 ABQ=QBC=ADM=CDM 又ADBC AQB QBC= = ADM BQDM AE、BE分别平分DAB、ABC EAB+EBA=90 即AEB=90 HEF=90 四边形EFGH是矩形 同理：ANCP 四边形EFGH是平行四边形 A= B= C=90 ABCD AC = BD ABCD A=90 ABCD 是矩形 四边形ABCD 是矩形 1.判定一个四边形是矩形的方法是： 课堂小结 拓展： (1)对角线相等的四边形是矩形吗? (2)需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗? 归纳： 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 AC=BD 且OA=OC OB=OD 四边形ABCD是矩形 等腰梯形 课后作业 1，课本53页 练习 2，课本55页 练习
