1、资金的时间价值基本概资金的时间价值基本概念和计算公式念和计算公式本章内容本章内容第一节第一节 资金时间价值的基本概念资金时间价值的基本概念第二节第二节 资金时间价值复利计算的基本公式资金时间价值复利计算的基本公式第三节第三节 名义利率和有效利率名义利率和有效利率第四节第四节 资金时间价值基本公式的应用资金时间价值基本公式的应用 了解资本与利息的关系、利息与利率的关系； 熟悉资金时间价值、现金流量、资金等值、单利与复利、名义利率与有效利率的基本概念； 掌握现金流量图的表达方式以及各种条件下资金等值的计算。拿破仑的拿破仑的“玫瑰花承诺玫瑰花承诺”1797年3月拿破仑在卢森堡一所小学演讲时说了这样一
2、番话：“为了答谢贵校对我，尤其是对我夫人的盛情款待，我不仅今天呈上一束玫瑰花，并且，在未来的日子里，只要法兰西存在一天，每年的今天我将会亲自派人送给贵校一束价值相等的玫瑰花，作为法兰西与卢森堡友谊的象征。”但时过境迁，拿破仑忙于政治事件，把这一承诺忘得一干二净，可卢森堡对这件事念念不忘，还载入了史册。 1984年底，卢森堡旧事重提，向法国提出违背“赠送玫瑰花”承诺的索赔，他们提出要么，就从拿破仑承诺1797年开始算起，用3路易作为一束玫瑰花的本金，以5厘复利计息，全部清偿这笔债务；要么，不清偿债故法国政府就要在各大报刊上公开承诺拿破仑是个言而无信的小人。“玫瑰花承诺玫瑰花承诺” 起初，法国政府
3、准备不惜重金赎回拿破仑的声誉，但经计算机计算，原来3路易的承诺，本息竟然高达138万多法郎，最后，法国政府经过思考答复是“以后，无论精神上物质上，法国将始终不渝地对卢森堡中小学事业予以支持与赞助，来兑现拿破仑将军一诺千金的玫瑰花信誉”，这一措辞最终得到了卢森堡人民的谅解。很古的时候，一个农夫在开春的时候没了很古的时候，一个农夫在开春的时候没了种子，于是他问邻居借了一斗稻种。秋天种子，于是他问邻居借了一斗稻种。秋天收获时，他向邻居还了一斗一升稻谷。收获时，他向邻居还了一斗一升稻谷。资金的时间资金的时间价值价值利息利息利润利润红利红利分红分红股利股利收益收益表现形式表现形式第一节第一节 资金时间价
4、值的基本概念资金时间价值的基本概念资金的时间价值：资金的价值资金的时间价值：资金的价值随着随着时间的变化时间的变化而产生的增值。而产生的增值。资金的时间价值存在的条件：资金的时间价值存在的条件： 1.1.参与劳动过程的周转参与劳动过程的周转 2. 2.经历一定的时间经历一定的时间一、资金时间价值的概念一、资金时间价值的概念=利率利率二、资金时间价值的度量二、资金时间价值的度量第一节第一节 资金时间价值的基本概念资金时间价值的基本概念利利率率本金在一个计息周期内的增值额本金在一个计息周期内的增值额 本金本金100%=利息利息（相对数）（相对数）（绝对数）（绝对数）单利单利(simple inte
5、rest)只对本金计息只对本金计息以以“本利和本利和”为基数为基数 更充分反映资金的时间价值更充分反映资金的时间价值三、单利与复利三、单利与复利第一节第一节 资金时间价值的基本概念资金时间价值的基本概念设：设：P本金本金 n计息周期数计息周期数 i利率利率 I总利息总利息 F本利和本利和F=P+I=P+Pi+Pi+Pi = P(1+ni)复利复利(compound interest)F= P(1+i) n表表2-2 复利计算公式的推导过程复利计算公式的推导过程 计息期数计息期数期初本金期初本金期末利息期末利息期末本利和期末本利和1PPi F1=P+Pi=P(1+i) 2P(1+i) P(1+i
6、) i F2=P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)23P(1+i)2P(1+i)2i F3=P(1+i)2+P(1+i)2i=P(1+i)3 n-1P(1+i)n-2P(1+i)n-2i Fn-1=P(1+i)n-2+P(1+i)n-2i=P(1+i)n-1 nP(1+i)n-1P(1+i)n-1i Fn=P(1+i)n-1+P(1+i)n-1i=P(1+i)n 四、现金流量图四、现金流量图第一节第一节 资金时间价值的基本概念资金时间价值的基本概念1 1、现金流量的概念、现金流量的概念2 2、现金流量表达的中式文字模型、现金流量表达的中式文字模型3 3、现金流量表达的西式图解模型、现金流
7、量表达的西式图解模型现金流量：现金流量：所研究的经济系统在各个时点上（年、季度、月等）所发生的资金流入和资金流出。流入：流入：资金的获得 流出：流出：资金的支出净现金流量：净现金流量：一定时期内现金流入量减去包括税金在内的现金流出量后的差额。净现金流量净现金流量= =流入流入- -流出流出（一）现金流量的概念（一）现金流量的概念（二）现金流量构成的表述方式（二）现金流量构成的表述方式中式文字模型中式文字模型 1.按现金流量发生时间表述按现金流量发生时间表述（1）初始现金流量：开始投资时发生的现金流量。（资金流出）（2）营业现金流量：投资项目投入使用后，在其寿命周期内由于生产经营所带来的现金流入
8、和流出的数量。（3）终结现金流量：投资项目完结时发生的现金流量。（资金流入） 例子：例子：建设项目根据现金流量发生的时间分为建设项目根据现金流量发生的时间分为三个期间：个期间：初始现金流量初始现金流量 营业现金流量营业现金流量0n-1 n终结现金流量终结现金流量12 2.按现金的流入流出表述按现金的流入流出表述 （1）现金流入量：在某一时点上流入系统地资金或货币量，如销售收入。 （2）现金流出量：在某一时点上流出系统地资金或货币量，如投资、成本费用等。现金流入量现金流出量（1 1）定义）定义 现金流量图是描述现金流量作为时间函数的图形，它能表示资金在不同时间点流入与流出的情况，是资金时间价值计
9、算中常用的工具。（2 2）三要素）三要素 大小、方向、时间点（三）现金流量图（三）现金流量图西式图解模型西式图解模型（3 3）绘制方法）绘制方法 横轴：横轴：时间轴，代表时间的延续，横轴上的坐标称为时点，是现金流量发生的时间； 时点：时点：“0”代表“现在”、“项目初始时刻”，是时间轴的起点； “15”每个时点都代表这一期的期末和下一期的起初，如下图“2”表示第二年的年末和第三年的年初； 箭头：箭头：向上代表“现金流入”，向下代表“现金流出”120345时间轴第二年年末和第三年年初起点150nn-13210100200200200（4）现金流量图案例）现金流量图案例作图方法和规则：作图方法和规
10、则：1.1.先画一条带时间坐标的水平箭线先画一条带时间坐标的水平箭线2.2.画垂直向上、向下的箭线画垂直向上、向下的箭线注意：注意：1.时点是连续的、要找准时点是连续的、要找准 2.视觉效果，箭线长短不用精确视觉效果，箭线长短不用精确 3.画图立脚点画图立脚点 某企业向银行贷款，第1年初借入10万元，第3年初借入20万元，第4年末偿还25万元，第5年末一次性还清15万元。请画出以借款人（企业）为立脚点的现金流量图和以贷款人（银行）为立脚点的现金流量图。作图12034512034510万元25万元20万元15万元10万元20万元25万元15万元借款人的现金流量图贷款人的现金流量图第一节第一节 资
11、金时间价值的基本概念资金时间价值的基本概念五、资金等值五、资金等值五、资金等值五、资金等值五、资金等值五、资金等值 （一）资金等值的概念（一）资金等值的概念1、概念、概念：（1）等值）等值如果两个事物的作用效果相同，则我们称它等值或等价。（2）资金等值）资金等值由于考虑了资金的时间价值，在不同时点、不同数量的资金可以具有相同的价值。比如，按年利率6%计算，现在的1000元，与1年后的1060元是等值的。2、资金等值包括三个因素、资金等值包括三个因素：（1）（资金）金额；（2）（资金发生）时间； （3） 利率五、资金等值五、资金等值（二）资金等值计算、现值、终值和贴现率（二）资金等值计算、现值、
12、终值和贴现率五、资金等值五、资金等值现值现值(Present Value) ：期初值：期初值 (P)终值终值(Future Value) ：本利和、将来值：本利和、将来值(F)时值时值(time Value)：指定时间资金的价值：指定时间资金的价值年金年金 (Annuity)：是定期或不定期的时间内一系列的是定期或不定期的时间内一系列的现金流入或流出（现金流入或流出（A）相关概念相关概念等额年金 (level annuity)五、资金等值五、资金等值等额年金等额年金 A (level annuity)定义：定义：从计算期的第一年至最后一年年末的效益额都相等时,称为等额年金。特征特征：1. 有一
13、组现金流量 2. 落在每个周期末 3. 数量相等（值相等） 4. 连续0n-1 n12AAAAAAAAAAA五、资金等值五、资金等值第二节第二节 资金时间价值复利计算的基本公式资金时间价值复利计算的基本公式一次支付系列等额支付系列均匀梯度支付系列均匀梯度终值公式一次支付现值公式等额支付积累基金公式等额支付年金终值公式等额支付年金现值公式等额支付资金回收公式均匀梯度现值公式一次支付终值公式均匀梯度等值年金公式一、一次支付系列一、一次支付系列第二节第二节 资金时间价值复利计算的基本公式资金时间价值复利计算的基本公式0n-1 n21PF=?43F=P(1+i)n=P(F/P，i，n)i1. 一次支付
14、一次支付终值终值公式公式当投入一笔资金P，利率为i，那么，n期后可收回多少金额F？ 例例2-3 2-3 某建筑公司进行技术改造，某建筑公司进行技术改造，9898年年初贷款初贷款100100万元，万元，9999年初贷款年初贷款200200万元，年万元，年利率利率8%8%，20012001年末一次偿还，问共还款多年末一次偿还，问共还款多少元？少元？解：先画现金流量图，如图解：先画现金流量图，如图2-62-6所示。所示。根据公式得：根据公式得：F=100F=100（F/PF/P，8%8%，4 4）+200+200（F/PF/P，8%8%，3 3）=100=1001.3605+2001.3605+20
15、01.25971.2597=387.99=387.99（万元）（万元）所以，所以，4 4年后应还款年后应还款387.99387.99万元。万元。一、一次支付系列一、一次支付系列第二节第二节 资金时间价值复利计算的基本公式资金时间价值复利计算的基本公式0n-1 n21P =?F43P=F(1+i)-n=F(P/F，i，n)i2. 一次支付一次支付现值现值公式公式如果计划n年后积累一笔资金F，利率为i，问现在一次投资P为多少？ 例例2-4 2-4 某公司对收益率为某公司对收益率为15%15%的项目进行的项目进行投资，希望投资，希望8 8年后能得到年后能得到10001000万元，计算现万元，计算现在
16、需投资多少？在需投资多少？解：先画现金流量图，见图解：先画现金流量图，见图2-82-8。 P=P=F(1+i)-n= =10001000（1+15%1+15%）-8=327=327（万元）（万元）二、等额支付系列二、等额支付系列第二节第二节 资金时间价值复利计算的基本公式资金时间价值复利计算的基本公式1. 等额支付等额支付系列系列年金终值年金终值公式公式涉及问题： 每年末等额存款A，利率i，n年后累计一次提取终值F，求F为多少？ F(1+i) F= A(1+i)n A),/(1)1 (niAFAiiAFn F= A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 (1)乘以乘以(1+i) (
17、1+i) F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2) (2) (1) 公式推导公式推导 等额支付系列年金终值系数 等额支付系列年金终值计算公式：0n-1 n21AF =?43(1+i) n-1=A(F/A，i，n)iAAAAAF=Ai 解：已知解：已知A=15A=15万元，万元，i=15%i=15%，n=20n=20年，求年，求F=F=？ F=15F=15（F/AF/A，i i，n n） =15 =15（F/AF/A，15%15%，2020） =15 =15102.443102.443 =1536.6 =1536.6（万元）（万元） 所以所以20
18、20年后总共有年后总共有1536.61536.6万元。万元。 例例2-5 2-5 某建筑企业每年利润某建筑企业每年利润1515万元，利率万元，利率15%15%，问，问2020年后总共有多少资金？年后总共有多少资金？F =?0n-1 n21AF =?43i练习练习1. 假设：若在年初利润假设：若在年初利润15万元，万元，n为为20年年AAAAA0n-1 n21AF =?43iAAAAA-1二、等额支付系列二、等额支付系列第二节第二节 资金时间价值复利计算的基本公式资金时间价值复利计算的基本公式2. 等额支付等额支付系列系列积累基金积累基金公式公式涉及问题： 在n年末筹措一笔基金F，利率为i，问每
19、年年末应该等额存储金额A为多少？与等额支付系列年金终值计算互逆运算(1+i) n-1F=Ai 等额支付系列累积基金公式：0n-1 n21A =?F43 i=F(A/F，i，n)iA=F(1+i) n-1A =?A =?A =?A =?A =? 解：已知解：已知F=5000F=5000800=400800=400（万元），（万元），i=8%i=8%，n=5n=5，求求A=A=？ A=400 A=400（A/FA/F，i i，n n） =400 =400（A/FA/F，8%8%，5 5） =400 =4000.170460.17046 =68.184 =68.184（万元）（万元） 所以该企业每年
20、末应等额存入所以该企业每年末应等额存入68.18468.184万元。万元。例例2-6 某企业打算五年后兴建一幢某企业打算五年后兴建一幢5000m2的住的住宅楼以改善职工居住条件，按测算每平方米造价宅楼以改善职工居住条件，按测算每平方米造价为为800元。若银行利率为元。若银行利率为8%，问现在起每年末应，问现在起每年末应存入多少金额，才能满足需要？存入多少金额，才能满足需要？二、等额支付系列二、等额支付系列第二节第二节 资金时间价值复利计算的基本公式资金时间价值复利计算的基本公式3. 等额支付等额支付系列系列年金现值年金现值公式公式涉及问题： 如果每年年末等额收入一笔年金A，问n年末此收入年金的
21、总和现值。根据等额支付系列年金终值公式：P=F/(1+i) n(1+i) n-1F=Ai0n-1 n21AP =?43(1+i) n-1=A(P/A，i，n)iAAAAAP=Ai (1+i) n 解：已知解：已知A=2A=2万元，万元，i=10%i=10%，n=10n=10年，求年，求P P是否大于是否大于或等于或等于1010万元？万元？ P=2P=2（P/AP/A，10%10%，1010） =2 =26.14456.1445 =12.289( =12.289(万元万元)10)10万元。万元。 因此所得净利润足以偿还银行贷款。因此所得净利润足以偿还银行贷款。 例例2-7 2-7 某建筑公司打算
22、贷款购买一部某建筑公司打算贷款购买一部1010万元的建万元的建筑机械，利率为筑机械，利率为10%10%。据预测此机械使用年限。据预测此机械使用年限1010年，年，每年平均可获净利润每年平均可获净利润2 2万元。问所得净利润是否足以万元。问所得净利润是否足以偿还银行贷款？偿还银行贷款？二、等额支付系列二、等额支付系列第二节第二节 资金时间价值复利计算的基本公式资金时间价值复利计算的基本公式0n-1 n21A =?P43i4. 等额支付等额支付系列系列资金回收资金回收公式公式AAAAA涉及问题： 投入一笔资金，分n年等额回收，求每年年末可收入多少？i(1+i) n=P(A/P，i，n)A=P(1+
23、i) n-1(1+i) n-1P=Ai (1+i) n等额支付系列年金现值公式：等额支付系列资金回收公式： 解：已知解：已知P=1000P=1000万元，万元，i=20%i=20%，n=20n=20年，求年，求A=A=？ A=1000 A=1000（A/PA/P，20%20%，2020） =1000 =10000.20540.2054 =205.4 =205.4（万元）（万元） 所以该项目年平均收益至少应为所以该项目年平均收益至少应为205.4205.4万元。万元。 例例2-8 2-8 某建设项目的投资打算用国外贷款，贷款某建设项目的投资打算用国外贷款，贷款方式为商业信贷，年利率方式为商业信贷
24、，年利率20%20%。据测算投资额为。据测算投资额为10001000万元，项目服务年限万元，项目服务年限2020年，期末无残值。问该年，期末无残值。问该项目年平均收益为多少时不至于亏本？项目年平均收益为多少时不至于亏本？0 1 2 3 niA1A1+GA1+2GA1+（n-1）G三、均匀梯度支付系列三、均匀梯度支付系列第二节第二节 资金时间价值复利计算的基本公式资金时间价值复利计算的基本公式1. 均匀梯度支付均匀梯度支付系列系列终值终值公式公式涉及问题：每年以一固定的数值递增（或递减）的现金支付情况0 1 2 3 4 niG2G(n-1)G0 1 2 3 4 niA1F= 例题 某建筑企业7年
25、前用3500元购买了一台机械，每年用此机械获得收益为750元，在第1年时维护费为100元，以后每年递增维护费20元，该单位打算现在（第7年末）转让出售，问若年利率为10%，最低售价为多少？三、均匀梯度支付系列三、均匀梯度支付系列第二节第二节 资金时间价值复利计算的基本公式资金时间价值复利计算的基本公式2. 均匀梯度支付均匀梯度支付系列系列现值现值公式公式P= 例2-9 某类建筑机械的维修费用，第一年为200万元，以后每年递增50元，服务年限10年，那么，服务期内全部维修费用的现值为多少？（i=10%）三、均匀梯度支付系列三、均匀梯度支付系列第二节第二节 资金时间价值复利计算的基本公式资金时间价
26、值复利计算的基本公式3. 均匀梯度支付均匀梯度支付系列系列等值年金等值年金公式公式 A 例2-10 某技术方案服务年限8年，第一年净利润10万元，以后每年递减0.5万元，如果年利率为10%，问相当于每年等额盈利多少元？九大基本公式九大基本公式 1、一次支付终值公式 2、一次支付现值公式 3、等额支付年金终值公式P=F(1+i)-n=F(P/F，i，n)F=P(1+i)n=P(F/P，i，n)(1+i) n-1=A(F/A，i，n)F=Ai 4、等额支付积累基金公式 5、等额支付年金现值公式 6、等额支付年金回收公式 i=F(A/F，i，n)A=F(1+i) n-1(1+i) n-1=A(P/A
27、，i，n)P=Ai (1+i) ni(1+i) n=P(A/P，i，n)A=P(1+i) n-1 7、均匀梯度支付终值公式 8、均匀梯度支付现值公式 9、均匀梯度支付年金公式inGniAFiGAF,1niFPinGniAPiGAP,)(1niFAinGiGAA,1注意事项注意事项 1. 项目方案的初始投资P，假设发生在寿命期初； 2. 寿命期内各项收入或支出，均假设发生在各期期末； 3. 本期的期末是下一期的期初； 4. 寿命期末发生的本利和F，记在第N期期末； 5. 等额支付系列A，发生在每一期期末。 当问题包括P，A时，P在第一期期初，A在第一期期末； 当问题包括F，A时，F和A同时在最后
28、一期期末发生。 在复利计算中，利率周期通常以年为单位，它可以与计息周期相同，也可以不同。当利率周期利率周期与计息周期计息周期不一致时，就出现了名义利率和有效利率的概念。第三节第三节 名义利率和有效利率名义利率和有效利率一、名义利率与有效利率的概念一、名义利率与有效利率的概念1.1.名义利率名义利率(r)(r) 名义利率是银行或其他金融机构报出的利率，是计息周期的利率与一年的计息次数的乘积。例如：例如： 按照月份计算利息，月利率为1%，也就是说，“年利率为12%，每月计息一次”，年利率12%成为名义利率r。2.2.有效利率有效利率 (i) (i) 年有效利率它首先是年利率，“有效”的意思是经过修
29、正的意思。其定义是按给定的期间利率（名义利率）每年复利m次时，能够产生相同结果的年利率，也称等价年利率。二、名义利率与有效利率的关系二、名义利率与有效利率的关系 P P本金，本金，r r名义利率名义利率, , n n一年中计息次数，一年中计息次数， 则每计息期的利率为则每计息期的利率为r/nr/n，根据一次支付终值公式，根据一次支付终值公式， 年末本利和：年末本利和： F=P1+r/n F=P1+r/nn n 一年末的利息：一年末的利息： I=P1+r/n I=P1+r/nn n P P 111nnnrppnrPi则年有效利率则年有效利率 例例2-82-8某项贷款为某项贷款为10001000万
30、元，年利率为万元，年利率为6%6%，按季计，按季计息，则息，则1010年后应偿还多少？年后应偿还多少？%14. 61)4%61 (4ei1814%)14. 61 (100010F%5 . 14%6i40%)5 . 11 (1000F8140. 11000)40%,5 . 1 ,/(1000PF1814解：解： 或或 有效利率有效利率线性内插法线性内插法 （四）线性内插法的应用注意：注意： 如果按照单利计息，名义利率如果按照单利计息，名义利率r=有效利率有效利率i； 如果按照复利计息，当如果按照复利计息，当n=1时，时，名义利率名义利率r=有效利有效利率率i； 如果按照复利计息，当如果按照复利计
31、息，当n1时，时，名义利率名义利率r有效利有效利率率i，且，且n越大，有效利率越大，有效利率i相对于相对于r越高。越高。单利计息：利不生利，不能够全面反映实际经济活动，很少采用单利计息。复利计息（利滚利）间断复利连续复利：如果计息周期为一定的时间区间（如年、季、月等），并按复利计息。：计息周期无限缩短，并按复利计息。从理论上讲，资金在不停的运动，每时每刻都在通过生产和流通领域增值，因而，应该采用连续复利计息，但是实际使用中，都采用较为简单地间断复利计息方式。三、连续复利计息的有效利率三、连续复利计息的有效利率复利在一年中无限多次计息，年有效利率为：复利在一年中无限多次计息，年有效利率为： 11
32、1lim11limrrrnnnnenrnri连续复利计息计算公式连续复利计息计算公式 某人现存款1000元，年利率10%，计息周期为半年，试用间断计息法和连续计息法计算5年末存款金额为多少？例题 练习册P65 12. 某企业向银行贷款100万元，期限为半年，年名义贷款利率为12%，每月计息一次，计算企业实际支付利息？ 练习册P69 45. 练习册P69 48. 已知年利率12%，每月复利计息一次，则季实际利率为（） A. 1.003% B. 3.00% C. 3.03% D. 4.00%第四节第四节 资金时间价值基本公式的应用资金时间价值基本公式的应用一、单利复利计算一、单利复利计算F三、九大
33、基本公式应用之未知货币三、九大基本公式应用之未知货币五、九大基本公式应用之未知年数五、九大基本公式应用之未知年数二、现金流量图做法二、现金流量图做法四、九大基本四、九大基本公式公式应用之未知利率应用之未知利率 一、单利复利计算一、单利复利计算F 例题：例题： 某人存入银行1000元，年利率为9%，分别用单利和复利计算3年后获本利和为多少？ 二、现金流量图做法二、现金流量图做法 例题：例题： 某企业向银行贷款，第1年初借入10万元，第3年初借入20万元，第4年末偿还25万元，第5年末一次还清15.225万元。画出以借款人（企业）为立脚点的现金流量图和以贷款人（银行）为立脚点的现金流量图。第四节第
34、四节 资金时间价值基本公式的应用资金时间价值基本公式的应用三、九大基本公式应用之未知货币（三、九大基本公式应用之未知货币（P P、F F、A A） 扩展题： 年利率12%，每半年计息1次，连续3年每年年末等额存款200元，则与其等值的第0年的现值为多少？第四节第四节 资金时间价值基本公式的应用资金时间价值基本公式的应用第四节第四节 资金时间价值基本公式的应用资金时间价值基本公式的应用四、九大基本公式应用之未知利率（四、九大基本公式应用之未知利率（i i）涉及问题： 已知现金流量P、F、A，计息期n，求利率i。解决方案：线性内插法近似地求出i 例2-18 某公司欲购买一台机床，卖方提出两种付款方
35、式： （1）若买时货款一次付清，售价为30000元； （2）若买时第一次支付货款10000元，以后24个月内每月支付1000元。 当时银行利率为12%，问若这两种付款方案在经济上是等值的话，那么，对于等值的两种付款方式，卖方实际上得到了多大的名义利率和有效利率？第四节第四节 资金时间价值基本公式的应用资金时间价值基本公式的应用五、九大基本公式应用之未知年数（五、九大基本公式应用之未知年数（n n）涉及问题： 已知现金流量P、F、A，利率i，求计息期n。解决方案：线性内插法近似地求出n，与计算未知利率大体相同。 例题 某企业年初从银行贷款1200万元，并商定从第一年开始每年末偿还250万元，若按照银行12%的年利率计算复利，那么该企业大约在第几年可还清贷款？
