1、12-1 12-1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播 波动波动是振动的传播过程。是振动的传播过程。机械波：机械振动在介质中的传播过程。机械波：机械振动在介质中的传播过程。弹性介质弹性介质注注(1)(1)波动是波源的振动状态或振动能量在波动是波源的振动状态或振动能量在介质中的传播，介质的质点并不随波前进。介质中的传播，介质的质点并不随波前进。 (2)(2)介质中各质点将依次振动，不同位置的两质点介质中各质点将依次振动，不同位置的两质点在振动步调上存在一个在振动步调上存在一个“时间差时间差”（有相位差）。（有相位差）。波源波源产生机械振动的振源产生机械振动的振源传播机械振动的介质传播机械振动的
2、介质电磁波：变化的电场和变化的磁场在空电磁波：变化的电场和变化的磁场在空 间的传播过程。间的传播过程。2.2.横波和纵波横波和纵波横波：横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。质点的振动方向和波的传播方向垂直。纵波：纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。质点的振动方向和波的传播方向平行。振动方向振动方向传播方向传播方向波谷波谷波峰波峰波密波密波疏波疏3.3.波阵面和波射线波阵面和波射线波线：波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。的指向表示波的传播方向。波阵面：波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成在波动过程中，把振动相
3、位相同的点连成的的面面( (简称波面简称波面) )。波前：波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。面即是波前。波前只有一个。平面波平面波：波面为平面波面为平面球面波球面波：波面为球面波面为球面柱面波柱面波：波面为柱面波面为柱面 在任一时刻，介质中各点的振动相位一在任一时刻，介质中各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。据波阵面般不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。位
4、置有相同的位移。平面波平面波球面波球面波波波线线波波阵阵面面波波阵阵面面波波线线1、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。注：注：2、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，都可视为平面波。都可视为平面波。球面波、柱面波的形成过程：球面波、柱面波的形成过程：波长、频率和波速之间的关系波长、频率和波速之间的关系u个个5.5.波长和频率波长和频率频率和周期只决定于波源频率和周期只决定于波源，和介质种类无关。，和介质种类无关。频率频率：周期的倒数。：周期的倒数。周期周期：传播一个波长距离所用的时间。：传播一
5、个波长距离所用的时间。波长波长：在同一条波线上，相差为：在同一条波线上，相差为 的质点间的距离。的质点间的距离。2波速、周期和波长之间存在如下关系：波速、周期和波长之间存在如下关系：Tuu波速波速T周期周期波长波长频率频率12-2 12-2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 波动方程波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系。（坐标为化关系。（坐标为X X质点在任意时刻质点在任意时刻t t的位移表达式）的位移表达式） 平面简谐波平面简谐波当简谐波传播时，介质中各质点都当简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，若其波阵面是平面作同一频率的简谐
6、振动，若其波阵面是平面, ,就称为就称为平面简谐波平面简谐波. .在任一时刻，各点的振动相位一般不同，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。开各自的平衡位置有相同的位移。平面简谐波平面简谐波1.1.平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式 平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x 轴的轴的正方向传播，波速为正方向传播，波速为u 。取任意一条波线为。取任
7、意一条波线为x 轴，取轴，取O 作为作为x 轴的原点。轴的原点。O点处质点的振动表式为点处质点的振动表式为)cos()(00tAtyOxyuxP 考察波线上任意点考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于点振动的相位将落后于O点。点。若若振动从振动从O 传到传到P所需的时间为所需的时间为t，在时刻在时刻t，P点处质点点处质点的位移就是的位移就是O 点处质点在点处质点在t t 时刻的位移，从相位来说，时刻的位移，从相位来说，P 点将落后于点将落后于O点，其相位差为点，其相位差为 t 。P点处质点在时刻点处质点在时刻t 的位移为：的位移为： 0cos)(ttAtyPxOyuxP0cos)(uxtA
8、tyP因因uxt 波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的轴方向前进的平面简谐波的波函数波函数。 利用关系式利用关系式 和和 ，得，得22TuT02cos),(xTtAtxy02cos),(xtAtxy)cos(),(0 xktAtxy2k其中其中波动表式的意义：波动表式的意义： 上式代表上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率处质点在其平衡位置附近以角频率 作简谐运动。作简谐运动。12cosxtAy即即x 一定一定。令。令x=x1，则质点位移，则质点位移y 仅是时间仅是时间t 的函数。的函
9、数。tyOAt 一定一定。令。令t=t1，则质点位移，则质点位移y 仅是仅是x 的函数。的函数。xtAy2cos1即即 以以y为纵坐标、为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，为横坐标，得到一条余弦曲线，它是它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线所构成的波形曲线(波形图波形图)。xyAu沿波线方向，任意两点沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：的简谐运动相位差为：xxx221212x、t 都变化都变化。实线：实线：t1 时刻波形时刻波形；虚线：虚线：t2 时刻波形时刻波形xyux=u t波的传播波的传播 沿沿x 轴
10、负方向传播的平面简谐波的表达式轴负方向传播的平面简谐波的表达式O 点简谐运动方程：点简谐运动方程：y x ouxP00costAyP 点的运动方程为点的运动方程为：00)(cos)cos(uxtAtAy 例例12-1 12-1 一余弦横波在弦上传播，其波函数为一余弦横波在弦上传播，其波函数为y=0.02cos(5x-200t) m,y=0.02cos(5x-200t) m,式中式中,x,x和和y y的单位为的单位为m,tm,t的单位为的单位为s.(1)s.(1)试求其振幅试求其振幅 波长波长 频率频率 周期和波速周期和波速. . (2)(2)分别画出对应分别画出对应t= 0.0025st= 0
11、.0025s和和t= 0.005st= 0.005s两时刻弦两时刻弦上的波形图上的波形图. .解解:(1)由由0cos)(uxtAtyP可得:0cos2 ()txy AT0.02cos (5200 )0.02cos2 ()0.01 0.4txyxtA=0.02m, T=0.01s, =0.4m,=100Hz, u= =40m/s (2)先画出t=0时刻的波形图,利用平移法画出t=0.0025s和t=0.005s两时刻的波形图.t=0, y=0.02cos5x,X=0,y=0.02mX=0.4,y=0.02m0.02Y/m0.10.4X/mt=0.0025s,x=u t=0.1m波形向前移动了波
12、形向前移动了0.1mX/mY/mt=0.005s,x=u t=0.2m波形向前移动了波形向前移动了0.2mX/mY/m00.2m 例12-2一平面简谐波在介质中以速度u=20m/s,沿X轴负向传播.已知A点的振动表达式为Y=3cos4t,其中t的单位为s,y的单位为m.(1)以A为坐标原点,写出波函数,并求介质质元的振动速度表达式.(2)以距A点5m处B点为坐标原点,写出此波的波函数.解解(1)(1)以以A A为坐标原点时为坐标原点时, ,任间一点距任间一点距A A为为X X的的P P点的波函数点的波函数: :3cos4AytP P点滞后时间点滞后时间: Axxtu 已知已知3cos4 ()A
13、pxxytu所以所以3cos4 ()20 xt (2)以B点为坐标原点时, A点的振动表达式:3cos4AytB点的振动表达式:3cos4 ()ABBxxytu3cos4 ()Axtu0Bx ( )53cos4 ()3cos(4)20tt任一点距任一点距B为为 的的P点的波函数为点的波函数为x5xx 3cos4 ()20 xyt 12.3 波动方程与波速llFlYsl12.3.1 物体的弹性形变物体的弹性形变1.线变线变:物体受到外力作用时物体受到外力作用时,长度发生变化长度发生变化.正应力正应力:线应变:,Y为杨氏弹性模量杨氏弹性模量2.切变切变:物体受到与其则表面平行的切向力作用发变形变物
14、体受到与其则表面平行的切向力作用发变形变.切应力切应力:切应变切应变:dD,FdGSDG为切变模量切变模量3.体变体变:物体周围受到的压强改变时物体周围受到的压强改变时,其体积发生相应变化其体积发生相应变化.压强改变量压强改变量:p体应变体应变:VV,VpkV K为体积模量体积模量思考思考:机械振动为什么能在介质中传播而形成机械波机械振动为什么能在介质中传播而形成机械波?FsFs 12.3.2 波动方程波动方程1.波动方程的推导波动方程的推导（以纵波形成时，各质元发生线变为例）某一质元某一质元自然长度自然长度:x形变形变前前两端面两端面坐标坐标:xxx形变形变后后两端面两端面位移位移:yyyy
15、yy形变形变后后质元质元长度增量长度增量y线应变线应变:0 xyyxx (是X的函数,波形曲线的斜率)质元质元左左端的线应变端的线应变:()xyx,拉应力:1()xyFsYx质无质无右右端的线应变端的线应变:()xxyx,拉应力:2()xxyFsYx 质元受到的质元受到的合力合力为为:21()() xxxyyFFsYxx. .().ys Yxxx22.ys Yxx当当 很小时很小时,加速度加速度为为: x22yt由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得: :2222.yys Yxmxt ms x即即2222yyxYt令令21Yu中值定理2.波动方程波动方程222221yyxutl此即为棒中传播的平面纵
16、波的波函数必须满足的波动方程此即为棒中传播的平面纵波的波函数必须满足的波动方程它在形式上有广泛的意义它在形式上有广泛的意义.我们把这个方程叫做平面我们把这个方程叫做平面波的波动方程波的波动方程,它是物理学的重要方程之一它是物理学的重要方程之一.平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数2( , )cos2 ()cos()txy x tAAxutT是该波动方程特解是该波动方程特解决定波速的因素决定波速的因素纵波在细棒中传播时纵波在细棒中传播时, ,LYuTGuTlFu横波在固体中传播时横波在固体中传播时, ,在拉紧的细绳中传播的横波在拉紧的细绳中传播的横波液体和气体中传播的纵波液体和气体中传播的纵波L
17、Ku在理想气体中的纵波在理想气体中的纵波LpRTuM 中值定理:()( )( ).f xxf xfxx()()xxyfxxx ()()xyfxx( )()()xyyfxxxx()().().xxxyyyxxxxx12-4 12-4 波的能量波的能量 弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。势能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。1. 1. 波的能量波的能量 考虑棒中的体积考虑棒中的体积V，其质量为其质量为m(m=V ) )。当波动传播到该体积元时，将具有动能当波动传播到该体积元时，将具有动能Wk和弹性势
18、和弹性势能能Wp。uxtAtxycos),(平面简谐波平面简谐波 uxtVAWWpk222sin)(21可以证明可以证明 体积元的总机械能体积元的总机械能W uxtVAWWWpk222sin)(对单个谐振子对单个谐振子pkWW 在波的传播过程中，任一体积元都在不断地接受和在波的传播过程中，任一体积元都在不断地接受和放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，波放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，波动传播能量，振动系统并不传播能量。动传播能量，振动系统并不传播能量。波的波的能量密度能量密度 ：介质中单位体积的波动能量。介质中单位体积的波动能量。wuxtAVWw222sin通常取能量密度在
19、一个周期内的平均值通常取能量密度在一个周期内的平均值 w222Aw 2. 2. 波动能量的推导波动能量的推导OxabxxxOx a byyy证明证明: :线变中有线变中有()()FdyYSdx正应力线应变uxtAtxycos),(平面简谐波平面简谐波 质元振动速度质元振动速度sin()yxvAttu 质元动能质元动能:222211()sin()22kxdEdm vdVAtu质元的势能质元的势能:,dyYSFYSkdykdxdx2211()()22pdydEk dyYSdxdx222222111()()sin()222dydyxYdVu dVdVAtdxdxu21,sin()dyxAtYudxu
20、u 3. 3. 波的强度波的强度能流能流 在介质中垂直于波速方向取一面积在介质中垂直于波速方向取一面积S ，在单位时，在单位时间内通过间内通过S 的能量。的能量。uSuwSuttwSutWPdddd)(sin222uxtAuS平均能流：平均能流：2221AuSSuwP平均能流密度平均能流密度或或波的强度波的强度 通过与波传播方向垂直的通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用单位面积的平均能流，用I 来表示，即来表示，即222222AzAuuwI介质的特性阻抗介质的特性阻抗 。uzI 的单位：的单位：瓦特瓦特/米米2 (W.m-2)平面余弦行波振幅不变的意义平面余弦行波振幅不变的意义: :
21、)(cosuxtAyuS1AS2AuSAuSwP2211121uSAuSwP2222221若若 ，有，有 。21PP 21AA 2222221221421421ruAruA对于球面波，对于球面波， ， ，介质不吸收能量，介质不吸收能量2114 rS2224 rS时，通过两个球面的总能流相等时，通过两个球面的总能流相等1221rrAA球面波表达式：球面波表达式：)(cosurtra式中式中a 为波在离原点单位距离处振幅的数值。为波在离原点单位距离处振幅的数值。 例题例题12-5 用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达达120kW/cm2的大振幅超声波。
22、设波源作简谐振动，频率为的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，液体的密度为，液体的密度为1g/cm3，声速为，声速为1500m/s，求这时液体，求这时液体质点振动的振幅。质点振动的振幅。 解解 因因 ，所以，所以 222uAI m1027. 1m105 . 1101101202105212153375puIA可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。 4.4.波的吸收波的吸收 1S2SuOXnAxAxxdAAd 若波不被介质吸收，对于平面简谐波，若波不被介质吸收，对于平面简谐波，S1 和和S2 处振处振幅相同。若介质吸收机械波的能量，则波线上不
23、同点处幅相同。若介质吸收机械波的能量，则波线上不同点处振幅是不相同的。上图的振幅是不相同的。上图的dA 0。,ddxAA-介质的吸收系数。介质的吸收系数。xeAA0若若 为常数为常数, , 则有则有A0为为x = 0 处的振幅。处的振幅。xeII20 xeAuAuI2220222121220021AuI 式中的式中的I0 和和I 分别为分别为x=0 和和x=x 处的波的强度。处的波的强度。 例题例题12-6 空气中声波的吸收系数为空气中声波的吸收系数为 1=2 10-11v2m-1，钢，钢中的吸收系数为中的吸收系数为 2=4 10-7vm-1，式中，式中v 代表声波频率的数值。代表声波频率的数
24、值。问问5MHz的超声波透过多少厚度的空气或钢后，其声强减为的超声波透过多少厚度的空气或钢后，其声强减为原来的原来的1%？解解 据题意，空气和钢的吸收系数分别为据题意，空气和钢的吸收系数分别为2=410-7(5106)2m-1=2m-1 1=210-11(5106)2m-1=500m-1把把1、2 分别代入分别代入 I=I0e-2 x 或下式，或下式， )(1 )21 (0IInx据题意有据题意有 ， 1000II得空气的厚度得空气的厚度m0046. 0m100n1100011x钢的厚度为钢的厚度为 m15. 1m100ln412x可见高频超声波很难透过气体，但极易透过固体。可见高频超声波很难
25、透过气体，但极易透过固体。 据题意有据题意有 ， 1000II得空气的厚度得空气的厚度 m0046. 0m100n1100011x钢的厚度为钢的厚度为 m15. 1m100ln412x可见高频超声波很难透过气体，但极易透过固体。可见高频超声波很难透过气体，但极易透过固体。 12-5 惠更斯原理惠更斯原理1. 1. 惠更斯原理惠更斯原理 波在弹性介质中运动时波在弹性介质中运动时, ,任一点任一点P 的振动的振动, ,将会将会引起邻近质点的振动。就此特征而言，振动着的引起邻近质点的振动。就此特征而言，振动着的 P 点与波源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他点与波源相比，除了在时间上有延迟外，并无
26、其他区别。因此，区别。因此，P 可视为一个新的波源。可视为一个新的波源。1678年，惠年，惠更斯总结出了以其名字命名的更斯总结出了以其名字命名的惠更斯原理：惠更斯原理： 介质中任一波面上的各点，都可介质中任一波面上的各点，都可看成是产生（球面）子波的波源；在看成是产生（球面）子波的波源；在其后的任一时刻，这些子波的包络面其后的任一时刻，这些子波的包络面构成新的波面构成新的波面(波前波前)。惠更斯惠更斯t + + t 时刻波面时刻波面平面波平面波u t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面球面波球面波 tt + ta2.惠更斯原理适用范围惠更斯原理适用范围:任何形式的波动任何形式的波动无论是机
27、械波还是电磁波无论是机械波还是电磁波;无论是均匀介质中的波还是非均匀无论是均匀介质中的波还是非均匀介质中的波介质中的波,只要知道某一时刻的波前只要知道某一时刻的波前,就可以根据这一原理就可以根据这一原理,用几何作图法确定出下一时刻的波前用几何作图法确定出下一时刻的波前,因而解决波的传播方向因而解决波的传播方向问题问题.3.3.惠更斯原理的应用惠更斯原理的应用 (1) (1)解释解释波的衍射波的衍射: :当波在传播过程中遇到障碍物时，当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向绕过障碍物发生偏折的现象，称为其传播方向绕过障碍物发生偏折的现象，称为波的衍射波的衍射。 波在窄缝的衍射效应波在窄缝的衍射效
28、应 (2) (2) 导出导出折射定律折射定律 反射与折射也是波的特征，当波传播到两种介反射与折射也是波的特征，当波传播到两种介质的分界面时，波的一部分在界面返回，形成质的分界面时，波的一部分在界面返回，形成反射反射波波，另一部分进入另一种介质形成，另一部分进入另一种介质形成折射波折射波。in1n2CABDirrtu121tutu2折折射射定定律律的的推推导导ABADABCBisinsintutu2121uu12nn4. 4. 电磁波的反射和折射电磁波的反射和折射介质介质1(1(n1 1) )介质介质2(2(n2 2) )ir1H1E1H1E2H2E 电场矢量平行于电场矢量平行于入射面的情形：入
29、射面的情形：)tan()tan(coscoscoscos1212/11/ririrninrninEEr)sin()sin(sincos2coscoscos2121/12/riririrnininEEt幅度反幅度反射系数射系数幅度透幅度透射系数射系数电磁波的反射和折射电磁波的反射和折射介质介质1(1(n1 1) )介质介质2(2(n2 2) )ir1H1E1H1E2H2E 电场矢量垂直于电场矢量垂直于入射面的情形：入射面的情形：)sin()sin(coscoscoscos212111ririrninrninEEr)sin(sincos2coscoscos221112ririrnininEEt当电
30、磁波垂直入射时，存在当电磁波垂直入射时，存在 rnnnnr)()(1212/21212)()(nnnnRRII幅度反射系数幅度反射系数强度反射系数强度反射系数介质介质1(1(n1 1) )介质介质2(2(n2 2) )ir1H1E1H1E2H2E 电场矢量垂直于电场矢量垂直于入射面的情形：入射面的情形：)sin()sin(coscoscoscos212111ririrninrninEEr)sin(sincos2coscoscos221112ririrnininEEt当电磁波垂直入射时，存在当电磁波垂直入射时，存在 rnnnnr)()(1212/21212)()(nnnnRRII幅度反射系数幅度
31、反射系数强度反射系数强度反射系数电磁波的反射和折射电磁波的反射和折射惠更斯原理惠更斯原理障碍物的小孔成为新的波源障碍物的小孔成为新的波源原波阵面原波阵面新波阵面新波阵面S1S2t 时刻时刻t+t 时刻时刻ut12-6 波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉 1. 1. 波的叠加波的叠加 波传播的独立性波传播的独立性: :几个波源产生的波，同时在一介几个波源产生的波，同时在一介质中传播质中传播, ,如果这几列波在空间某点处相遇，那么每如果这几列波在空间某点处相遇，那么每一列波都将独立地保持自己原有的特性一列波都将独立地保持自己原有的特性( (频率、波长、频率、波长、振动方向等振动方向等) )
32、传播。传播。 1S2S 波的叠加原理波的叠加原理: : 当当几列介媒质中某点相遇时，相遇几列介媒质中某点相遇时，相遇处质点的振动将是各列波所引起的分振动的合成，或处质点的振动将是各列波所引起的分振动的合成，或者说，相遇处质点振动的位移是各列波单独存在时在者说，相遇处质点振动的位移是各列波单独存在时在该点引起的位移的矢量和，这叫做波的叠加原理。该点引起的位移的矢量和，这叫做波的叠加原理。 叠加原理表明，可将任何复杂的波分解为一系列叠加原理表明，可将任何复杂的波分解为一系列简谐波的组合。简谐波的组合。 2.2.波的干涉波的干涉相干波相干波相干条件相干条件：振动方向相同振动方向相同频率相同频率相同相
33、位相同或相位差恒定相位相同或相位差恒定相干波相干波：满足相干条件的几列波称为相干波。满足相干条件的几列波称为相干波。相干波源相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。能发出相干波的波源称为相干波源。强弱分布规律强弱分布规律1S2SP11rPS22rPS 两个相干波源波源两个相干波源波源S1和和 S2的振动方程分别为：的振动方程分别为：)cos(10101tAyS)cos(20202tAySS1和和 S2单独存在时单独存在时, ,在在P点引起的振动的方程为点引起的振动的方程为: :)2cos(11011rtAy)2cos(22022rtAy1111 012222 02co s()co s()ry
34、AturyAtuP 点的合方程为点的合方程为: :)cos(021tAyyy)(2cos2121020212221rrAAAAA振幅振幅A和相位和相位 0（参看参看P110P110）220211012202110102cos2cos2sin2sinrArArArAtg)(2121020rr 对于对于P点点 为恒量，为恒量，因此因此 A 也是恒量，并与也是恒量，并与 P点空间位置密切相关。点空间位置密切相关。21AAA（合振幅最大）（合振幅最大）21AAA（合振幅最小）（合振幅最小）当当 时，得时，得krr2)(2121020当当 时，得时，得) 12()(2121020krr21AAA和和之间
35、之间当当 为其他值时，合振幅介于为其他值时，合振幅介于若若10=20，上述条件简化为：上述条件简化为： , 2, 1, 0,21kkrr, 2, 1, 0,2/121kkrr（合振幅最大合振幅最大）（合振幅最小合振幅最小）21AAA 同频率、同方向、相位差恒定的两列波同频率、同方向、相位差恒定的两列波, ,在相遇在相遇区域内区域内, ,某些点处振动始终加强某些点处振动始终加强, ,另一些点处的振动另一些点处的振动始终减弱始终减弱, ,这一现象称为这一现象称为波的干涉波的干涉。o246246I干涉现象的强度分布干涉现象的强度分布干涉现象的强度分布干涉现象的强度分布 12.7 12.7 驻波驻波驻
36、驻波波的的形形成成 1 1. .驻波驻波是两列振幅相同的相干波在同一条是两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播时叠加而成的。直线上沿相反方向传播时叠加而成的。实验实验弦线上的驻波：弦线上的驻波：实验实验弦线上的驻波：弦线上的驻波：0t4Tt O ACE F G HBD2Tt 43Tt 波节波节O B D F H 波腹波腹A C E G 沿沿x轴的正、负方向传播的波轴的正、负方向传播的波 xTtAy2cos1xTtAy2cos2)(2cos)(2cos21xTtxTtAyyytTxA2cos)2cos2(合成波合成波xA2cos2合成波的振幅合成波的振幅 与位置与位置x 有关。有关。波
37、腹波腹位置位置12cos2xAkx 2,.)2, 1, 0(2kkx2.2.驻波的波函数驻波的波函数波节波节位置位置02cos2xA2) 12(2kx,.)2, 1, 0(4) 12(kkx相邻两个波腹相邻两个波腹( (节节) )间的距离为间的距离为 。 2 在驻波形成后，各个质点分别在各自的平在驻波形成后，各个质点分别在各自的平衡位置附近作简谐运动。能量衡位置附近作简谐运动。能量( (动能和势能动能和势能) )在在波节和波腹之间来回传递，波节和波腹之间来回传递，无能量的传播无能量的传播。 能量能量分布分布相位分布图相位分布图xyO42434243相位相位分布分布 振幅项振幅项 可正可负可正可
38、负, ,时间项时间项 对波线上所有质点有相同的值，表明对波线上所有质点有相同的值，表明驻波上相邻驻波上相邻波节波节间间（一段）（一段）质点振动相位质点振动相位相同相同，波节波节两边两边的的质点的振动有质点的振动有相位差相位差 。 xA2cos2)cos( t 对于波沿分界面垂直入射的情形对于波沿分界面垂直入射的情形, ,把密度把密度 与波速与波速u的乘积的乘积u 较大的介质称为较大的介质称为波密介质波密介质，u 较小的介质较小的介质称为称为波疏介质波疏介质。 当波从当波从波疏介质波疏介质传播到传播到波密介质波密介质，分界面反射点，分界面反射点是波节，表明入射波在反射点反射时有相位是波节，表明入
39、射波在反射点反射时有相位 的突变的突变相当于在波程上突变相当于在波程上突变 。这一现象称为。这一现象称为半波损失半波损失。 2波疏波疏波密波密波疏波疏波密波密4. 4. 弦线上的驻波弦线上的驻波弦线长度等于半波长的整数倍时形成驻波。弦线长度等于半波长的整数倍时形成驻波。 2, 1,2nnL 驻波条件驻波条件1n2n4n两端两端固定固定一端一端固定固定1n2n4n简正模式：本征频率对应的振动方式称为弦振动的简正模式。基频 谐频,1,2,3.2nuunnL巩固练习：P180 ， 12-13，12-17 12-13解：110.10cos2 ()0.10cos24 s pryttu220.10cos2
40、 ()0.10cos24 s pryttu合振幅：120.02AAA12-17解：标准驻波的波函数：222cos()cos()yAxtT（1）比较所给函数：2.0cos(0.16 )cos(750 )yxt得：20.1639.2cm节间距：18.62cm（2）2.0 750cos(0.16 )sin(750 )yvxtt复习复习:1.平面波的波动方程平面波的波动方程22222222221yyyyuxuttx或2.2.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组(1) (1) 电场的性质电场的性质VqSDvsdd(2) (2) 磁场的性质磁场的性质0dSBs(3) (3) 变化电场和磁场的联系变化电场和磁场的联
41、系StDSIIlHssdLddd(4) (4) 变化磁场和电场的联系变化磁场和电场的联系StBtlEsLdddd12-10 12-10 电磁波电磁波1. 1. 平面电磁波的波动方程平面电磁波的波动方程 变化的电场和变化的磁场不断地交替产生，由近变化的电场和变化的磁场不断地交替产生，由近及远以有限的速度在空间传播，形成及远以有限的速度在空间传播，形成电磁波电磁波。最初由。最初由麦克斯韦在理论上预言，麦克斯韦在理论上预言，18881888年赫兹进行了实验证实。年赫兹进行了实验证实。 在无限大均匀绝缘介质在无限大均匀绝缘介质( (或真空或真空) )中，中，=0，=0，且介，且介电常量电常量 和磁导率
42、和磁导率 是常量。麦克斯韦方程简化为：是常量。麦克斯韦方程简化为：00SdESdDzEyExEzyx00SdHSdBzHyHxHzyxSdBdEtltHyExEtHxEzEtHzEyEzxyyzxxyzSdDdHtltEyHxHtExHzHtEzHyHzxyyzxxyz 讨论一维问题讨论一维问题, ,场量场量E 和和H 是坐标是坐标 x 和时间和时间 t 的函数。的函数。前述方程组可简化为：前述方程组可简化为：tExHtHxEtExHtHxEtHxHtExEzyyzyzzyxxxx,(IV),(III)0, 0(II)0, 0(I)经过一系列变换，得到经过一系列变换，得到22221xEtEyy
43、222221xHtHzz表明变化电磁场表明变化电磁场 Ey 和和Hz 是按波动形式传播。是按波动形式传播。 去掉去掉Ey 和和Hz 的下标的下标 y 和和 z，得得22221xEtE（E沿沿y方向）方向） 22221xHtH（H 沿沿z方向）方向） 平面电磁波平面电磁波的波动方程的波动方程 电磁波的波速电磁波的波速 1u真空中的波速真空中的波速80012.9979 10 m/sc 2.2.电磁波的性质电磁波的性质电磁波是横波。电磁波是横波。沿沿 x 轴正方向传播的平面余弦电磁波特解：轴正方向传播的平面余弦电磁波特解： 00cosuxtEE据据 计算出计算出H：tHxEtuxtuEtxEHdsi
44、nd100积分得积分得 0000coscosuxtHuxtuEH000EuEH 00HEH的振幅的振幅 H 和和E 有相同的频率有相同的频率, ,且两者同相位，二者满足瞬且两者同相位，二者满足瞬时关系：时关系： HE1u平面简谐电磁波的传播平面简谐电磁波的传播uEHxyz 电磁波的电场和磁场都垂直于波的传播方向电磁波的电场和磁场都垂直于波的传播方向, ,三者三者相互垂直相互垂直, ,并构成右手螺旋关系。电磁波是横波。并构成右手螺旋关系。电磁波是横波。电磁波的一般性质：电磁波的一般性质：3.3.电磁波的能量电磁波的能量 电磁波所携带的电磁能量，称为电磁波所携带的电磁能量，称为辐射能辐射能。单位时
45、间。单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能内通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能, ,称为称为能流能流密度密度或或辐射强度辐射强度。 电场和磁场的能量体密度分别为电场和磁场的能量体密度分别为 2,222HwEwme电磁场的总能量体密度：电磁场的总能量体密度： 2)(22HEwwwme 辐射能量的传播速度是电磁波的传播速度，辐射能的辐射能量的传播速度是电磁波的传播速度，辐射能的传播方向是电磁波的传播方向。传播方向是电磁波的传播方向。 HEdAP 点处垂直于电磁波点处垂直于电磁波 传播方向的微小面积传播方向的微小面积空间某点辐射强度的计算空间某点辐射强度的计算dl底面积为底面积为dA的小长
46、方的小长方 体的高体的高dAPdl小长方体中的电磁能量为小长方体中的电磁能量为w dA dl P点处的辐射强度点处的辐射强度S ： wutAlAwSdddd)(222HEuwuS波速波速EHEHHES)(21利用利用 1u,HE得得 辐射能的传播方向、辐射能的传播方向、E 的方向及的方向及H 的方向三者相互的方向三者相互垂直，辐射强度用矢量式表示为：垂直，辐射强度用矢量式表示为： HES辐射强度矢量辐射强度矢量S 也称为也称为坡印廷坡印廷( (J.H.Poynting) )矢量矢量。 EHS考虑平面余弦电磁波的情形考虑平面余弦电磁波的情形 00cosuxtEE00cosuxtHH据辐射强度计算
47、公式，得据辐射强度计算公式，得0200cosuxtHES 取一个周期内的平均值，取一个周期内的平均值， 的时的时间平均值为间平均值为1/2，平均辐射强度，平均辐射强度02/cosuxt200HES 因因 及及 ，得，得 0000HE001c2200cES2200cHS 例题例题1 1 设有一平面电磁波在真空中传播设有一平面电磁波在真空中传播, ,电磁波通过某点电磁波通过某点时，该点的时，该点的E=50V/m。试求该时刻该点的。试求该时刻该点的B 和和H 的大小，以及电的大小，以及电磁能量密度磁能量密度w 和辐射强度和辐射强度S 的大小。的大小。 解解 由由B=0H 和和 HE00以及以及 得得
48、 001cT1067. 1T1035078cEBA/m134. 0A/m1041067. 1770BH电磁能量密度电磁能量密度:w=0E2=8.8510-12502J/m3=2.2110-8J/m3辐射强度辐射强度: S=E H=500.134J/(m2s)=6.7J/(m2s) 例题例题2 2 某广播电台的平均辐射功率某广播电台的平均辐射功率 。假定辐。假定辐射出来的能流均匀地分布在以电台为中心的半个球面上射出来的能流均匀地分布在以电台为中心的半个球面上,(1),(1)求在求在离电台为离电台为r =10km处的辐射强度处的辐射强度;(2);(2)在在r=10km处一个小的空间处一个小的空间范
49、围内电磁波可看作平面波范围内电磁波可看作平面波, ,求该处电场强度和磁场强度的振幅。求该处电场强度和磁场强度的振幅。 kW15P解解 (1)(1)在距电台在距电台r =10km处处, ,辐射强度的平均值为辐射强度的平均值为(2)(2)由由 , , 得得2200cES2200cHSV/m134. 0200cSEA/m1047. 42800cSHs)J/(m)1010(21015222332rPSs)J/(m1039. 225解毕。解毕。12.10.3 12.10.3 电磁波的产生与传播电磁波的产生与传播提高振荡电流辐射电磁场的方法提高振荡电流辐射电磁场的方法 任何振动电荷或电荷系都是发射电磁波的
50、波源任何振动电荷或电荷系都是发射电磁波的波源，如天线中振荡的电流、原子或分子中电荷的振动都如天线中振荡的电流、原子或分子中电荷的振动都会在其周围空间产生电磁波。会在其周围空间产生电磁波。ILC+q-q 振荡偶极子振荡偶极子：电流在直线形电路中往复振荡：电流在直线形电路中往复振荡, ,两两端出现正负交替的等量异号电荷。端出现正负交替的等量异号电荷。 赫兹在赫兹在18881888年采用振荡偶极子，年采用振荡偶极子，实现了发送和接收电磁波。采用下实现了发送和接收电磁波。采用下图装置，证实了振荡偶极子能够发图装置，证实了振荡偶极子能够发射电磁波。射电磁波。 赫兹赫兹 电磁理论证明电磁理论证明, ,振荡
