1、极坐标系的概念问题问题2：如何刻画这些点的位置？如何刻画这些点的位置？情境情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷， 如何确定它们的位置以便将它们引爆？如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境情境2：校门口有人问你：校门口有人问你：到北京四中怎么走到北京四中怎么走 问题问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，为了简便地表示上述问题中点的位置， 应创建怎样的坐标系呢？应创建怎样的坐标系呢？问题情境问题情境请分析这句话，他告诉了问路人什么？请分析这句话，他告诉了问路人什么？从从这这向北向北走走400米米！出发点出发点方向方向距离距离 在生活中人们经常用方向
2、和距离来表示一点的位置。在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用这种用方向方向和和距离距离表示平面上一点的位置的思想，就是表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。极坐标的基本思想。情境情境2：请问到北京四中怎么走？：请问到北京四中怎么走？1 1、极坐标系：、极坐标系：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点.引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个再选定一个长度单位长度单位和计算和计算角度的正方向。角度的正方向。（通常取逆时针方向）（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系.XO2 2、极坐标系内的点的极坐标的
3、规定、极坐标系内的点的极坐标的规定 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M,M,用用 表示线段表示线段OMOM的长度的长度, ,用用 表示以射线表示以射线OXOX为始边为始边, ,射线射线OMOM为终边所成的为终边所成的角角, , 叫做点叫做点M M的的极径极径, , 叫做点叫做点M M的的极角极角, ,有序数对有序数对( ( , , ) )就叫做就叫做M M的的极坐标极坐标。XOM 极点极点的极坐标为的极坐标为_(0, ), 可为任意值可为任意值.思考思考: 对比直角坐标系，比较异同。对比直角坐标系，比较异同。(1)要素：要素：_ _；(2) 平面内点的极坐标用平面内点的极坐标用_表示表示.
4、极点、极轴、长度单位、极点、极轴、长度单位、计算角度的正方向计算角度的正方向( , )例例1、 如图，写出各点的极坐标：如图，写出各点的极坐标：。Ox ABCDEFGA(4,0)B(3, ) 4C(2, ) 2D(5, )5 6E(4.5, )F(6, )4 3G(7, )5 31数学运用数学运用56 43 53 2 4 4(3,0)(6, 2)(3,)(5,)2355(3,)(4,)(6,)63、ABCDEFG 变式训练变式训练 建立极坐标系，描出下列点：建立极坐标系，描出下列点：小结小结由极坐标描点的步骤：由极坐标描点的步骤： (1) 先按先按极角极角找到点所在射线；找到点所在射线； (2
5、) 在此射线上按在此射线上按极径极径描点描点.思考思考: 平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？3 3、点的极坐标的表达式的研究、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，4请说出点请说出点M的极坐标的表达式？的极坐标的表达式？思考：思考：这些极坐标之间有何异同？这些极坐标之间有何异同？思考：思考：这些极角有何关系？这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它
6、们是终边相同的角。是终边相同的角。4+2k4， 极径相同，不同的是极角极径相同，不同的是极角.4 4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况11给定（给定（ , , ）, ,就可以在就可以在极坐标极坐标平平面内确定唯一的一点面内确定唯一的一点M M22给定平面上一点给定平面上一点M M，但却有无数个极坐标与之对应。，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)如果如果限定限定0,00,022那么那么除极点除极点外外, ,平面内的点和极坐标就可以平面内的点和极坐标就可以一一对应一一对应了了. .21P5Q 1PQ445
7、2P5Q 1PQ4,43,0M3例 、在极坐标系中，（ ）已知两点 （ 、 ）， （ ， ），求线段的长度。（ ）已知两点 （ 、）， （ ， ），求线段的长度。（ ）说明满足条件的点（ ， ）所组成的图形表示什么样的图形？，则）中的若（MR3数学运用数学运用 在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值情况下，也允许取负值( 0):当当 0时如何规定时如何规定( , )对应的点的位置？对应的点的位置？Ox当当 0时，点时，点M( , )的位置规定：的位置规定： )| | M( , )OxM(-2, )5 6)5 6点点M：在角
8、：在角 终边的反向延长线上，且终边的反向延长线上，且|OM|=| |M(-2, )5 65、关于负极径、关于负极径小结：小结： 从比较来看从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作负极径比正极径多了一个操作, 将射线将射线OP“反向延长反向延长”.。Ox 4 25 65 45 3 11 62 33 2A(-4,0)C(-2, ) 2B(3, )5 6D(-1, )5 3E(3,- ) 6(-4,- ) 3FABCDEF小结小结( , )( , 2k + )(- , + )(- , +(2k+1) )都是同一点的都是同一点的 极坐标极坐标.1例例3. 已知点已知点Q( , )，分别按下列条件求出点
9、，分别按下列条件求出点P的坐标：的坐标： (1) P是点是点Q关于极点关于极点O的对称点；的对称点； (2) P是点是点Q关于直线关于直线 的对称点的对称点. (3) P是点是点Q关于极轴的对称点。关于极轴的对称点。2 注意注意点点M的极坐标具有的极坐标具有多值性多值性.数学运用数学运用思考思考: 极坐标系中极坐标系中, 点点M的坐标为的坐标为(-10, ), 则下列各则下列各 坐标中坐标中, 不是不是M点的坐标的是点的坐标的是( ) (A) (10, ) (B) (-10, - ) (C) (10, - ) (D)(10, )4 3 35 32 32 3平面内一点P的直角坐标是 ，其极坐标如
10、何表示?点Q的极坐标为 ，其直角坐标如何表示？)1 ,3( 思考？)32,5( ),235,25( Q答案：)6, 2( P极坐标与直角坐标的关系极坐标与直角坐标的互化公式)0(tan,222 xxyyx 直直化化极极： sin,cos yx极化直：极化直：例3：互化下列直角坐标与极坐标直角坐标极坐标)3, 3( ) 1, 3( )0 ,5(直角坐标极坐标)6, 4( )2, 1 ( ), 3( )2 ,32()1, 0( ) 0 , 3( )65, 32( )67, 2( )0 , 5(2、已知极坐标系中两点 ， 如何求线段|PQ|的长？)6, 3( P),2, 2( Q推广：极坐标系内两点 的距离公式：),(),(2211 QP)cos(2|PQ|21212221 19| PQ 探索？1、极坐标系中点的对称关系?3、极坐标与直角坐标的互化公式小 结1、极坐标系的四要素2、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。)0(tan,222 xxyyx sin,cos yx)2 , 0, 0
