1、10.1.3 古典概型人教A版2019高中数学必修第二册1010. .1 1 随机事件与概率随机事件与概率研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率. 事件A的概率记为: P(A) 我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值。能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？思考1 在10.1.1节,我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验. 它们的共同特征有哪些?（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个;（2）等可能性：每个样本点发生
2、的可能性相等。 考察这些试验的共同特征考察这些试验的共同特征,就是要看它们的就是要看它们的样本点及样本空间样本点及样本空间有哪有哪些共性些共性.可以发现，它们具有如下共同特征：可以发现，它们具有如下共同特征： 将具有以上两个特征的试验称为将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验古典概型试验，其数学模型称为，其数学模型称为古典概率模型，古典概率模型，简称简称古典概型古典概型.古典概型 判断下列概率模型是否是古典概型：判断下列概率模型是否是古典概型：(1)从区间1,10内任意取出一个实数，求取到实数2的概率(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子的试验中，求
3、事件“出现的点数是2的倍数”的概率。不是不是是古典概型 概念辨析（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个;（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等。判断一个试验是不是古典概型抓住两个要点： 一是样本点个数有限性； 二是每个样本点发生是等可能的分析：从班级从班级40名学生中选择一名学生，即名学生中选择一名学生，即样本点是有限个样本点是有限个；随机选；随机选取，所以选到取，所以选到每个学生的可能性都相等每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型。，这是一个古典概型。 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小小因此，可
4、以用男生数与班级学生数的比值来度量因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量 思考： 考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和B发生的可能性大小？(1)一个班级中有18名男生、22名女生采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”；2094018)A(P事件A=“抽到男生”包含18个样本点 样本空间中有40个样本点 考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和B发生的可能性大小？(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”；0 01 11 10 01 10 01 10 01 10 00 01 10 01 11正面朝上，正面朝上，0反面朝上，反面朝上，样本空间样本空间=(
5、1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1) 考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和B发生的可能性大小？(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”；分析：分析：1正面朝上，正面朝上，0反面朝上，反面朝上，样本空间样本空间=(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0), 共有共有8个样本点个样本点，且每个样本点且每个样本点是等
6、可能发生的是等可能发生的，这是一个古典概型。，这是一个古典概型。 事件事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小，因此，可以用事件包含的样本点数与样本含的样本点中所占的比例大小，因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量空间包含的样本点数的比值来度量因为因为B=(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，所以事件，所以事件B发生的可能性大小发生的可能性大小为为83)B(P 一般地，设试验一般地，设试验E是古典概型，样本空间是古典概型，样本空间包含包含n个样本点，事件
7、个样本点，事件A包含其中的包含其中的k个样本点，则定义个样本点，则定义事件事件A的概率的概率.)()()(nAnnkAP其中，其中， 和和 分别表示事件分别表示事件A和样本空间和样本空间 包含的样本点个数。包含的样本点个数。( )n A()n 古典概型的概率计算公式 例7 单选题单选题是标准化考试的常用题型，一般是从是标准化考试的常用题型，一般是从A、B、C、D四个选项中四个选项中选择一个正确答案。若考生掌握了考察的内容，就能选择唯一正确的答案。选择一个正确答案。若考生掌握了考察的内容，就能选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？假设考生不会做，他随机的
8、选择一个答案，问他答对的概率是多少？()1()()4n MP Mn 【解析】试验有选A、选B、选C、选D共四种可能结果，试验的样本空间可以表示为=A，B，C，D考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型 设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，则n(M)=1，所以，考生随机选择一个答案，答对的概率思考 在标准化的考试中也有多选题，在标准化的考试中也有多选题，多选题多选题是从是从A、B、C、D四四个选项中选出所有正确答案（四个选项中至少有一个选项是正确个选项中选出所有正确答案（四个选项中至少有一个选项是正确的），你认为的），你认为单选题和多选题哪种更难选对单
9、选题和多选题哪种更难选对？为什么？为什么？【解析】在多选题中有15个可能结果，试验的样本空间可以表示为 =A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD 假设该考生不会做，在他答对任何答案是等可能的情况下，他答对的概率是1/15，比单选题答对的概率1/4小得多，所以多选题更难答对例8 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为号和号和号），观察两枚骰子号），观察两枚骰子 分别可能出现的基本结果分别可能出现的基本结果.（1）写出此试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；）写出此试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 样
10、本空间样本空间=(m，n)|m，n1,2,3,4,5,6. 共有共有36个样本点个样本点.由于骰子的质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.m n 用m表示号出现的点数为m，用n表示号出现的点数为n 则用（m，n）表示这个实验的一个样本点树状图:123456122345613234561423456152345616234561m n列表:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) ,( )4,n AA从而;91364)()()(nAnAP（2）求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5” B=“两个点数相等” C=“号骰子的点数大于 号骰子的点数” 解：m n(
11、1,1),(2,2),(3,3),(4,4) (5,5),(6,6) ,( )6,nBB，从而;61366)()()(nBnBP（2）求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5” B=“两个点数相等” C=“号骰子的点数大于 号骰子的点数” 解：m n（2）求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5” B=“两个点数相等” C=“号骰子的点数大于 号骰子的点数” 解：(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)C ,)5 , 6(),4 , 6(),3 , 6(),2 , 6(),1 , 6(从而,15)(Cn.1253
12、615)()()(nCnCPm n思考 在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况? ?你能解释其中的原因吗? ? 不记号，不记号，则则不能区分抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子不能区分抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如，如 (1,2)和和(2,1)的结果将无法区别的结果将无法区别. 不记号时，试验的样本空间不记号时，试验的样本空间1=(m，n)|m,n1,2,3,4,5,6,且且mn，则，则n(1)=21. 其中，事件其中，事件A =“两个点数之和是两个点数之和是5”的结果变为的结果变为A=(1,4),(2,3)，这时这时2()21P A m n;91364
13、)()()(nAnAP哪个正确？ 3636个结果都是等可能的 合并为2121个可能结果时，(1,1)(1,1)和(1,2)(1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率因此因此 是错误的。是错误的。2( )21P A 求解古典概型问题的一般思路:)(.()( )n AP An（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.【归纳小结】例9 袋子中有袋子中有
14、5个大小质地完全相同的球个大小质地完全相同的球,其中其中2个红球、个红球、3个黄球，从个黄球，从中中不放回不放回地依次随机摸出地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率个球，求下列事件的概率:（1）A = “第一次摸到红球第一次摸到红球”；（2）B= “第二次摸到红球第二次摸到红球”；（3）AB = “两次都摸到红球两次都摸到红球”.解：将两个红球编号为将两个红球编号为1、2，三个黄球编号为，三个黄球编号为3、4、5. 第一次摸球第一次摸球时有时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有摸球时有4种等可能的结果种等可能的结果
15、. 将两次摸球的结果配对，组成将两次摸球的结果配对，组成20种等可种等可能的结果，用下表表示能的结果，用下表表示.第一次第一次第二次第二次1 12 23 34 45 51 1(1,2)(1,2)(1,3)(1,3)(1,4)(1,4)(1,5)(1,5)2 2(2,1)(2,1)(2,3)(2,3)(2,4)(2,4)(2,5)(2,5)3 3(3,1)(3,1)(3,2)(3,2)(3,4)(3,4)(3,5)(3,5)4 4(4,1)(4,1)(4,2)(4,2)(4,3)(4,3)(4,5)(4,5)5 5(5,1)(5,1)(5,2)(5,2)(5,3)(5,3)(5,4)(5,4)8
16、2(1) ( )205P A 82(2) ( )205P B 21(3) ()2010P AB 如果同时摸出如果同时摸出2 2个个球球, ,那么事件那么事件ABAB的的概率是多少概率是多少? ?（1）A = “第一次摸到红球”；（2）B= “第二次摸到红球”；（3）AB = “两次都摸到红球”.101)(ABP例10 从两名男生从两名男生(记为记为B1和和B2)、两名女生（记为、两名女生（记为G1和和G2）中任意抽取两）中任意抽取两人人.（1）分别写出）分别写出有放回有放回简单随机抽样，简单随机抽样，不放回不放回简单随机抽样和按性别简单随机抽样和按性别等比等比例分层抽样例分层抽样的样本空间的样
17、本空间.（2）在三种抽样方式下）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率分别计算抽到的两人都是男生的概率. 设第一次抽取的人记为X1第二次抽取的人记为X2,则可用数组（X1,X2）表示样本点. 2= （B1,B2）,（B1,G1）,（B1,G2）, （B2,B1）, （B2,G1）,（B2,G2）, （G1,B1）,（G1,B2）,（G1,G2）, （G2,B1）,（G2,B2）,（G2,G1） 按性别等比例分层抽样， 有放回简单随机抽样的样本空间 1= （B1,B1）,（B1,B2）, （B1,G1）, （B1,G2）, （B2,B1）,（B2,B2）, （B2,G1）, （B2,
18、G2）, （G1,B1）,（G1,B2）,（G1,G1）, （G1,G2）, （G2,B1）,（G2,B2）,（G2,G1）, （G2,G2）先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间： 3= (B1,G1),(B1,G2), (B2,G1), (B2,G2).不放回简单随机抽样的样本空间 对于不放回简单随机抽样，A=(B1,B2), （B2,B1）, 且这是古典概型，因此 对于有放回简单随机抽样， A=(B1,B1)，(B1,B2)，(B2,B1)，(B2,B2) 且这是古典概型，因此 41164P A （2）设事件A= “抽到两名男生”，则 21126P A 按性别等比例分层抽样，
19、不可能抽到两名男生，所以 A=?，因此 P(A)=0.（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率. 例10表明，同一个事件A= “抽到两名男生” 发生的概率，在按性别等比例分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大。 因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同。 上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高问题，简单随机抽样使总体中每个个体都有相等的机会被抽中，因为抽样的随机性，有可能出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高.上述计算表明，在总体男、女人数相等的情况下，用有放回简单随机抽样时，出现全是男生
20、是概率最大，不放回简单随机抽样时次之，在按性别等比例分层抽样时全是男生的概率是0，真正避免了这类极端样本的出现. 所以，改进抽样方法对于提高样本代表性很重要.1. 古典概型： (1)有限性; (2)等可能性.2. 古典概型概率计算公式：课堂小结3. 求解古典概型问题的一般思路:)(.()( )n AP An（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号表示试验的可能结果（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率. n AkP Ann练习练习从分别写有从分别写有1,2,3,4,5 的的5 张卡片中随机抽取张卡片中随机抽取1 张，
21、张，放回后放回后再随再随机抽取机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（概率为（ ） 1132.105105ABCDD第一次第一次第二次第二次1 12 23 34 45 51 1(1,1)(1,1)(1,2)(1,2)(1,3)(1,3)(1,4)(1,4)(1,5)(1,5)2 2(2,1)(2,1)(2,2)(2,2)(2,3)(2,3)(2,4)(2,4)(2,5)(2,5)3 3(3,1)(3,1)(3,2)(3,2)(3,3)(3,3)(3,4)(3,4)(3,5)(3,5)4 4(4,1)(4,1)(4,2)(4,2)(4,3)(4,3)(4,4)(4,4)(4,5)(4,5)5 5(5,1)(5,1)(5,2)(5,2)(5,3)(5,3)(5,4)(5,4)(5,5)(5,5)
