1、1 1 1 1 1目录退出下一页上一页最后一页4-1 4-1 物体的弹性性质物体的弹性性质和广义广义胡克定律4-2 4-2 线弹性材料的本构关系线弹性材料的本构关系4-3 4-3 各向同性各向同性线弹性材料的物理方程线弹性材料的物理方程2 2 2 2 2目录退出下一页上一页最后一页一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：ijijf应力与应变张量均为六个独立分量。则应力与应变张量均为六个独立分量。则123456,xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzzxzxxyzxy
2、yzzxffffff4-1 4-1 物体的物体的弹性性质弹性性质广义广义Hooke定律定律一一. . 弹性的概念弹性的概念 如果材料如果材料 呈单值连续关系（不一定线性），则呈单值连续关系（不一定线性），则称为称为柯西柯西（Cauchy）弹性弹性材料（一般意义上的弹性）。材料（一般意义上的弹性）。ijijf3 3 3 3 3目录退出下一页上一页最后一页 受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关系（胡克定律）的启发，系（胡克定律）的启发， 线弹性材料在复杂应力状态下其应力线弹性材料在复杂应力状态下其应力张量与应变张量亦呈线性关系。张量与
3、应变张量亦呈线性关系。1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzccccccccccccccccccccccccccccc56616263646566zxzxxyzxyyzzxccccccc称为称为广义胡克定律的一般形式广义胡克定律的一般形式 呈线性单值连续关系的材料性质称为呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性线弹性。 在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件，使在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件，使 有势
4、函数存在，则这种弹性性质又称为有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性超弹性。可。可以证明线弹性一定是超弹性。以证明线弹性一定是超弹性。ijijf二二. . 广义胡克（广义胡克（Hooke）定律定律即即4 4 4 4 4目录退出下一页上一页最后一页 广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。其中其中ijklc称为弹性常数，共称为弹性常数，共81个系数，因个系数，因 各各 六个独立，六个独立， 缩减为缩减为36个独立的常数。个独立的常数。ijij、
5、ijklccmn和和cijkl 的下标对应关系：的下标对应关系：m、n123456ij、kl112233122331如，如，c22 c2222 ， c56 c2331矩阵表示形式：矩阵表示形式： C分别称为应力和应变列阵分别称为应力和应变列阵 、 C称为弹性矩阵。其元素称为弹性矩阵。其元素cmn为为36个个其中其中张量表示形式：张量表示形式：ijijklklc5 5 5 5 5目录退出下一页上一页最后一页4-2 4-2 线线弹性体的本构关系弹性体的本构关系如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。根据热力学第一定律和相应数学推导，根据热力学第一定律和相应数学推
6、导，有势，有势，其势函数其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。为物体单位体积的变形能（应变能）。0ijijU Green公式公式ijijf000000,xyzxyyzzxxyzxyyzzxUUUUUU由由012xyxyUc021yxxyUc1221cc同理同理1331cc1441cc1551cc即即mnnmcc5665cc6 6 6 6 6目录退出下一页上一页最后一页 弹性矩阵为弹性矩阵为对称矩阵，共有对称矩阵，共有21个独立的弹性个独立的弹性常数常数111213141516222324252633343536444546555666xxyyzzxyxyyzyzzxzxccc
7、cccccccccccccccccc对 称广义胡克定律的上述形式表征的是广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性各向异性材料的本构关系。材料的本构关系。 如果材料具有弹性对称面，如果材料具有弹性对称面，则本构关系还可简化，使弹性常则本构关系还可简化，使弹性常数进一步缩减。数进一步缩减。 弹性体中每一点均有一个对弹性体中每一点均有一个对称方向，在这些对称方向上弹性称方向，在这些对称方向上弹性性质相同，即应力应变关系不变。性质相同，即应力应变关系不变。称为称为弹性对称弹性对称。弹性对称弹性对称 弹性对称方向 弹性对称方向 弹性对称面 弹性主轴 弹性主轴7 7 7 7 7目录退出下一页上一页最后一页一
8、一. . 横观各向异性材料横观各向异性材料 相应的对称方向和对称面称为相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向弹性对称方向和和弹性对称面弹性对称面。垂直于弹性对称面的方向称为垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴弹性主轴。xyz 弹性对称面OP (x, y, z)P (x, y, -z)y 设设Oxy平面为材料的弹性对称面，平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。轴为弹性主轴。 C其中其中C为各向异性的弹性矩阵为各向异性的弹性矩阵 现将现将z轴反向，考察轴反向，考察其本构关系其本构关系xz 仅具有一个弹性对称面的材料称为仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性横观各向异性材料。材料。 体内一点体内
9、一点P(x, y, z)的应力和应变的应力和应变为为 和和 。则则8 8 8 8 8目录退出下一页上一页最后一页在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变 C但但P点坐标和应力应变分量发生变化点坐标和应力应变分量发生变化由坐标变换由坐标变换 Txyzxyyzzx Txyzxyyzzx 两坐标系三轴的方向余弦为两坐标系三轴的方向余弦为xyzx100y010 x00-1代入上式代入上式 C由由 CC 比较得比较得15162526353645460cccccccc9 9 9 9 9目录退出下一页上一页最后一页例如比较例如比较 C 和和 C 中的第一行
10、中的第一行 1111213141516nccccccc 1111213141516nccccccc15160cc 横观各向异性材料横观各向异性材料，其独立的，其独立的弹性常数为弹性常数为1313个；个；正应变会正应变会产生切应力，切应变也会产生正应力产生切应力，切应变也会产生正应力 工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性横观各向异性弹弹性体。性体。 横观各向异性材料横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为的广义胡克定律可表示为 1112131422232433344455566600000000 xxyyzzxyxyyzyzzxzxccccccccc
11、cccc对 称1010101010目录退出下一页上一页最后一页 将将 y 轴反向，不产生新的结果。轴反向，不产生新的结果。 将将 x 轴反向，仿前分析步骤可得轴反向，仿前分析步骤可得14162426343646560cccccccc二二. . 正交各向异性材料正交各向异性材料xyz P (x, y, z)O 设三个弹性对称面分别为设三个弹性对称面分别为Oxy、Oyz和和Ozx平面，材料沿平面，材料沿 x、 y、 z 三方向弹性性质各异。三方向弹性性质各异。 具有三个相互垂直弹性对称具有三个相互垂直弹性对称面的材料称为面的材料称为正交各向异性正交各向异性材料。材料。1111111111目录退出下
12、一页上一页最后一页 综合之，正交各向异性材料的广义综合之，正交各向异性材料的广义胡克定律胡克定律可表示为可表示为111213222333445566000000000000 xxyyzzxyxyyzyzzxzxccccccccc对 称 正交各向异性正交各向异性材料材料，其独立的，其独立的弹性常数为弹性常数为9 9个；个；正应变仅正应变仅产生正应力，切应变仅产生切应力。产生正应力，切应变仅产生切应力。 煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性正交各向异性弹弹性体。性体。 工程上一般用三个弹性模量（工程上一般用三个弹性模量（Ex、 Ey 、 Ez ），三
13、个泊松），三个泊松比（比（Poisson）（xy、 yz、 zx）和三个切变模量（）和三个切变模量（Gxy、 Gyz、Gzx）表示。）表示。1212121212目录退出下一页上一页最后一页三三. . 横观各向同性材料横观各向同性材料 具有各向同性面，且各各向同性具有各向同性面，且各各向同性面相互平行（或具有弹性对称轴）的面相互平行（或具有弹性对称轴）的物体，称为横观各向同性材料。物体，称为横观各向同性材料。yzxxyzO 设体内每一点存在一轴（设体内每一点存在一轴（z轴），在轴），在与此轴垂直的平面（与此轴垂直的平面（Oxy）内，所有射线）内，所有射线方向的弹性性质均相同。方向的弹性性质均相同
14、。 称该平面为各称该平面为各向同性面。向同性面。 在正交各向异性的基础上，按相似分析步骤，在正交各向异性的基础上，按相似分析步骤，1122556613234411121,2ccccccccc 设设 xy 平面平面绕绕 z 轴旋转任意角度轴旋转任意角度 ， 旋转前后应力应变关系不变，比较其旋转前后应力应变关系不变，比较其弹性常数可得弹性常数可得1313131313目录退出下一页上一页最后一页1112131113331112555500000000010020 xxyyzzxyxyyzyzzxzxcccccccccc对 称 所以，横观各向同性材料的广义所以，横观各向同性材料的广义胡克定律胡克定律可
15、表示为可表示为 横观各向同性横观各向同性材料材料，其独立的，其独立的弹性常数为弹性常数为5 5个；个； 地层、层状岩体、复合板材等可简化为地层、层状岩体、复合板材等可简化为横观各向同性横观各向同性弹性弹性材料。材料。 工程上一般用两个弹性模量（工程上一般用两个弹性模量（Exy、 Ez ），两个泊松比），两个泊松比（xy、 z）和一个切变模量（）和一个切变模量（G）表示。）表示。1414141414目录退出下一页上一页最后一页四四. . 各向同性材料各向同性材料 在横观各向同性在横观各向同性的基础上的基础上，将，将 z 轴反向，考察其反向前后轴反向，考察其反向前后的应力应变关系可得的应力应变关系
16、可得223344665522231,2ccccccc111212111211111211121112000000000100210212xxyyzzxyxyyzyzzxzxcccccccccccc对 称 所以，各向同性材料的广义所以，各向同性材料的广义胡克定律胡克定律可表示为可表示为各向同性材料独立的弹性常数只有各向同性材料独立的弹性常数只有2个个1515151515目录退出下一页上一页最后一页4-3 4-3 各向同性各向同性线弹性材料的物理方程线弹性材料的物理方程一一. . 广义广义胡克定律胡克定律的基本形式的基本形式 对于对于各向同性材料的广义胡克定律表达式，展开各向同性材料的广义胡克定律
17、表达式，展开令令111211121112111211121112121212xxyzxyxyyyzxyzyzzzxyzxzxcccccccccccc12111212cGcc222xxxyxyyyyzyzzzzxzxGGGGGG则则其中其中kkxyz张量形式张量形式2ijijijG1616161616目录退出下一页上一页最后一页（注：（注： Lam原文所用原文所用符号为符号为 和 而非G， 也不是泊松比。也不是泊松比。在工程形式中，在工程形式中，Lam常数常数 实际上被定义为切变模量实际上被定义为切变模量G） 、G 称为称为拉梅（拉梅（Lam）常数）常数 此即广义胡克定律的基本形式，该形式数学表
18、述简练，便此即广义胡克定律的基本形式，该形式数学表述简练，便于理论推导应用，但力学意义不能一目了然，不便于工程运用。于理论推导应用，但力学意义不能一目了然，不便于工程运用。二二. . 广义胡克定律的工程形式广义胡克定律的工程形式 将前六式反解，并令将前六式反解，并令322GGEGG 则则111111xxyzyxyzyyzxzxzxzzxyxyxyEGEGEG 此即广义胡克定律的工程形式，其中常数此即广义胡克定律的工程形式，其中常数 E、G 和和 是广是广为熟知的弹性模量、切变模量和泊松比。仅两个独立。为熟知的弹性模量、切变模量和泊松比。仅两个独立。1717171717目录退出下一页上一页最后一
19、页张量形式张量形式其中其中kkxyz由由322GGEGG2 1112EEG1()ijijijijE 得得若用应变表示，反解或由基本形式代入即得若用应变表示，反解或由基本形式代入即得1122 11122 11122 1xxyzyzyyzxzxzzxyxyEEEEEE或或2ijijijGE1818181818目录退出下一页上一页最后一页三三. . 体积胡克定律体积胡克定律由由2iiiiiiGE即即132GE描述了体积应力和体积应变的关系描述了体积应力和体积应变的关系令令K称为体积弹性模量称为体积弹性模量131212KGE故故K称为体积胡克定律称为体积胡克定律32GE张量形式张量形式1112ijij
20、ijE或或2112ijijijEG1919191919目录退出下一页上一页最后一页mm11112222ijijijijijsGGGG 所以所以12ijijesG当当 i j 时，因时，因1100JJ 三式相加为恒等式三式相加为恒等式即六对量仅五个关系即六对量仅五个关系补充一个关系补充一个关系体积胡克定律体积胡克定律故故12ijijesG1K四四. . 广义胡克定律的偏量形式广义胡克定律的偏量形式m12112323ijijijijijijijijeGEEGE 此形式便于塑性分析此形式便于塑性分析2020202020目录退出下一页上一页最后一页五五. . 弹性常数的关系弹性常数的关系 前述广义胡克
21、定律的各种形式，涉及的弹性常数有五个前述广义胡克定律的各种形式，涉及的弹性常数有五个（E、 、 G 、K），但其中仅两个独立。各量可相互表出。），但其中仅两个独立。各量可相互表出。弹性常数互换表弹性常数互换表E、E、KE、GE、KGE2 1EE1(12 )E12EE22EGGG23G EGGE3GEGEE2EH34EH32EH2KEKE3KEKE3K KEKEK2229HEE注：2121212121目录退出下一页上一页最后一页、KG、G、K、K、 、GKGE21GG212G2112G1(12 )(12 )2(1)12K(12 )2 1K1KK(32 )GGG2GG32G3KGKG22KGKGGK23KGK3 ()K KKK32K弹性常数互换表（续）弹性常数互换表（续）
