1、第第 1 1页页 共共 1 14 4页页2022 年年全全国国统统一一高高考考数数学学试试卷卷（新新高高考考）一一、选选择择题题：本本题题共共 8 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 40 分分。在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的。1已知集合 1A ，1，2，4， |1| 1Bxx，则(AB )A 1，2B1，2C1，4D 1，42(22i)(12i)()A24i B24i C62iD62i3图 1 是中国古代建筑中的举架结构，AA，BB，CC，DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意
2、图，其中1DD，1CC，1BB，1AA是举，1OD，1DC，1CB，1BA是相等的步， 相邻桁的举步之比分别为110.5DDOD，111CCkDC，121BBkCB，131AAkBA已知1k，2k，3k成公差为 0.1 的等差数列，且直线OA的斜率为 0.725，则3(k )A0.75B0.8C0.85D0.94已知向量(3,4)a ，(1,0)b ，catb，若a，cb，c ，则(t )A6B5C5D65甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A12 种B24 种C36 种D48 种6若sin()cos()2 2cos()sin
3、4，则()Atan()1Btan()1Ctan()1 Dtan()1 7已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，第第 2 2页页 共共 1 14 4页页则该球的表面积为()A100B128C144D1928 已知函数( )f x的定义域为R， 且()()( ) ( )f xyf xyf x f y，f（1）1， 则221( )(kf k)A3B2C0D1二二、选选择择题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分。在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求。全全部部选选对对的的得得 5 分
4、分，部部分分选选对对的的得得 2 分分，有有选选错错的的得得 0 分分。9已知函数( )sin(2)(0)f xx的图像关于点2(3，0)中心对称，则()A( )f x在区间5(0,)12单调递减B( )f x在区间(12，11)12有两个极值点C直线76x是曲线( )yf x的对称轴D直线32yx是曲线( )yf x的切线10已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)C ypx p焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点( ,0)M p若| |AFAM，则()A直线AB的斜率为2 6B| |OBOFC| 4|ABOFD180OAMOBM 11如图，四边形ABCD为正方形，ED 平面A
5、BCD，/ /FBED，2ABEDFB记三棱锥EACD，FABC，FACE的体积分别为1V，2V，3V，则()A322VVB31VVC312VVVD3123VV12若x，y满足221xyxy，则()A1xy B2xyC222xyD221xy第第 3 3页页 共共 1 14 4页页三三、填填空空题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分。13已知随机变量X服从正态分布2(2,)N，且(22.5)0.36PX，则(2.5)P X 14 （5 分）曲线|yln x过坐标原点的两条切线的方程为，15设点( 2,3)A ，(0, )Ba，若直线AB关于ya对称的直线与圆2
6、2(3)(2)1xy有公共点，则a的取值范围是16 已知直线l与椭圆22163xy在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且| |MANB，| 2 3MN ，则l的方程为四四、解解答答题题：本本题题共共 6 小小题题，共共 70 分分。解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤。17 （10 分） 已知na是等差数列， nb是公比为 2 的等比数列， 且223344ababba（1）证明：11ab；（2）求集合1 |kmk baa，1500m 中元素的个数18 （12 分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边
7、长的三个正三角形的面积依次为1S，2S，3S已知12332SSS，1sin3B （1）求ABC的面积；（2）若2sinsin3AC ，求b19 （12 分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ；第第 4 4页页 共共 1 14 4页页（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40，50)的人口占该地区总人口的16%从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间4
8、0，50)，求此人患这种疾病的概率 （以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001)20 （12 分）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点（1）证明：/ /OE平面PAC；（2）若30ABOCBO ，3PO ，5PA ，求二面角CAEB的正弦值21 （12 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx （1）求C的方程；（2） 过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点， 点1(P x，1)y，2(Q x，2)y在C上，且120 xx，10y 过P且斜率为3的直线与过Q
9、且斜率为3的直线交于点M从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立M在AB上；/ /PQAB；| |MAMB注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分22 （12 分）已知函数( )axxf xxee（1）当1a 时，讨论( )f x的单调性；（2）当0 x 时，( )1f x ，求a的取值范围；第第 5 5页页 共共 1 14 4页页（3）设*nN，证明：222111(1)1122ln nnn第第 6 6页页 共共 1 14 4页页2022 年年全全国国统统一一高高考考数数学学试试卷卷（新新高高考考）参参考考答答案案一一、选选择择题题：本本题题共共 8 小小题题，每每小小题题 5 分分
10、，共共 40 分分。在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的。1B2D3D4C5B6C7A8A二二、选选择择题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分。在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求。全全部部选选对对的的得得 5 分分，部部分分选选对对的的得得 2 分分，有有选选错错的的得得 0 分分。9AD10ACD11CD12BC三三、填填空空题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分。130.1414e0 xy，e0 xy1513，32
11、1622 20 xy四四、解解答答题题：本本题题共共 6 小小题题，共共 70 分分。解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤。17 （10 分） 已知na是等差数列， nb是公比为 2 的等比数列， 且223344ababba（1）证明：11ab；（2）求集合1 |kmk baa，1500m 中元素的个数【分析】 （1）设等差数列na的公差为d，由题意可得1111224adbadb，11124(3 )adbdad，根据这两式即可证明11ab；（2）由题设条件可知122km，由m的范围，求出k的范围，进而得出答案第第 7 7页页 共共 1 14 4页页【解答】
12、 （1）证明：设等差数列na的公差为d，由2233abab，得1111224adbadb，则12db，由2244abba，得111128(3 )adbbad，即11124(3 )adbdad，11ab（2）由（1）知，1122dba，由1kmbaa知，11112(1)kbamda，111112(1) 2kbbmbb，即122km，又1500m ，故12 21000k，则210k ，故集合1 |kmk baa，1500m 中元素个数为 9 个18 （12 分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为1S，2S，3S已知12332SSS，1s
13、in3B （1）求ABC的面积；（2）若2sinsin3AC ，求b【分析】 （1）根据12332SSS，求得2222abc，由余弦定理求得ac的值，根据1sin2SacB，求ABC面积（2）由正弦定理得sinsinbAaB，sinsinbCcB，且3 24ac ，求解即可【解答】 （1）22221132sin60224Saa ，22222132sin60224Sbb ，22223132sin60224Scc ，22222212333332224442SSSabc，解得：2222abc，1sin3B ，22220abc，即cos0B ，2 2cos3B，2222 2cos23acbBac，第第
14、 8 8页页 共共 1 14 4页页解得：3 24ac ，12sin28ABCSacBABC的面积为28（2）由正弦定理得：sinsinsinbacBAC，sinsinbAaB，sinsinbCcB，由（1）得3 24ac ，sinsin3 2sinsin4bA bCacBB已知，1sin3B ，2sinsin3AC ，解得：12b 19 （12 分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70)
15、的概率；（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40，50)的人口占该地区总人口的16%从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40，50)，求此人患这种疾病的概率 （以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001)【分析】 （1）利用平均数公式求解即可（2）利用频率分布直方图求出频率，进而得到概率（3）利用条件概率公式计算即可【解答】 （1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：第第 9 9页页 共共 1 14 4页页50.001 10150.002 10250.012 10350.01710450.023
16、10550.020 10650.01710750.006 10850.002 1047.9x 岁（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70)的频率为：(0.0120.0170.0230.0200.017) 100.89，估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70)的概率为 0.89（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间40，50)为事件B，此人患这种疾病为事件C，则()0.1%0.023 10(|)0.0014( )16%P BCP C BP B20 （12 分）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点（1）证明：/ /OE平面PAC；（2）
17、若30ABOCBO ，3PO ，5PA ，求二面角CAEB的正弦值【分析】 （1）连接OA，OB，可证得OAOB，延长BO交AC于点F，可证得/ /OEPF，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面ACE及平面ABE的法向量，利用向量的夹角公式得解【解答】 （1）证明：连接OA，OB，依题意，OP 平面ABC，又OA 平面ABC，OB 平面ABC，则OPOA，OPOB，90POAPOB ，又PAPB，OPOP，则POAPOB ，OAOB，延长BO交AC于点F，又ABAC，则在Rt ABF中，O为BF中点，连接PF，在PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则/ /OEPF
18、，OE 平面PAC，PF 平面PAC，/ /OE平面PAC；（2）过点A作/ /AMOP，以AB，AC，AF分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空第第 1 10 0页页 共共 1 14 4页页间直角坐标系，由于3PO ，5PA ，由（1）知4OAOB，又30ABOCBO ，则4 3AB ，3(2 3,2,3), (4 3,0,0), (0,0,0),(3 3,1, )2PBAE，设ACt，则(0C，t，0)，设平面AEB的一个法向量为( , , )nx y z，又3(4 3,0,0),(3 3,1, )2ABAE ，则4 3033 302n ABxn AExyz ，则可取(0,3, 2)n ，
19、设平面AEC的一个法向量为( , , )ma b c，又3(0, ,0),(3 3,1, )2ACtAE ，则033 302m ACtbm AEabc ，则可取(3,0,6)m ，设锐二面角CAEB的平面角为，则4 3cos|cos,| |13m nm nm n ，211sin113cos，即二面角CAEB正弦值为111321 （12 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx （1）求C的方程；（2） 过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点， 点1(P x，1)y，2(Q x，2)y在C上，且120 xx，10y 过P且斜率为3的直线与
20、过Q且斜率为3的直线交于点M从第第 1 11 1页页 共共 1 14 4页页下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立M在AB上；/ /PQAB；| |MAMB注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【分析】 （1）根据渐近线方程和222abc即可求出；（2）首先求出点M的轨迹方程即为3MMyxk，其中k为直线PQ的斜率，若选择：设直线AB的方程为(2)yk x，求出点M的坐标，可得M为AB的中点，即可| |MAMB；若选择：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(2)(0)ym xm，求出点M的坐标，即可/ /PQAB；若选择：设直线AB的方程为(2)yk x，设AB的中点(CC
21、x，)Cy，求出点C的坐标，可得点M恰为AB中点，故点M在直线AB上【解答】 （1）由题意可得3ba，222ab，解得1a ，3b ，因此C的方程为2213xy，（2）设直线PQ的方程为ykxb，(0)k ，将直线PQ的方程代入2213xy可得222(3)230kxkbxb，12223kbxxk，212233bx xk ，22212121222 33()43bkxxxxx xk，设点M的坐标为(.)MMxy，则11223()3()MMMMyyxxyyxx ，两式相减可得12122 33()Myyxxx，1212()yyk xx，12122 33()()Mxxxk xx，解得22233Mk bk
22、kbXk，两式相减可得12122()3()Myyyxx，第第 1 12 2页页 共共 1 14 4页页1212()2yyk xxb，121223()()2Myxxk xxb，解得2223333Mbkbyk，3MMyxk，其中k为直线PQ的斜率；若选择：设直线AB的方程为(2)yk x，并设A的坐标为3(x，3)y，B的坐标为4(x，4)y，则3333(2)3yk xyx，解得323kxk，32 33kyk，同理可得24243kxk，42 33kyk，234243kxxk，342123kyyk，此 时 点M的 坐 标 满 足(2)3MMMMyk xyxk， 解 得234221()32MkXxxk
23、，34261()32Mkyyyk，M为AB的中点，即| |MAMB；若选择：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点(2,0)F，此时不在直线3yxk上，矛盾，当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为(2)(0)ym xm， 并设A的坐标为3(x，3)y，B的坐标为4(x，4)y，则3333(2)3ym xyx，解得323mxk，32 33myk，同理可得423mxm，42 33mym ，此时234212()23Mmxxxm，34216()23Mmyyym，由于点M同时在直线3yxk上，故2362mmk，解得km，第第 1 13 3页页 共共 1 14 4页页因此/ /PQAB若选择，设直线A
24、B的方程为(2)yk x，并设A的坐标为3(x，3)y，B的坐标为4(x，4)y，则3333(2)3yk xyx，解得323kxk，32 33kyk，同理可得423kxk，42 33kyk ，设AB的中点(CC x，)Cy，则234212()23Ckxxxk，34216()23Ckyyyk，由于| |MAMB，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线1()CCyyxxk 上，将该直线3yxk联立，解得2223MCkxxk，263MCkyyk，即点M恰为AB中点，故点M在直线AB上22 （12 分）已知函数( )axxf xxee（1）当1a 时，讨论( )f x的单调性；（2）当0 x 时，(
25、)1f x ，求a的取值范围；（3）设*nN，证明：222111(1)1122ln nnn【分析】 （1）先求出导函数( )fx，再根据导函数( )fx的正负即可得到函数( )f x的单调性（2）构造函数( )( )11(0)axxg xf xxeex ，则( )(0)0g xg在0 x 上恒成立，又( )axaxxg xexaee，令( )( )h xg x，则( )(2)axaxxh xaeaxee，根据(0)h的正负分情况讨论，得到( )g x的单调性以及最值，判断是否满足题意，即可求出a的取值范围（3）求导易得12(1)tlnt tt，令11tn，利用上述不等式，结合对数的运算性质即可
26、证得结论【解答】 （1）当1a 时，( )(1)xxxf xxeeex，( )(1)xxxfxexexe，0 xe ，当(0,)x时，( )0fx，( )f x单调递增；当(,0)x 时，( )0fx，( )f x单调递减第第 1 14 4页页 共共 1 14 4页页（2）令( )( )11(0)axxg xf xxeex ，( )1f x ，( )10f x ，( )(0)0g xg在0 x 上恒成立，又( )axaxxg xexaee，令( )( )h xg x，则( )()(2)axaxaxxaxaxxh xaea eaxeeaeaxee，(0)21ha ，当210a ，即12a ，00
27、( )(0)( )(0)limlim00nng xgg xhxx ，00 x，使得当0(0,)xx，有( )0g xx，( )0g x ，所以( )g x单调递增，0()(0)0g xg，矛盾；当21 0a ，即12a，1111(1)(1)2222( )0 x lnxxxaxaxxax lnaxxxxg xxexaeeeeeeee，所以( )g x在0，)上单调递减，( )(0)0g xg，符合题意综上所述，实数a的取值范围是12a（3）求导易得12(1)tlnt tt，令11tn，11112111lnnnn，可得11(1)11nlnnn，211()nlnnnn，21111231()(.)(1)12nnkkknlnlnln nknkk，即222111.(1)1122ln nnn
