1、质量几何和面积几何质量几何和面积几何 o 质点系的质心、形心质点系的质心、形心o 转动惯量、惯性矩和惯性积转动惯量、惯性矩和惯性积o 惯量主轴、主惯性矩惯量主轴、主惯性矩 第一节第一节 质点系的质量中心质点系的质量中心mrmriiC矢量式：矢量式：质点系的质量中心质点系的质量中心mrmriiCmzmzmymymxmxiiCiiCiiC矢量式：矢量式：分量式：分量式：质点系的质心质点系的质心mmzzmmyymmxxmCmCmCddd积分式：积分式：重心（在重力场中，用合力矩定理）重心（在重力场中，用合力矩定理）PPzzPPyyPPxxiCiCiC,iiPgm()iPP重心（积分式）重心（积分式）
2、)d(PPPPPzzPPyyPPxxPCPCPCd,d,d形心（均质材料，质量密度形心（均质材料，质量密度为常数为常数）积分式：积分式：VVzzVVyyVVxxVCVCVCddd 平面图形的形心平面图形的形心积分式：积分式：AAyyAAxxACACdd空间组合体的形心公式：空间组合体的形心公式： n21nCn2C21C1CAAAxAxAxAxn21nCn2C21C1CAAAyAyAyAyn21nCn2C21C1CAAAzAzAzAz 平面组合图形的形心公式：平面组合图形的形心公式：n21nCn2C21C1CAAAxAxAxAxn21nCn2C21C1CAAAyAyAyAy11212211AAy
3、AyAAyAyiiC 将此截面分割为两个截面将此截面分割为两个截面cm)348(21222Ry,RA 例例1：已知组合截面的尺寸，试求该：已知组合截面的尺寸，试求该组合体的形心。组合体的形心。 ,80cm21,yAcm4121, SScm4 . 6Cy解：解：取对称轴故取对称轴故 xC = 0分割法：将物体分割成有规律的几个物体，分割法：将物体分割成有规律的几个物体，C例例2：图示槽钢横截面，试求此截面形心的位置。图示槽钢横截面，试求此截面形心的位置。A1=3010=300cm2, x1=15cm；解：解：取对称轴故取对称轴故yc=0，再分割成有规律，再分割成有规律 的几个物体：的几个物体：A
4、2=2010=200cm2, x2=5cm；A3=3010=300cm2, x3=15cm；12.5cm321332211C AAAxAxAxAx例例3：用负面积法求上题用负面积法求上题槽钢横截面形心的位置。槽钢横截面形心的位置。解：解：若将截面分割成二块有规律的矩形若将截面分割成二块有规律的矩形 物体，物体，A1是正面积，是正面积，A2是负面积，是负面积， 代入公式结果同前。代入公式结果同前。A1A2A1=3040=1200cm2, x1 =15 cmA2= - -2020 = - - 400cm2, x2 = 20 cm；12.5cm212211CAAxAxAx负面积法负面积法例例4：图示
5、均质扇形薄板，试求形心的位置。图示均质扇形薄板，试求形心的位置。解：解：取对称轴故取对称轴故 yc = 0 rcos32xxy C,dAAxxAC,d21drrAA22-,sin32)d21( cos32122rrrr-当：当： = /2， 则则: xc=(4r/3 )积分法积分法 rcos32x,rSrA2d21d21drxydSd AAxxACd图示为任意板块物体，试用试验法求板块重心的位置。图示为任意板块物体，试用试验法求板块重心的位置。lPAlPCB 1）先在物体）先在物体A点悬挂作垂直线；点悬挂作垂直线；2）再在物体）再在物体B点悬挂作垂直线；点悬挂作垂直线；3）二根垂直线交点）二根
6、垂直线交点C是重心的位置。是重心的位置。悬挂法悬挂法确定重心的实验法：确定重心的实验法：1、 悬挂法悬挂法160)(FmB01-CxPlP称PlPxC1称2 2、称重法、称重法第二节第二节 刚体的转动惯量刚体的转动惯量2iixmJ定义：定义：第二节第二节 刚体的转动惯量刚体的转动惯量2iixmJ2xxmJx1、刚体对轴的转动惯量、刚体对轴的转动惯量 定义：刚体内每一质点的质量与其至轴定义：刚体内每一质点的质量与其至轴x的距的距离二次方的乘积的总和离二次方的乘积的总和也可写成：也可写成：m为刚体的总质量，为刚体的总质量， 称为刚体对轴称为刚体对轴x的回转半径。回转的回转半径。回转半径是将整个刚体
7、的质量等效地集中在离轴半径是将整个刚体的质量等效地集中在离轴x的的 的点上。的点上。x2iiormJ 定义：刚体内每一质点的质量与其至定义：刚体内每一质点的质量与其至轴轴O的距离二次方的乘积的总和的距离二次方的乘积的总和2、刚体对点的转动惯量、刚体对点的转动惯量)(222iiiiyiyzxmmJ)(222iiiixixzymmJ刚体正交三轴的转动惯量分别为：刚体正交三轴的转动惯量分别为： 3、刚体对点的转动惯量与对轴转动惯量的关系、刚体对点的转动惯量与对轴转动惯量的关系)(222iiiizizyxmmJ,2222iiiizyxr)(21)(222zyxiiiiOJJJzyxmJyxoJJJ因为
8、因为 刚体对点的转动惯量与对轴转动惯量的关系刚体对点的转动惯量与对轴转动惯量的关系则有：则有： 对于不计厚度的平面刚体，若选刚体平对于不计厚度的平面刚体，若选刚体平面为面为Oxy平面，显然平面，显然 则有则有,zoJJ ),(zyxrrryryxrxyx, 设在质心设在质心C上建立与上建立与Oxyz平行的坐标系，平行的坐标系，质心质心C在在Oxyz中的坐标为中的坐标为 则任一质点的则任一质点的x，y坐标为：坐标为：4、转动惯量的平行移轴定理、转动惯量的平行移轴定理 刚体对任意轴的转动惯量等于其对过质心的刚体对任意轴的转动惯量等于其对过质心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两轴间距离平行轴的转动
9、惯量加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。平方的乘积。 由此可见，物体对通过自身质心轴的转动惯由此可见，物体对通过自身质心轴的转动惯量为最小。量为最小。 转动惯量的平行移轴定理：转动惯量的平行移轴定理：222)(mhJyxmJziiiz222yxrrh则则其中其中2iixxAJIiiAm 若刚体为平面刚片且是均质的（物体若刚体为平面刚片且是均质的（物体的密度为常量），则刚体的转动惯量只与的密度为常量），则刚体的转动惯量只与物体的形状有关，抽去物体的密度常数，物体的形状有关，抽去物体的密度常数，即即5、转动惯量与惯性矩的关系、转动惯量与惯性矩的关系其中其中（ 为物体的密度）为物体的密度）（惯性矩
10、）（惯性矩）定义定义：1）量纲：）量纲：m4 或或 mm4。yzdAzyo,2AzdAyIAyAzId22 2）惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。）惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。3 3）惯性矩的取值恒为正值。）惯性矩的取值恒为正值。4 4）极惯性矩：）极惯性矩：（对（对o点而言）点而言）AOAId2pI)(222yz （图形对（图形对z轴的惯性矩）轴的惯性矩）（图形对（图形对y轴的惯性矩）轴的惯性矩）6、惯性矩（面积的二次矩）、惯性矩（面积的二次矩）惯性矩与极惯性矩的关系惯性矩与极惯性矩的关系： 图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交
11、点的极惯性矩。恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。ApAId2AAzyd)(22AAdAzAy22dyzII yzdAzyobhzccyc矩形平面惯性矩的计算：矩形平面惯性矩的计算：32222121bhbdyydAyIhhAz-32222121hbhdAzdAzIbbAy-bdyhdz3121bhIz3121hbIy圆形平面惯性矩的计算：圆形平面惯性矩的计算：实心圆（直径D）空心圆（外径D，内径d）4641DIIyz)(64144dDIIyz-zcyccAbIIAaIIycyzcz22zyoyczcczcycdAyzab惯性矩的平行移轴公式：惯性矩的平行移轴公式：例：试求图示直径为例：试求图示
12、直径为d 的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴 xc 的惯性矩。的惯性矩。解：解：1 1、求形心坐标、求形心坐标222)(yRyb-12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx-3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxc2 2、求对形心轴、求对形心轴 xc 的惯性矩的惯性矩12826444ddIx181288)(4422dddyIIcxxc-由平行移轴公式得：由平行移轴公式得： xyb(y)ycCdxc3281223dddASyxc例：试求图示直径为例：试求图示直径为d 的半圆对其自身形心轴的惯性矩。的半圆对其自身形心轴的惯性矩。例：试求图例：试求图a 所示截
13、面对于对称轴所示截面对于对称轴 x 的惯性矩。的惯性矩。解：解：将截面看作一个矩形和两个半将截面看作一个矩形和两个半圆组成。圆组成。1 1、矩形对、矩形对 x 轴轴的惯性矩：的惯性矩：44331mm1053331220080122adIx2 2、一个半圆对其自身形心轴、一个半圆对其自身形心轴 xc c 轴的轴的惯性矩（见上例）惯性矩（见上例）181288)(4422dddyIIcxxc-xyC(a)d=8040100a=10040 a+2d33 3、一个半圆对、一个半圆对 x 的惯性矩的惯性矩由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：44222222mm103467322324832adadddda
14、IIcxx4 4、整个截面对于对称轴、整个截面对于对称轴 x 的惯性矩：的惯性矩：444421mm101227010346721053332xxxIIIxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3例：试求图例：试求图a 所示截面对于对称轴所示截面对于对称轴 x 的惯性矩。的惯性矩。第三节第三节 刚体对任意轴的转动惯量刚体对任意轴的转动惯量2iiOLmJ 在刚体内任选一点在刚体内任选一点O为原点作固连于刚体的为原点作固连于刚体的坐标系坐标系Oxyz，过点，过点O作任一直线作任一直线OL，它与坐标轴，它与坐标轴x，y，z的夹角为的夹角为 。则根据转动惯量的定义。则根据转动惯量的定义式，
15、刚体对轴式，刚体对轴OL的转动惯量为：的转动惯量为：,1、刚体对任意轴、刚体对任意轴OL的转动惯量的转动惯量rlrii0siniiiizyxkjirlcoscoscos0刚体对任意轴刚体对任意轴OL的转动惯量的转动惯量coscos2coscos2coscos2coscoscos222-zxyzxyzyxOLJJJJJJJ 上式中上式中Jxy、Jyz、Jzx分别称为刚体对于轴分别称为刚体对于轴x和和y、对轴对轴y和和z、对轴对轴z和和x的离心转动惯量。的离心转动惯量。抽去物体的密度常数，即为物体形状的惯性抽去物体的密度常数，即为物体形状的惯性积。积。2、离心转动惯量（惯性积）：、离心转动惯量（惯
16、性积）：xziiizxzyiiiyzyxiiixyJxzmJJzymJJyxmJ3、主转动惯量（主惯性矩）：、主转动惯量（主惯性矩）：222coscoscoszyxOLJJJJ 如果适当选取坐标轴如果适当选取坐标轴Oxyz的方位，使上的方位，使上式中的式中的Jxy=0、Jyz=0、Jzx=0，则称坐标轴，则称坐标轴x、y、z是对于其原点的惯量主轴。于是是对于其原点的惯量主轴。于是 此时此时Jx、Jy、Jz分别称为刚体对于轴分别称为刚体对于轴 x、对轴对轴 y、对轴对轴 z 的主转动惯量。的主转动惯量。4、惯性积的平行移轴定理：、惯性积的平行移轴定理：,1iyiyby,1ixixbx,1izizbz设：设：惯性积的平行移轴定理：惯性积的平行移轴定理：xzzxxzzyyzzyyxxyyxbmbJJbmbJJbmbJJ111111则有：则有：
