1、一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的化简得化简得即即说明说明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, , 不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程. .解解 设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为轨迹轨迹方程方程. . ,BMAM 则则),(zyxM222)3()2()1( zyx222)4()1()2( zyx. 07262 zyx1. 定义定义0),(zyxFSzyxo如
2、果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的的图形图形.(2) 不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面的实例：曲面的实例：例例1故所求方程为故所求方程为方程方
3、程. 特别特别, ,当当M0在原点时在原点时, ,球面方程为球面方程为解解 设轨迹上动点为设轨迹上动点为RMM0即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹xyzoM0M表示上表示上(下下)球面球面 .求动点到定点求动点到定点Rzzyyxx 202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx 2222Rzyx ),(0000zyxM),(zyxM222yxRz 例例2解解 配方得配方得5, )0, 2, 1(0 M此方程表示此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形. .其图形可能是其
4、图形可能是的曲面的曲面. . 半径为半径为的球面的球面. .0)(222 GFzEyDxzyxA球心为球心为 一个一个球面球面, , 或或点点 , , 或或虚轨迹虚轨迹. .5)2()1(222 zyx表示怎样表示怎样研究方程研究方程042222 yxzyx(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程时已知方程时 , 研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状( 必要时需作图必要时需作图 ). 2. 两个基本问题两个基本问题以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：以以M0 (x0 , y0 ,
5、z0 )为球心，为球心，R 为半径的为半径的球面方程为球面方程为二、几种特殊的曲面及其方程二、几种特殊的曲面及其方程0AxByCzD2. 球面球面2222000()()()xxyyzzR3. 旋转曲面旋转曲面1. 平面平面3.旋转曲面旋转曲面(1) 定义定义一条平面曲线绕其平一条平面曲线绕其平面上的一条面上的一条定直线定直线旋旋转一周所成的曲面称转一周所成的曲面称为为旋转曲面旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴,),( zyxM122yyxd 如图，如图，代入代入221,yxyzz 将将0),(1 zyf(2) 转轴为坐标轴的旋转曲面转轴为坐标轴的旋转曲面 方程的特征：方
6、程的特征：xyzo( , )00f y zx d M), 0(11zyM 轴的平面轴的平面作垂直于作垂直于过点过点zM1轴的距离轴的距离到到点点zM2, 0),(22 zyxf即为即为yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 0),( zyf绕绕 z轴轴 旋转一周的旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程. 得旋转曲面得旋转曲面 的的方程：方程：由此可见：绕由此可见：绕 z 轴旋转，轴旋转，z 坐标不动，将坐标不动，将.22yxy 换成换成同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),( zyf绕绕y轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 . 0),(22 zxyf绕坐
7、标轴旋转的旋转曲面方程的绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：特点：出现某出现某两变量的平方和两变量的平方和.(3) 常见的旋转曲面常见的旋转曲面 圆柱面：圆柱面：222ayx 直直线线 ：绕绕 轴轴旋旋转转而而成成.0yaCzx yz ox o 圆锥面圆锥面 直线直线 L 绕另一条与其绕另一条与其 相交的直线旋转一周，所相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫得旋转曲面叫圆锥面圆锥面两直线的交点叫圆锥面两直线的交点叫圆锥面的的顶点顶点, 叫圆锥面的叫圆锥面的半顶角半顶角. )2 两直线的夹角两直线的夹角 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角轴，半顶角为为 的圆锥面
8、方程的圆锥面方程(0 yoz面上直线面上直线: 0cotxyz 绕绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：轴旋转一周所得的圆锥面方程： cot22yxz .22yxbz xyzo ，则，则令令 cot b绕绕x轴旋转而成的曲面轴旋转而成的曲面: 122222 czyax122222 czayx双叶双曲面双叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面绕绕z轴旋转而成的曲面：轴旋转而成的曲面：zy xozyxoo 旋转双曲面旋转双曲面 012222yczax双曲线双曲线122222 czyax双叶双曲面双叶双曲面122222 czayx单叶双曲面单叶双曲面.2101旋转曲面方程旋转曲面方程轴旋转而成的轴旋转而成的绕绕求
9、直线求直线zzyx 解解例例3,),( zyxM过点过点 M 作垂直于作垂直于z 轴轴的平面的平面 ，它与所给直线，它与所给直线 L的交点为的交点为), 1(11zyM.211zy 则则PMdMP1 0102122 yyx即即故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为: :. 141222 zyx旋转单旋转单叶双曲叶双曲面面dPxyzO), 1(1zyM ),(zyxML注注一般地，旋转单叶双曲面一般地，旋转单叶双曲面122222 czayx还可成是由直线还可成是由直线czayax 0或或czayax 0绕绕z轴旋转而成轴旋转而成.因而旋转单叶双曲面又称为因而旋转单叶双曲面又称为直纹面直纹面.x
10、yzO 旋转椭球面旋转椭球面绕绕 y 轴旋转而成的曲面：轴旋转而成的曲面：122222 byazx 012222zbyax椭圆椭圆椭圆椭圆 012222xczay 绕绕y轴和轴和 z轴轴； 绕绕y轴旋转轴旋转 绕绕z轴旋转轴旋转 122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面0 p 旋转抛物面旋转抛物面 抛物线抛物线 022xpzy pzyx222 绕绕 z 轴旋转而成的曲面：轴旋转而成的曲面： 旋转抛物面旋转抛物面xzyo(1) 定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 C 移动的移动的直线直线L 所形成的曲面称为柱面所
11、形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线C 叫柱叫柱面的面的准线准线，动直线，动直线 L 叫柱面的叫柱面的母线母线.4. 柱面柱面xyzo注注 柱面的准线不惟一柱面的准线不惟一.o准线准线C准线准线C母线母线 L(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程的特征母线平行于坐标轴的柱面方程的特征方程中缺少一个变量方程中缺少一个变量 (该坐标轴的变量该坐标轴的变量)如：如：( , )0F x y 表示母线表示母线 / z 轴的柱面轴的柱面.事实上，事实上，( , , )M x y z过点过点M 作垂直于作垂直于 xoy 面面的垂线，的垂线，( , )0.F x y 则此垂线与则此垂线与 C的交点的交点M1(
12、x, y, 0)的坐标的坐标必满足必满足 ：反之，不在反之，不在上的点上的点M，其在，其在 xoy 面上的投影点面上的投影点M1不在不在C上，从而其坐标不满足该方程上，从而其坐标不满足该方程.xyzoo准线准线C ：母线母线 L( , )00F x yz 曲面曲面 M M1类似地，类似地，( , )0:G y z 表示母线表示母线 / x 轴的柱面轴的柱面.表示母线表示母线 / y 轴的柱面轴的柱面.( , )0:H z x 只含只含yx,而而缺缺 z的方程的方程0),( yxF，在空间直，在空间直角坐标系中表示母线角坐标系中表示母线平行于平行于 z轴的柱面，其准线为轴的柱面，其准线为xoy面
13、上曲线面上曲线C. 小结：小结：（其他类推）（其他类推）(3) 常见的二次柱面常见的二次柱面 椭圆柱面椭圆柱面22221xzac母线母线 / 轴轴yxyzoo 双曲柱面双曲柱面12222 byaxz母线母线 / 轴轴xyzoo 抛物柱面抛物柱面22(0)xpypz母线母线 / 轴轴xy 特殊柱面：特殊柱面： 平面平面xyzoxyzo内容小结内容小结1. 空间曲面空间曲面三元方程三元方程0),(zyxF2. 球面球面2202020)()()(Rzzyyxx3. 旋转曲面旋转曲面如如, 曲线曲线00),(xzyf绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:0),(22zyxf4. 柱面柱面如如, 曲面曲面
14、0),(yxF表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如, 椭圆柱面椭圆柱面, 双曲柱面双曲柱面, 抛物柱面等抛物柱面等 .(旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法).(母线、准线母线、准线). 1. 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？几何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考题思考题解解平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平行于平行于y轴的直线轴的直线 平行于平行于yoz面的平面面的平面 圆心在圆心在)0 , 0(， 半径为
15、半径为2的圆的圆 以以z轴为中心轴的圆柱面轴为中心轴的圆柱面 斜率为斜率为1的直线的直线平行于平行于z轴的平面轴的平面 方程方程2.r直线直线1101:zyxL 绕绕 z 轴旋转一周轴旋转一周, 求此旋转求此旋转转曲面的方程转曲面的方程. 解解在在 L 上任取一点上任取一点), 1(000zyM设设 M(x, y, z)为为M0 绕绕z 轴旋转轨迹上任一点轴旋转轨迹上任一点,Lxozy0MM则有则有00zy z 22yx 201y 旋转曲面方程旋转曲面方程1222 zyxr将将 y0=z 代入第二方程，得代入第二方程，得备用题备用题例例1-1求与原点求与原点O及及)4 , 3 , 2(0M的距
16、离之比为的距离之比为 2:1 的点的全体所组成的曲面方程的点的全体所组成的曲面方程. 解解设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点， ,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx.9116)34()1()32(222 zyx所求方程为所求方程为方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2() 1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用平面用平面cz 去截图形得圆：去截图形得圆： )1(1)2()1(22 ccyx 当平面当平面cz 上下移动时，得上下移动时，得到一系列圆到一系列圆. 圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1 半径随半径随c的增大而增大的增大而增大. 图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解例例2- 1zxyoc
