1、by Chen ping第二章 平面问题的基本理论 和问题的概念的建立和l按位移和按应力按位移和按应力求解平面问题。 平面平面问题问题 平面平面问题问题 问题简化问题简化平面问题平面问题 特殊形状特殊形状 + + 特殊外力特殊外力（约束）（约束） 空间问题空间问题 （空间物体空间物体 + + 空间力系空间力系） 2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 平面应平面应力问题力问题 等厚度等厚度薄板薄板并且并且不沿厚度变化不沿厚度变化例如,以及平板坝的等2/ t2/ t应力、应力、应应变和位移变和位移
2、 zxyyzxyzx 附附1xyzyzzxxyuvw下面讨论平面问题的应力，应变和位移特点平面平面问题问题 薄板薄板厚度厚度只剩平行于只剩平行于x y面的三个应力分量面的三个应力分量: : 02tzz02tzzx02tzzy0zxyyx , ,由于由于板很薄板很薄, ,外力外力又不沿厚度变化又不沿厚度变化 0zx0zy0yz0 xz切切应力应力互等互等 2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 t2/ t2/ t薄板上下面薄板上下面 只有平面应力分量只有平面应力分量 存在且仅存在且仅为为 x，y 的函数的弹性力学问题。的函数的弹性力学问题。yxxyyx, 2-1 2
3、-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 wvu , ,xyzyzxzyx , 0 , ,2/ t2/ t问题问题 非独立变量平面平面问题问题 柱形体柱形体 很长很长 在柱面上受有平行于横截面平行于横截面而且不沿长度变化内在因素内在因素和外来作用外来作用都不沿长度变化。 如, 或,2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 平面应变问题平面应变问题 柱形体柱形体 很长很长2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 平面应变问题（二）平面应变问题（一）有限长度，轴向变形被限制无限长度，轴向变形也完全受到限制平面应变问题平面应变
4、问题 柱形体柱形体 很长很长 任一横截面都可以看作是对称面任一横截面都可以看作是对称面因此，只剩下因此，只剩下平行于平行于x y 面面的的三个三个形变形变分量分量！vuw , , 0 xyyxzyzxz , , , 0 , 00yzzy0 xzzx2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 zxyyx , , ,位移位移应变应变应力应力平面平面位移位移问题问题 问题问题只有平面应变分量存在只有平面应变分量存在 ， ， ， 且仅为且仅为x，y 的函数的弹性力学问题。的函数的弹性力学问题。xyxy2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 平面问
5、题思考题：平面问题思考题：1.设有厚度很大（即z向很长）的基础梁放置在地基上，力学工作者想把它近似地简化为平面问题处理，问应如何考虑？2.平面问题的求解只需考虑 xy 面上的各个分量，原因是另外一个方向上任何分量都为零。（对错判断 ） 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑: 、和。 首先考虑平面问题的静力学方面,根据平衡条件来导出与之间的关系式,也就是平面问题的。表示区域内任一点（表示区域内任一点（x, yx, y）的微分体的平衡条件）的微分体的平衡条件 dxxxyxydxxxxxxyyxydyyyxyxdyyyyxyoyfxfC2-2 平衡微分方程平衡微分
6、方程 从平面问题中任取微微小小的正正平行六面体平行六面体 x方向 dx y方向 dyz方向设为1各面应力均匀分布，作用在截面中心体力也均匀分布，作用在体积中心dyyfdxxfdf平均正应力平均正应力或切应力或切应力的增量的增量可用泰勒级可用泰勒级数数表示为表示为： 222!21dxxxdxxxxdxxxx略去二阶及更高阶微量2-2 平衡微分方程平衡微分方程 简化为)()(!)(.)(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn dxxxyxydxxxxxxyyxydyyyxyxdyyyyxyo静力静力平衡微分方程平衡微分方程yfxfC1. 考虑了正负
7、x,y面上应力增量2. 公式推导以正的物理量表示3. 应力和体力应乘以其面积和体积，得出合力4. 连续性、小变形假设静力静力平衡微分方程平衡微分方程过中心过中心C C平行平行z 轴列轴列力矩的平衡方程力矩的平衡方程： 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 0CM21dxdydxxxyxy21-dydxdyyyxyx上式，引用上式，引用 1-3，第，第(5)个基本假定个基本假定小变形假定！小变形假定！dxxxyxydxxxxxxyyxydyyyxyxdyyyyxyoyfxfC21dxdyxy021dydxyx过中心过中心C C平行平行z z轴列轴列力矩的平衡方程力矩的平衡方程 ： 2-2 平衡微分方
8、程平衡微分方程 0CM2121dydxdydxdxxdydxxyxyxy2121dxdydydxdyydxdyyxyxyx静力静力平衡微分方程平衡微分方程移项移项2-2 平衡微分方程平衡微分方程 0abMdyydxxyxyxxyxy2121yxxy命命dx及及dy趋于零趋于零 化简为化简为静力静力平衡微分方程平衡微分方程（2-1）以以 x 轴为投影轴轴为投影轴, ,列出投列出投影的平衡方程影的平衡方程 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 0 xF1dydxxxx1dxyx静力静力平衡微分方程平衡微分方程dxxxyxydxxxxxxyyxydyyyxyxdyyyyxyoyfxfC1dyx01dxd
9、yfx1dxdyyyxyx以以x轴为投影轴轴为投影轴, ,列出投影的平衡方程列出投影的平衡方程 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 0 xF0 xyxxfyx上式约简后，上式约简后，得得平衡方程平衡方程: :由由得相得相似的微分方似的微分方程程： 0yxyyfxy平面问平面问题的平题的平衡微分衡微分方程方程 0yF静力静力平衡微分方程平衡微分方程（2-2）l 平衡微分方程表示任一点(x, y) 的平衡条件，(x, y) 属于平面域A，所以也代表 A 中所有点的平衡条件。l 式(2-2)第一式中所有的各项都是x 向的力，第二式均是y 向的力。（2-1）又一次导出了切应力互等定理。l 在任一等式中，
10、各项的量纲必须相同，据此可以作为检查公式是否正确的条件之一。l 平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。l 5. 对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。l 由于 ，以后只作为一个独立未知函数处理。因此，2个独立的平衡微分方程 (2-2) 中含有3个应力未知函数。l 弹性力学对平衡条件的考虑是严格和精确的。 yxxy(2-1)在材料力学中,矩形截面梁弯曲时的正应力公式为试用弹性力学平衡微分方程式,求横截面上的切应力公式。 123bhyMzx例题分析例题分析1 1 00yxyyxyxxfxyfyx123bhI bh)(xfdyIyxMz解：解： 弹性力学中的平衡微分方程
11、（假定体力为零）为弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为QxMz)(2)(2xfyIQxfdyIyxMzxy02hyxy0)(2212xfhIQ0yxyxxQMM+ MQdxM)(xfdyxxxy123bhI IQhxf8)(22232242348yhbhQyhIQxy2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 考虑平面问题的几何学方面考虑平面问题的几何学方面, ,导出导出与与之间的关系式之间的关系式, ,也就是平面问题中的也就是平面问题中的。 xy0一点的变形一点的变形2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 取任意一点 Px方向线段PA=dx y方向线段PB=dyuPBAPABvdx
12、xuudyyvvdyyuudxxvv线段PA正应变 一点的应变位移一点的应变位移关系关系正应变正应变xudxudxxuuxPB的正应变 yvy2-3几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 xy0uPBAPABvdxxuudyyvvdyyuudxxvvdxdy试证明图中试证明图中y方向的位移方向的位移v 所引起的线段所引起的线段PAPA的伸缩是高阶微量。的伸缩是高阶微量。问题问题xy0uPBAPABvdxxuudyyvvdyyuudxxvv一点的应变位移关系一点的应变位移关系切应变切应变求线段求线段PAPA与与PBPB之间的之间的的的, , 也就是也就是 , ,用位移分用位移分量来表示。量来表示。
13、xydxdyyuxvdxvdxxvvyuxvxy 平面问题中表明应变分量与位移分量之间的关系式, 即平面问题的几何方程平面问题的几何方程为为: :yuxvxy位移分量完全确定时位移分量完全确定时, ,应变分量即完全确定应变分量即完全确定xuxyvy2-3几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 反之反之, ,当应变分量完全确定时当应变分量完全确定时, ,位移分量却位移分量却能完能完全确定全确定。（加。（加三个适当的约束条件三个适当的约束条件可以可以确定确定） 当应变分量完全确定时当应变分量完全确定时, ,位移分量位移分量能完全确定能完全确定的说明：的说明：试命应变分量等于零,即 0 xu0yv0yu
14、xv)(1yfu )(2xfv dxxdfdyydf)()(21求位移0 xyyx2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 dxxdfdyydf)()(21这一方程的左边是这一方程的左边是y y的函数的函数, , 而右边而右边是是x x的函数。因此的函数。因此, ,只可能两边都等只可能两边都等于同一常数于同一常数。 dxxdfdyydf)()(21, yuyf01)(xvxf02)(2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 当应变分量完全确定时当应变分量完全确定时, ,位移分量位移分量能完全确定能完全确定的说明：的说明：yuyfu01)(xvxfv02)(这是这是“应变为零应变为零”时的时
15、的位移位移, ,也就是所谓也就是所谓“与变与变形无关的位移形无关的位移”, ,因而必然是因而必然是刚体位移刚体位移。 刚刚体位体位移移 根据平面运动的原理平面运动的原理可以证明uo及vo分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体平移刚体平移,而为物体绕z轴的刚体转动刚体转动。 yuu0 xvv0应变分量等于零时的位移位移2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 刚刚体位体位移移yuu0 xvv0应变分量等于零时的位移位移2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 时当 0 , 0 , 0 00uv0 ,0vuuuo o代表物体沿代表物体沿x方向的刚体平移方向的刚体平移vo o代表物体沿代表物体沿y方向
16、的刚体平移方向的刚体平移0 , 0vvu（1）时当 0 , 0 , 0 00vu（2）2222xyvutgxyxytgryx22当只有当只有不为零时不为零时 （3）xy0ZPxyryxr说明说明P P点的位移是点的位移是乘以该点的半径，任意点都这样，整个平面绕乘以该点的半径，任意点都这样，整个平面绕OZOZ轴旋转一个角度轴旋转一个角度刚刚体位体位移移yuu0 xvv0应变分量等于零时的位移位移2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 刚刚体位体位移移 既然物体在应变为零时可以有任意的刚体位移,可见, 当物体发生一定的应变时, 由于, 它可能具有, 因而它的位移并不是完全确定的。在平面问题中,
17、 常数u0, v0, 的任意性就反映位移的不确定性, 而为了, 就必须有来确定这三个常数。 2-4 物理方程物理方程 在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑: 、和。平面问题的物理学方面平面问题的物理学方面2-5 物理方程物理方程 在完全弹性的各向同性体内在完全弹性的各向同性体内, ,应变分量与应力分量之间的应变分量与应力分量之间的关系关系, ,就是就是材料力学中材料力学中的的R.HookeR.Hooke定律定律: : )(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEEzxzxyzyzxyxyGGG111)1 (2EGE弹性模量 G切变模量 泊松比(侧向收缩系数)广义胡克定律广义胡克定律2-4
18、物理方程物理方程 问题问题: : )(11yxzxyyyxxEEE00)1 ( 2zxyzxyxyE000yzzxz问题问题: : 000 xzyzz)(yxz)1(1)1(122xyyyxxEExyxyE)1 (22-4 物理方程物理方程 问题问题: : 问题问题: : EEEG)1 ( 21)11 ( 2)1 ( 212E21E1剪切模量转换形剪切模量转换形式同样是不变的式同样是不变的2)1 ()21 (E1问题问题: : 问题问题: : E思考题：思考题：1 1. . 在有一个工程中得知三个主应力均为负值（压应力），在有一个工程中得知三个主应力均为负值（压应力），但发现混凝土结构的某一方
19、向已经出现裂缝（即超过抗但发现混凝土结构的某一方向已经出现裂缝（即超过抗拉极限应变值），试问为什么会发生这种现象？拉极限应变值），试问为什么会发生这种现象？ 2 2. . 试解释：在自重作用下为什么钢圆环（平面应力问题）试解释：在自重作用下为什么钢圆环（平面应力问题）总比钢圆筒（平面应变问题）的变形大？总比钢圆筒（平面应变问题）的变形大？ E21E12-5 边界条件边界条件 在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑: 、和。平面问题平面问题有有 8 8个基本方程个基本方程8 8个未知函数个未知函数(3(3个应力分量个应力分量；3 3个个应变分量应变分量；2 2个位移分量个位移分量) )。因此因此
20、，在适当的在适当的边界条边界条件件下下，从基本方程中求解未知函数是可能的从基本方程中求解未知函数是可能的。弹性力学问题分为位移边界位移边界问题 应力边界应力边界问题 混合边界混合边界问题2-5 边界条件边界条件 2-2-5 5 边界条件边界条件 位移边界位移边界问题、应力边界应力边界问题、混合边界混合边界问题 位移边界问题位移边界问题物体在全部边界上的位移分量是已知物体在全部边界上的位移分量是已知的的，也就是也就是: : 在边界上有在边界上有 , , 其中其中, , 和和 在边界上是坐标的己知函数在边界上是坐标的己知函数, ,即：即：vv uvuu ）（上在92 )( )()()()(ussS
21、svvsuuuvxyo2-2-5 5 边界条件边界条件 位移边界位移边界问题、应力边界应力边界问题、混合边界混合边界问题 应力边界问题应力边界问题物体在全部边界上所受的面力是已知物体在全部边界上所受的面力是已知的的, ,也就是说也就是说, ,面力分量面力分量 和和 在边界上是坐标的已知在边界上是坐标的已知函数。函数。 xtytxtytxyoxtytn应力边界条件应力边界条件根据面力分量与边界上的应力分量之间的根据面力分量与边界上的应力分量之间的关系式关系式, , 可以把面力己知的条件转换成为应力方面的已知条件可以把面力己知的条件转换成为应力方面的已知条件。斜面斜面ABAB与物体与物体的边界重合
22、的边界重合 ， lx ),cos(nmy ),cos(ndsAB长ldsmdsPB长PA长2-2-5 5 边界条件边界条件 应力边界应力边界问题问题012111ldsmdsfmdsldsdstxyxxxyxyyxyxxtlmtml由平衡条件 得 0 xF应力边应力边界界条件条件 0yF2-2-5 5 边界条件边界条件 应力边界应力边界问题应力边界应力边界条件条件2-2-5 5 边界条件边界条件 )()(stlmstmlyxyyxyxx 当边界垂直于某一坐标轴时当边界垂直于某一坐标轴时, , 应力边界条件的形式将得到应力边界条件的形式将得到大大的简化大大的简化。 )(),(xtxtxyxyy)(
23、),(ytytyxyxxxxtytxtyty 在垂直于在垂直于y轴轴的边界上的边界上, , l=0, m=1在垂直于在垂直于x轴轴的边界上的边界上,l= 1,m=0, ,应力边界条件简化为应力边界条件简化为混合边界混合边界问题xyxxtmlyxyytlm0yxyt0 xxt0 vv0 uuuu vv +2-2-5 5 边界条件边界条件 （2-12-1） 试列出图试列出图1 1所示问题的边界条件。所示问题的边界条件。 例题分析例题分析 xMPQqh/2h/2ly0 xyOg图1图2答：图1的边界条件为: 左边 gyxx0)(0)(0 xxytanxy cos ,sin00mlmlmlyxyxyx
24、)()(stlmstmlyxyyxyxx斜边：（2-2-2 2）如图所示为处于平面应力状态下的细长薄板条，上下如图所示为处于平面应力状态下的细长薄板条，上下边界受边界受P P力的作用（或均布拉应力作用），其余边界上均无面力的作用（或均布拉应力作用），其余边界上均无面力作用。试证明凸角力作用。试证明凸角A A点处为零应力状态。点处为零应力状态。 例题分析例题分析 )()(stlmstmlyxyyxyxxAPP2-6 圣维南原理圣维南原理 求解弹力问题时求解弹力问题时, ,使应力、应变使应力、应变和和位移分量完全位移分量完全满足基本方程满足基本方程, ,并不困难。但是并不困难。但是, , 要使得边
25、界条件要使得边界条件也得到完全满足也得到完全满足, , 却往往发生很大的困难却往往发生很大的困难( (因此因此, ,弹性力学问题在数学上被称为弹性力学问题在数学上被称为边值问题边值问题) )。另一方面另一方面, ,在很多的工程结构计算中在很多的工程结构计算中, ,都会遇到这都会遇到这样的情况样的情况: : 在物体的一小部分边界上在物体的一小部分边界上, ,仅仅知道物仅仅知道物体所受的面力的合力体所受的面力的合力, ,而这个而这个面力的分布方式并不面力的分布方式并不明确明确, ,因而无从考虑这部分边界上的应力边界条件因而无从考虑这部分边界上的应力边界条件。问题提出问题提出 如果把物体的一小部分边
26、界上的面力如果把物体的一小部分边界上的面力, ,变换为分布变换为分布不同但不同但的面力的面力( (主矢量相同主矢量相同, ,对于同一点的对于同一点的主矩也相同主矩也相同), ),那么那么, ,近处的应力分布将有显著的改变近处的应力分布将有显著的改变, ,但是远处所受的影响可以忽略不计。但是远处所受的影响可以忽略不计。圣维南原理圣维南原理2-6 圣维南原理圣维南原理 例如例如, ,设有柱形构件设有柱形构件, ,在两端截面的形心在两端截面的形心受到大小相等而方受到大小相等而方向相反的拉力向相反的拉力P P 圣维南原理圣维南原理说明说明虚线划出部分的应力虚线划出部分的应力分布有显著的改变分布有显著的
27、改变 端部做静力等效变换端部做静力等效变换应力分布改变忽略不计PP2/PPPP2/P2/P2/PAP/AP/2/P2/P2-6 圣维南原理圣维南原理 圣维南原理圣维南原理应用举例应用举例圣维南原理只能在圣维南原理只能在次要边界上应用次要边界上应用！ 左右端小边界上无左右端小边界上无法精确满足连续应法精确满足连续应力边界条件力边界条件（a）该式表示精确满足边界条件的要求2-6 圣维南原理圣维南原理 xtytxtytPQylxxyxlxxtt)()(圣维南原理圣维南原理应用举例应用举例（b）在右端小边界上，使应力主矢量等于面力主矢量，应力对某点的主矩等于面力对同一点的主矩数值相同，方向一致 ydy
28、ytydyydyytdydyytdyhhyhhlxxhhyhhlxxyhhxhhlxx2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/)()()(xtytxtytPQ右端小边界（c）圣维南原理圣维南原理应用举例应用举例在x=l小边界上，三个积分边界条件是：MydyQdyPdyhhlxxhhlxxyhhlxx2/2/2/2/2/2/)()()(1)(1) 式式 ( (a) a) 是精确的是精确的，而式而式 ( (b) b) 是近似的是近似的；(2)(2) 式式 (a) (a) 有两个条件有两个条件，一般为两个函数方程一般为两个函数方程；式式(b)(b)有三个积分条有三个积分条件件，均为代数方程。
29、均为代数方程。(3)(3) 在求解时在求解时, , 式式(a)(a)难以满足难以满足, , 而式而式(b)(b)易于满足。当小边界上的条易于满足。当小边界上的条件件(a)(a)难以满足时难以满足时, , 便可以用式便可以用式(b)(b)来代替。来代替。 yMP0y0b/2 b/2bq(1-x/b)xxP=qb/2M=qb/12hh2AA例：试问图2所示的两个问题中OA边的面力是否是静力等效的（厚度设为1）并写出积分边界条件？例题例题解解: : (a)(a)对于图对于图(a) (a) 的问题的问题, ,在在主要边界主要边界 y= h/2 应精确满足应精确满足下列下列边界条件：边界条件：12 ,
30、0 ,20 , ,2qhylxqhyyxyyxyMdyyFdyFdyhhxxshhxxyhhxx2/2/02/2/02/2/0)()()(次次要边界要边界(b)(b)在主要边界在主要边界 x=0,b, x=0,b, 应应精确满足下列边界条件精确满足下列边界条件: : qbxgyxyxxyxx , 0 ,0 , , 0在小边界在小边界 y=0=02)(43)(23)(000000FdxFbxdxFdxbyyxbyybyy试列出图试列出图( (a)(b)a)(b)的的边界条件边界条件。2-7 按按求解平面问题求解平面问题 弹性力学里求解问题弹性力学里求解问题, ,有三种基本方法有三种基本方法, ,
31、和和。 xyxyxyyyxxEEE)1 (21100yxyyxyxxfxyfyxxvyuyvxuxyyx )()()()(svvsuussyxyyxyxxtlmtmlxyxyxyyyxxEEE)1 (2111122平衡微分方程平衡微分方程+ +几何方程几何方程+ +位移边条位移边条+ +应力边条应力边条物理方程物理方程E21E12-7 按按求解平面问题求解平面问题位移分量为基本未知函数位移分量为基本未知函数( (只包含位移分量的微分方程和边界条件只包含位移分量的微分方程和边界条件) )求出位移分量以后求出位移分量以后, ,再用几何方程求出应变分量再用几何方程求出应变分量, ,从而用物理方程求出
32、应从而用物理方程求出应力分量。力分量。 弹性力学里求解问题弹性力学里求解问题, ,有三种基本方法有三种基本方法, ,和和。 从从平面应力平面应力物理方程的三式中求解应力分量（应变分量物理方程的三式中求解应力分量（应变分量的函数）的函数）2-7 按按求解平面问题求解平面问题将几何方程代入变成应力与位移的关系，将几何方程代入变成应力与位移的关系，最后将应力与位移的关系代入平衡微分方程得到按位移最后将应力与位移的关系代入平衡微分方程得到按位移求解的基本微分方程。求解的基本微分方程。xyxyxyyyxxxyyxyxyyxyxxEEExvyuyvxufxyfyx)1 (21100 xyxyxyyyxxE
33、EE)1 (21122xvyuExuyvEyvxuExyyx)1 (21122( (LameLame equation)equation)代入代入得到得到代入平衡方程代入平衡方程021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxyuxuE2-7 按位移求解平面问题按位移求解平面问题0 xyxxfyx0yxyyfxy代入代入得到平衡微平衡微分方程分方程)(12xuyvEyyuxvExy12yvxuEx21xyxuE)(12012xfyyuxvE由另一平衡方程得相似的方程由另一平衡方程得相似的方程0121)(122xfyyuxvxyxuE0212112222222xfyu
34、yxxyxuE021211222222xfyxyuxuExyxuE)(12012xfyyuxvE接上页公式2-7 按位移求解平面问题按位移求解平面问题( (LameLame equation)equation)在平面应力问题中的简化形式在平面应力问题中的简化形式。 （2-12）021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxyuxuE 将将应力分量与位移关系应力分量与位移关系式式代代入入应力边界条件式应力边界条件式 代代入入xyxxtmlxtyuxvEmyxuEl12)(12xtyuxvmyxulE21)(12yyxytlmytyuxvmxuyvlE21)(12位移
35、表示的位移表示的应力边界条件应力边界条件： （2-13）（在S上）uu vv 位移位移边界边界条件条件（在Su上）yxtyuxvmxuyvlEtyuxvmyxulE21)(121)(122对于平面应变问题,须在上面的各个方程中将 E21E1例题2-1gffyx 0求解：求解：一维问题Egdyvd220)(0yvvu021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxyuxuE边界条件边界条件解答为：解答为：)(12xuyvEy)()2(20002202yhgyhyEgvEghABvBAyyEgvyhyyy)()2(20002202yhgyhyEgvEghABvBAyyE
36、gvyhyyy)()2(20002202yhgyhyEgvEghABvBAyyEgvyhyyy)()2(20002202yhgyhyEgvEghABvBAyyEgvyhyyy)()2(20002202yhgyhyEgvEghABvBAyyEgvyhyyyEgdyvd22求解得求解得关于关于位移求解平面问题位移求解平面问题的特点的特点一般情况一般情况, ,按位移求解平面问题按位移求解平面问题, ,须处理须处理, ,缺点缺点是无法是无法简化为处理一个单独微分方程的问题。简化为处理一个单独微分方程的问题。从而不从而不能得出很多有用解答。能得出很多有用解答。 但原则上但原则上, ,按位移求解可以按位移
37、求解可以不论体不论体力是不是常量力是不是常量, ,问题是位移边界问题还是应力边界问题或问题是位移边界问题还是应力边界问题或混混合边界问题。这是按应力求解时不可能做到的。合边界问题。这是按应力求解时不可能做到的。 在有限单元法中在有限单元法中, ,按位移求解也是比较简单而普遍适用的。按位移求解也是比较简单而普遍适用的。 应力应力分量为基本未知函数分量为基本未知函数( (只包含只包含应力应力分量的微分方程和边界条件分量的微分方程和边界条件) )求出求出应力应力分量以后分量以后, ,再用物理方程求出应变分量再用物理方程求出应变分量, ,从而用几何方程求出从而用几何方程求出位位移移分量。分量。 弹性力
38、学里求解问题弹性力学里求解问题, ,有三种基本方法有三种基本方法, ,和和。 2-8 按按求解平面问题求解平面问题 相容方程相容方程 xyxyxyyyxxxyyxyxyyxyxxEEExvyuyvxufxyfyx)1 (21100平衡方程包含三个应力分量，但仅两个平衡方程包含三个应力分量，但仅两个方程，需要方程，需要补充一个含应力分量的方程补充一个含应力分量的方程补充应力方程补充应力方程变形协调方程变形协调方程（保证位移单值，三个应（保证位移单值，三个应变分量之间应满足的关系）变分量之间应满足的关系） 得到应力相容方程得到应力相容方程得到平面应力问题应力解得到平面应力问题应力解2-8 按按求解
39、平面问题求解平面问题 相容方程相容方程 xuxyvyyuxvxy变形协调方程或相容方程变形协调方程或相容方程 要使得满足几何方程的位移存在且是单值的,应变分量之间必须满足一定的条件 xuxyvyyuxvxy将将 对对y 偏导数两次，偏导数两次，将将 对对x 偏导数两次，偏导数两次，将将 分别对分别对x 和和y 偏导数两次偏导数两次xyxy变形协调方程或相容方程变形协调方程或相容方程 yxxvyuyxxyvyxuxyxyyx2223232222yxxvyuyxxyvyxuxyxyyx2223232222yxxvyuyxxyvyxuxyxyyx2223232222yxxvyuyxxyvyxuxyx
40、yyx2223232222变形协调方程或相容方程变形协调方程或相容方程( ( yxxyxyyx22222 应变分量应变分量x，y，xy必须满足这个方程必须满足这个方程, , 才能保证位才能保证位移分量移分量u 和和v 的存在的存在。 如果任意选取函数如果任意选取函数x，y和和xy而不能满足这个方程而不能满足这个方程, , 那么那么, , 由三个由三个几几何方程中的任何两个求出的位移分量何方程中的任何两个求出的位移分量, , 将与将与第三个几何方程不能相容。这就表示第三个几何方程不能相容。这就表示, , 变形以后的物体就不变形以后的物体就不再是连续的再是连续的, , 而将发生某些部分互相脱离或互
41、相侵而将发生某些部分互相脱离或互相侵入入的情况。的情况。 Cxyxyyx00)(01yfuxu)(02xfvyvCxyxvyu不相容举例不相容举例相容方程几何意义相容方程几何意义xvyuyvxuxyyx,对于多连通物体对于多连通物体：我们总可作适当我们总可作适当 的截面使它变成单连通物体的截面使它变成单连通物体，则上述的结论则上述的结论也也完全完全适用。具体地说适用。具体地说，如果应变分量满足应变协调方程如果应变分量满足应变协调方程，则在此被割开以后的区域里则在此被割开以后的区域里，一定一定能求得单值连续的函数能求得单值连续的函数。但对求得的但对求得的位移分量，位移分量，当当x，y点分点分别从
42、别从截面两侧趋向于截面上截面两侧趋向于截面上某一点时某一点时，一般说它们将趋向于不同的值。为使所考察的多连通物体在变形以后仍保持一般说它们将趋向于不同的值。为使所考察的多连通物体在变形以后仍保持为连续体为连续体，则必须加上补充条件则必须加上补充条件。acbd+- 因此因此，对于多连通物体对于多连通物体，应变分量满足应变协调方程应变分量满足应变协调方程，只是物体连续的必要条件只是物体连续的必要条件, ,只只有有加上补充条件加上补充条件, ,条件才是充条件才是充分的。分的。 对对多连通物体多连通物体相容方程适用单相容方程适用单连通物体连通物体解答：解答：（1 1）相容相容条件条件yxxyxyyx2
43、222200, 022222yxxyxyyx将形变分量代入应变将形变分量代入应变协调条件（相容方程）协调条件（相容方程）其其中中所以满足相容方程，符合连续条件。所以满足相容方程，符合连续条件。例题例题 已知薄板有下列形变关系：已知薄板有下列形变关系：23 , ,DyCByAxyxyyx 式中式中A,B,C,DA,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连连续条件续条件，若满足并列出，若满足并列出应力分量表达式应力分量表达式。 （2 2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为 )()(1)(1)(1)(1
44、2322322DyCGGByAxyEEByAxyEExyxyxyyyxx （3 3）平衡微分方平衡微分方程程0 xyxxfyx0yxyyfxy其中：其中：GDyyxByAxEyyEAxyxxyyx2, 0)3(1,13220)3(1021322yxfByAxEfGDyyEA若满足平衡微分若满足平衡微分方程，必须有：方程，必须有：将平面应力问题物理方程代将平面应力问题物理方程代入入相容方程相容方程将将上述方程与上述方程与平衡微分方程平衡微分方程联立可求出三个应力分量联立可求出三个应力分量 yxxyxyxyyx2222212yxxyfxyfyxxyxyyxyxyyxxyx222221200将平衡微
45、分方程写成将平衡微分方程写成 xxyxfxyyyxyfyx 将前一方程对将前一方程对x求导求导, ,后一方程对后一方程对y求导求导, ,然后相加然后相加, ,并注意并注意到到yx=xy 得得 yfxfyxyxyxyxyx222222yxxyxyxyyx2222212yfxfyxyxyxyxyx222222 yfxfyxxyyxyxxyyx222222221yfxfyxxxyyyxyxxyyx2222222222221yfxfxxyyyxxyyx122222222yfxfyxyxyx12222yfxfyxxyyxyxxyyx222222221 对于平面应变问题对于平面应变问题, ,进行同样的推演
46、进行同样的推演, ,可以导出可以导出一个与此相似的方程一个与此相似的方程 yfxfyxyxyx112222 相相容容方方程程yfxfyxyxyx12222yfxfyxyxyx1122222-9 常体力的情况下常体力的情况下的简化的简化02222yxyx02yx拉普拉斯拉普拉斯 ( (Laplace)Laplace)微微分方程分方程, ,即即 在很多的工程问题中在很多的工程问题中, ,体力是常量体力是常量, ,也就是说也就是说, ,体力分量体力分量 fx 和和 fy 在整个弹性体内是常量在整个弹性体内是常量, ,不随坐标而变。例如重力和平不随坐标而变。例如重力和平行移动时的惯性力行移动时的惯性力
47、, ,就是常量的体力。就是常量的体力。 按应力求解应力边界问题时按应力求解应力边界问题时, ,在常体力的情况下在常体力的情况下 在边界上满足在边界上满足应力边界条件应力边界条件。在多连体中。在多连体中, ,上列应力分量还应上列应力分量还应当满足当满足位移单值条件位移单值条件。 0 xyxxfyx0yxyyfxy02222yxyx相容方程相容方程平衡微分方程平衡微分方程应满足应满足2-10 应力函数应力函数, , 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法0yxyxx0 xyxyy齐次微分方程齐次微分方程通解通解特解特解xfxxyfyy0 xy0 x0yxfyfyxxyyfxfyxxyfxfyxy0 xy
48、（其中的（其中的三组特解）三组特解）2-10 应力函数应力函数, , 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法平衡微分方程平衡微分方程非齐次微分方程组非齐次微分方程组 = =通解通解+ +特解特解 若设函数 f =f (x，y)，则有xfyyfx假如函数C和D满足下列关系式)()(DyCxxfDyfC ,那么，对照上式，一定存在某一函数f，使得数学补充数学补充根据微分方程理论，偏导数具有相容性：根据微分方程理论，偏导数具有相容性：求求齐次微分方程组通解齐次微分方程组通解： 0yxyxx0 xyxyy xyxyx根据全微分条件根据全微分条件, ,这就一定存在某一个函数这就一定存在某一个函数 ),(yxA
49、 yAxxAxyxyyxy一定存在某一个函数一定存在某一个函数),(yxBxByyBxy比较两式2-10 应力函数应力函数, , 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法比较得到：比较得到： 根据全微分条件根据全微分条件, ,这就一定存在某一个函数这就一定存在某一个函数 yAxxAxy即得即得通解通解 xByyBxyyBxA ),(yxyAxB22yx22xyyxxy2 不论不论 是什么样的函数是什么样的函数, ,上上式应力分量总能满足平衡微分式应力分量总能满足平衡微分方程方程。函数函数 称为平面问题的应力函数称为平面问题的应力函数, , 也称为也称为。 同时也同时也应应满满足相容方程足相容方程 平衡
50、微分方程平衡微分方程非齐次微分方程组非齐次微分方程组= =通解通解+ +特解特解 删去xfyxx22yfxyy22yxxy2022222222yfxxfyyxyx 展开展开应力函数是重调和函数应力函数是重调和函数 应力分量在边界上应当满足应力边界条件应力分量在边界上应当满足应力边界条件; ;在多连在多连体的情况下体的情况下, ,这些应力分量还须满足这些应力分量还须满足位位移单值条件。移单值条件。 022222222xyyx024422244yyxx02204 就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数 ,再求出应力分量,然后根据应力边界条件来考察, 在各种形状的弹性体上, 这些应力分量对应于
