1、Waves傅立叶变换用三角函数傅立叶变换用三角函数(正弦波与余弦波正弦波与余弦波)作为正交基函数作为正交基函数.窗口傅立叶变换（Gabor变换）： 窗口傅立叶变换的定义： 假设 f(t) L2(R)，则以g(t)作为窗函数的窗口傅立叶变换定义为：tb)-(t(t)b) ,(tj -degfWFgtjbb)-(t(t) egg,令：(t) (t),t(t)(t)b) ,( b-b,ggfdgfWF则： 窗口傅立叶变换的物理意义： 若g(t)的有效窗口宽度为Dt，则WFg(, b)给出的是f(t)在局部时间范围b - Dt/2, b + Dt/2内的频谱信息。 有效窗口宽度Dt越小，对信号的时间定
2、位能力越强。连续小波变换： 连续小波变换的定义： 假设信号 f(t) L2(R)，则它的连续小波变换定义为：t)ab-t(t)|a |b) )(a,(21 -dffW本小波小波原型或母小波或基： (t)小波函数，简称小波： Rb 0;a R,a ),ab-t(|a |(t)1/2-ba,尺度伸缩参数时间平移参数归一化因子(t) (t),t(t)(t)b) )(a,( ba,ba,fdffW一般可以简记为：连续小波变换的逆变换(t) (t),t(t)(t)b) )(a,( ba,ba,fdffWbaa(t)b) )(a,(C(t)2ba,1 -ddfWf d|)()(C 其中：互为对偶关系尺度和
3、时移参数的离散化： 离散化后的小波变换：k)-t(a|a |(t)(t)-j0-j/20ka,akj,j0j0小波函数：(t) (t),)ka ,)(a(C kj,j0j0kj,ffW变换系数： 怎样选择小波函数才能够重构信号： 小波函数仍应满足连续小波变换中的容许条件。 小波函数的选择与离散化的程度有关系，离散化参数取样间隔很小时对小波函数的限制也小，而离散化参数的取样间隔很大是对小波函数的限制也会很大。尺度和时移参数的离散化： 重构信号小波函数应满足的条件（框架理论）： 对任意的 f(t) L2(R)，称j,k为一个框架，如果存在正参数A和B（ 0 A B ），使得：2jk2kj,2|B
4、,|AfffZm l, k, j, , ,mk,j,lml,kj,kj,kj,，有：的对偶此时存在jkkj,kj,(t) ,(t) (t)fff：有唯一的小波级数展开使得任意的分析小波合成小波标准正交小波基： 标准正交小波基的优点： 变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。 标准正交小波基与它的对偶相同。 计算简单：jkkj,kj,(t)C(t) f重构信号：(t) (t),C kj,kj,f变换系数：多分辨分析多分辨分析 空间 2( )L R 一维正交多分辨分析及如何通过它构造小波一维正交多分辨分析及如何通过它构造小波 Mallat算法算法 一维双正交多分辨分析一维双正交多分辨分析一维正
5、交多分辨分析一维正交多分辨分析 常用多分辨分析（常用多分辨分析（Multiresolution Analysis,MRA）构造正交小波基）构造正交小波基MRA(非正交非正交)尺度函数尺度函数 t正交尺度函数正交尺度函数 t低通滤波器低通滤波器 kk Zhkk Zg高通滤波器高通滤波器 小波函数小波函数 tMallat算法算法正交化正交化两尺度方程两尺度方程小波方程小波方程 MRA令 中的一个函数子空间序列。若下列条件成立：中的一个函数子空间序列。若下列条件成立： jV, 2, 1,0,1,2,j ， 1) 单调性单调性： 11jjjVVVjZ ，2) 逼近性逼近性 ： 0jj ZV2( )jj
6、 ZVL R，3) 伸缩性伸缩性 ： 1( )(2 )jjf tVftV4) 平移不变性平移不变性 ： 00( )()f tVf tkV5) Riesz 基存在性基存在性 ： 存在函数 使 ，构成 0V的一个Riesz基（不一定是正交的不一定是正交的） 。称为尺度函数。称为尺度函数。 ,jVjZ多分辨分析多分辨分析。 0V ()k Ztk 21010VVVLRjV1jV2jV MRA（续）（续）两个重要的完备的内积空间两个重要的完备的内积空间 线性空间线性空间: 集合集合+代数运算（加法与数乘）代数运算（加法与数乘） 内积空间内积空间: 线性空间线性空间 + 内积运算内积运算 完备的内积空间完
7、备的内积空间: 内积空间内积空间+ 对对limit运算封闭运算封闭 泛函分析基础Banach空间空间 Hilbert空间空间空间的基底空间的基底 广义函数广义函数 线性算子线性算子代数 集上的运算 (集X上) 内部运算 是XXX的一个映射 外部运算 是AXX的一个映射(A是另一集)距离空间 矩离空间是一个集合矩离空间是一个集合X连同一个满足下述条连同一个满足下述条件的一个映射件的一个映射d:XXR (1) 正性正性d(x,y)0,且且d(x,y)0如且仅如如且仅如 x y (2) 对称性对称性 d(x,y)d(y,x) (3) 三角不等式三角不等式 d(x,z)d(x,y)d(y,z) 同一个
8、集合同一个集合,可以引入不同的距离可以引入不同的距离距离空间中相关概念 Cauchy序列 在距离空间在距离空间X中中,对于对于 的序列的序列 ,如果如果 则称序列则称序列 是是Cauchy 序列序列 极限点 CauchyCauchy序列序列 的极限点的极限点 稠密 A A是是X X的子集的子集, ,如如A A的闭包是的闭包是X,X,称称A A在在X X稠密稠密 空间可分 如果空间如果空间X X 有一个稠密子集有一个稠密子集Xxn0),(lim,mnmnxxdnxnxnx距离空间中相关概念(续) 空间完备 一个空间一个空间X X 称为是完备的称为是完备的, ,如果如果在这个空间中的每个在这个空间
9、中的每个CauchyCauchy序列都收敛于序列都收敛于X X 中的点。中的点。 线性无关 线性空间线性空间X X 一一个子集个子集A A称为是线称为是线性无关的性无关的, ,如果如果A A 的每个非空子集的每个非空子集 关系关系 推出推出 对对所有所有 成立。成立。nixi,Kxiinii,010ini 线性赋范空间 线性赋范空间 设X 是数域是数域K K 上的线性空间上的线性空间, ,如果对于每个元素如果对于每个元素xX,xX,相应一个实相应一个实数数x x,对于对于x,yx,yX, aX, aK, K, 有有: : (1) (1) x x0, 0, 如且仅如如且仅如x x0 0 (2)
10、(2) ax ax a ax x (3) (3) x xy yx xy y 则称则称x x是是x x的范数的范数, ,又称线性空间又称线性空间X X按范按范数构成线性赋范空间。数构成线性赋范空间。线性赋范空间相关问题 由范数导出距离 在线性赋范空间中，能由在线性赋范空间中，能由范数导出距离范数导出距离 d d( (x.yx.y) )x xy y 这时这时线性赋范空间也是距离空间。线性赋范空间也是距离空间。 按范数收敛 线性赋范空间线性赋范空间X X 中的序列收中的序列收敛敛 是是指指 即即按范数按范数收敛。收敛。 距离空间不必是赋范空间 距离可不由范距离可不由范数引入。数引入。aannlim0
11、|limaannBanach空间 Banach空间 一个完备的线性赋范空间称为Banach空间。 例1 空间 (1p)是满足 的实(复)数序列a 的集合，范数定义为 例2 空间 (1p)是R上满足下述条件的可测函数类 范数为plnapna |ppnlaap1)|(|)(RLpdxxfp|)(|ppdxxf1)| )(|(pf |空间 的重要不等式 Minkovski 不等式 是 Holder 不等式 对于p1,q1, 是 CauchySchwarz 不等式(p=q=2特殊情形)是)(RLppppgfgf|221|gffg111 qpqpgffg|1卷 积 卷积卷积(函数卷积) 两个函数f,g
12、的卷积定义 为 性质性质1 如果f,g ,那么f(x-y)g(y)对于所有x R,关于y是可积的。进而, 可积,且 ,还有下述不等式成立 性质性质2 如果f 是可积函数,g 是有界的局部可积函数,则卷积 是连续函数。)(1RL)(1RL)(xgf )()(1RLgf)(xgf dyygyxfxgf)()()(111|gfgf卷积性质(续) 性质性质3 如果f,g,h ,那么下列性质成立: (1) (可交换) (2) (可结合) (3) (可分配) )()(xfgxgf)()(hgfhgfhghfhgf)()(1RL内 积 内积内积 设X 为K (实或复)上的线性空间。在X上定义了内积内积是指，
13、对于X 中每一对元素f，g，都对应一个确定的复数，记为 并满足下述性质: (1) 对称性 (2) 线性 (3) 正性 ，且 如且仅如 其中 表示a 的复共轭。gf ,fggf,hghfhgf,0,ff0,fffaHilbert空间 内积空间内积空间 引入了内积的线性空间称为内积空间。 内积空间是线性赋范空间内积空间是线性赋范空间 在内积空间中,对每个 ，由内积导入范数，定义为 则X 就变成了一个线性赋范空间。 Hilbert空间空间 一个完备的内积空间称为Hilbert空间。21,|fffXf Hilbert空间的例子与两向量正交 例例1 空间是Hilbert空间，内积定义 为 例例2 2 空
14、间是Hilbert空间，内积 定义 为 两向量正交两向量正交 内积空间中的两向量x 与y 称为是正交的，如果 这时常写 。 )(2RL)(2Zldxxgxfgf)()(,nnnbaba,0,yxyx 内积空间性质 Schwarz不等式不等式 则 平行四边形等式平行四边形等式 则 勾股定理勾股定理 ，x与y 正交， 则Xyx,Xyx,Xyx,|,|yxyx)|(|2|2222yxyxyx22|yxyx正交(向量)组 正交组正交组 X 是一个内积空间,在X中的一个非零向量的集合S，如果S中任意两个不同元素x与y正交，则称S是X中的一个正交向量组。如果还有|x|=1对S中的所有x成立，则称S是规范正
15、交规范正交(向量向量)组。组。 规范正交序列规范正交序列 形成规范正交组的一个有限或无限的序列称为规范正交序列。 内积空间任一线性无关向量序列，都能使用Gram-Schmidt规范正交化过程，得到规范正交序列。规范正交基 完全规范正交序列完全规范正交序列 在内积空间X 中的一个规范正交序列 称为是完全的，如果对于每个 ， 有 规范正交基规范正交基 在内积空间X 中的一个规范正交组S称为是规范正交基，如果对于每个X中的元素x 都有唯一表示 其中 是S中不同元素。 内积空间X 中的一个完全规范正交序列是X中的一个规范正交基。nxXxnnnxxxx1,1nnnxxnnxC,规范正交基的相关结论 在H
16、ilbert空间H中的一个规范正交序列是完全的,如且仅如,对于所有 推出 Parseval公式公式 在Hilbert空间H中的一个规范正交序列是完全的,iff 对于每个 成立。 可分可分Hilbert空间空间 一个Hilbert空间是可分的，如果它包含一个完全规范正交序列。 在可分Hilbert空间中的每个正交集都是可数的。Nn0,nxxx22|,|nxxxHx空间的基底 研究Hilbert空间或Banach空间基底时，只考虑可分空间(即基底是可数的)。 Schauder基基 设X 是可分的Banach空间，对于 ，如果对于所有 ,存在唯一 使 则称 构成X 的一个Schauder基。 无约束
17、基无约束基 一个基称为是无约束基,如果除了满足上述Schauder条件外,还满足: (1) 由 能推出 (2) if 且 则 可分Hilbert空间中,一个无约束基还称Riesz基。XenXvCnNnnnNev1limnennnXeXennn|nnnXe1nXennnnHilbert空间的Riesz基 一个Riesz基还能用下述等价要求特征化:存在 使对于所有 ，有 成立。 上述条件加上 线性无关才是Riesz基. 规范正交基是A=B=1的Riesz基。 对于Riesz基，计算是数值稳定的。 Riesz基是仅次于一个正交基的最好的基。BA0Hu 222|,|uBeuuAnnne广义函数(Dir
18、ac函数) Dirac函数函数(x) (x)有下述 的 性 质 要找到通常意义下的函数满足上式是不可能的，但能找到通常意义下的函数序列，序列的极限满足上式。 例子例子 Gauss函数序列 则 有 (x)称为广义函数。)exp()(2nxxnn)exp(lim)(lim)(2nxxxnnnn1)(0,0)(dxxxx广义函数(x)的基本性质 函数f 在点x=u连续， 则 有 上面结论可写成卷积形式 为 引入Gauss函数族 为 重要结果重要结果 令 ，在f 的每个连续点有)()()(ufdxuxxf)()(xfxf)(1RLf )()(lim0 xfxgf0,4exp21: )(2xxg函数支撑 函数支撑函数支撑(支集支集) 函数 f :RC， 集 S=x :f (x)0 的闭包 称为函数 f 的支撑，记为 supp f 。 有限支撑有限支撑 如果存在实数a,b使suppf (a,b)则称函数f 具有有限支撑。 紧支撑紧支撑 如果支撑suppf 是闭的，且是有限的，则称函数f 具有紧支撑。S
