第六章平面向量专题复习（典型例题+变式训练）-新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期.rar

第六章向量知识点复习第六章向量知识点复习+典型例题典型例题+变式训练变式训练+答案（学生版）答案（学生版）知识点归纳：1、向量的概念：向量： 零向量：单位向量：平行向量（共线向量）相等向量 2、向量加法：设，则+=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头,ABa BCb abABBC AC（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；aaa00向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：3、向量的减法 ：向量 加上的相反向量叫做与的差，记作：，求两abab)( baba个向量差的运算，叫做向量的减法，作图法：可以表示为从的终点指向的终点的baba向量（、有共同起点）ab4、实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：aa（）；aa（）当时，的方向与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；0aa0aa当时，方向是任意的头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 数乘向量满足交换律、结合律与分配律头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头00a5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头baba6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一21,eea对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组21,2211eea21,ee基底头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头7、两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，ab则=cos叫做 与的数量积（或内积）规定头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ababab00a8、向量的模与平方的关系：头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头22|a aaa ；2222abababab2222abaa bb222aa bb9、平面向量数量积的运算律：交换律成立： 对 实数的结合律成立：a bb a aba babR分配律成立： 特别注意：（1）结合律不成立：abca cb c cab；（2）消去律不成立不能得到 ab ca bca ba c bc（3）=0 不能得到 =或=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头a ba0b010、两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=1122( ,),(,)ax ybxyab1212x xy y11、向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= abOA aOB b（）叫做向量与的夹角头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头cos=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头001800abcos,a ba bab222221212121yxyxyyxx当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当 与反方向时 =1800，同时abab与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头012、垂直：如果与的夹角为 900则称与垂直，记作头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ababab13、两个非零向量垂直的充要条件：Oabab02121yyxx14、两个向量平行的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，使b=a，0/1221yxyxba题型一、平面向量的相关概念题型一、平面向量的相关概念【例例 1 11】1】下列命题：（1）若，则。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起abab点相同，终点相同。 （3）若，则是平行四边形。 （4）若是平行四边形，ABDC ABCDABCD则。 （5）若，则。 （6）若，则。其中正确的是_ABDC ,ab bc ac/ , /ab bc /ac【例例 1 12】2】 （多选）已知向量 ， 是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是abA若存在实数，使得，则 与 共线baabB若 与 共线，则存在实数，使得abbaC若 与 不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，使得abccabD若对平面内的任一向量 ，均存在实数，使得，则 与 不共线ccabab【变式变式 1 11】1】判断下列各命题是否正确,并说明理由: (1)单位向量都相等；(2)两相等向量若起点相同,则终点也相同(3)若,则；|a |b|a b(4)由于零向量方向不确定,故它不能与任意向量平行【变式变式 1 12】2】 （多选）设 ， ， 是任意的非零向量，则下列叙述正确的有abcA若 ， ，那么 abbcacB若 ，则 acbcabC如果 与 是共线向量，那么有且只有一个实数，使 ababD有且只有一对实数，使 12a1b2c【题型二题型二】 、平面向量的加减及其线性运算、平面向量的加减及其线性运算【例例 2 21】1】已知点D，E，F分别是ABC各边的中点，则下列等式中错误的（ ）ABFDDAFA 0FDDEEF CDDEDAEC DEDAFD 【例例 2 22】2】如图，已知梯形中，且，、分别是、ABCDAB/CDAB2CDMNCD的中点，设，试以、为基底表示、.ABAD aAB babDCBCMN【例例2 23】3】设两个非零向量不共线， a,b（1）若求证：，三点共线.,2,3(). ABa+b BCa+8b CDa -bABD（2）试确定实数 ，使和共线.kka+bka+ b【变式变式 2 21】1】在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若，则2ADDB 13CDCACB =_.【变式变式 2 22】2】如图,为平行四边形边上一点,且,设，EABCDAD14AEAD AB aBC b【变式变式 2 23】3】已知是所在平面内一点，为边OABCDBC中点，且，那么（）2OAOBOC 0 AOOD2AOOD3AOOD2AOOD【变式变式 2 24】4】设 a，b 是不共线的两个向量.(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C 三点共线；OA OB OC (2)若 8akb 与 ka2b 共线，求实数 k 的值.【变式变式 2 25】5】已知平面内有一点 P 及一个ABC，若，则（ ）PAPBPCAB A点 P 在ABC 外部 B点 P 在线段 AB 上C点 P 在线段 BC 上 D点 P 在线段 AC 上题型三、平面向量的基本定理、坐标表示及综合应用题型三、平面向量的基本定理、坐标表示及综合应用【例例 3 31】1】（） （设向量=(x，x+1)，=(1，2)，且 ，则 x= .abab（）已知向量=(m,4)，=(3,-2)，且，则 m=_. abab【例例 3 32】2】已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 的坐标分别是（2，1） （1，3） （3，4） ，则向量的坐标是（）A （2，2）B （3，1）C （3，1）D （4，2）【例例 3 34】4】平面ABC 及一点 O 满足，则点 O 是AO ABBO BA BO BCCO CB ABC 的（ ）A重心 B垂心 C内心 D外心【变式变式 3 31】1】已知向量，1,2a 1,4b (1)若，求的值. 23kababk(2)若，求 的值. 23kababk【变式变式 3 32】2】若、是平面内的一组基底，则下四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） 1e2eA与B与12ee21ee122ee1212eeC与D与2123ee1264ee12ee12ee【变式变式 3 33】3】在中，点满足，则点在的（ ）上ABCOOA ABOA AC OABCA.角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高题型四、数量积的概念题型四、数量积的概念【例例4 41】1】已知，分别满足下列条件，求与.| 4a| 3b a b|ab(1) ； (2)； (3)夹角为/abab与ab060【例例 4 42】2】已知向量与 的夹角为 120，则_ab1,3ab5 ab【例例4 43】3】若，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ） 。( 2, 1)a ( ,1)bkabA. B.（2，+） C. D.），（），（2221），（21），（21【例例 4 44】4】若、 、 均为单位向量，且，的最大值为_abc0 a b() ()abbc【变式变式 4 41】1】已知向量与 的夹角为，且，那么的值为 ab1204ab(2)bab【变式变式 4 42】2】已知向量 ，则与夹角的大小为_.=13b=31a（，），（，）ab【变式变式 4 43】3】若向量满足，与 的夹角为，则（ ）, a b1abab60 a aa b21232312【变式变式 4 44】4】若，且，则向量与的夹角为（ ）1a2bcabcaab（A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500 【变式变式 4 45】5】已知、 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，abc() ()0acbc则的最大值是（ ）cA1 B2 C D222【题型五题型五】 、数量积的综合应用、数量积的综合应用【例例 5 51】1】已知与，问当实数 的值为多少时最小) 1 , 2(a)2 , 1 (btb ta【例例 5 52】2】已知向量，向量，则的最大值是 (cos ,sin )a( 3, 1)b 2ab第六章向量知识点复习第六章向量知识点复习+典型例题典型例题+变式训练变式训练+答案（教师版）答案（教师版）知识点归纳：1、向量的概念：向量： 零向量：单位向量：平行向量（共线向量）相等向量 2、向量加法：设，则+=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头,ABa BCb abABBC AC（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；aaa00向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：3、向量的减法 ：向量 加上的相反向量叫做与的差，记作：，求两abab)( baba个向量差的运算，叫做向量的减法，作图法：可以表示为从的终点指向的终点的baba向量（、有共同起点）ab4、实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：aa（）；aa（）当时，的方向与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；0aa0aa当时，方向是任意的头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 数乘向量满足交换律、结合律与分配律头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头00a5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头baba6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一21,eea对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组21,2211eea21,ee基底头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头7、两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，ab则=cos叫做 与的数量积（或内积）规定头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ababab00a8、向量的模与平方的关系：头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头22|a aaa ；2222abababab2222abaa bb222aa bb9、平面向量数量积的运算律：交换律成立： 对 实数的结合律成立：a bb a aba babR分配律成立： 特别注意：（1）结合律不成立：abca cb c cab；（2）消去律不成立不能得到 ab ca bca ba c bc（3）=0 不能得到 =或=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头a ba0b010、两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=1122( ,),(,)ax ybxyab1212x xy y11、向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= abOA aOB b（）叫做向量与的夹角头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头cos=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头001800abcos,a ba bab222221212121yxyxyyxx当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当 与反方向时 =1800，同时abab与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头012、垂直：如果与的夹角为 900则称与垂直，记作头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ababab13、两个非零向量垂直的充要条件：Oabab02121yyxx14、两个向量平行的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，使b=a，0/1221yxyxba题型一、平面向量的相关概念题型一、平面向量的相关概念【例例 1 11】1】下列命题：（1）若，则。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起abab点相同，终点相同。 （3）若，则是平行四边形。 （4）若是平行四边形，ABDC ABCDABCD则。 （5）若，则。 （6）若，则。其中正确的是ABDC ,ab bc ac/ , /ab bc /ac_（答：（4） （5） ）【例例 1 12】2】 （多选）已知向量 ， 是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是abA若存在实数，使得，则 与 共线baabB若 与 共线，则存在实数，使得abbaC若 与 不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，使得abccabD若对平面内的任一向量 ，均存在实数，使得，则 与 不共线ccabab【答案】【解析】选项 B 中，若向量 ， 中有且仅有一个是 ，则不存在实数，使得，故 Bab0ba错误，其他选项表述正确，选 ACD【变式变式 1 11】1】判断下列各命题是否正确,并说明理由: (1)单位向量都相等；(2)两相等向量若起点相同,则终点也相同(3)若,则；|a |b|a b(4)由于零向量方向不确定,故它不能与任意向量平行【答案】(1) 错；模相等,方向未必相同；(2) 错；模相等,方向未必相同；(3) 正确；因两向量的模相等,方向相同,故当他们的起点相同时,则终点必重合；(4) 正确；由定义知是对的；(5) 错；向量不能比较大小；(6) 错；规定:零向量与任意向量平行.【变式变式 1 12】2】 （多选）设 ， ， 是任意的非零向量，则下列叙述正确的有abcA若 ， ，那么 abbcacB若 ，则 acbcabC如果 与 是共线向量，那么有且只有一个实数，使 ababD有且只有一对实数，使 12a1b2c【答案】AC【解析】选项 B，可以找到反例，在等边ABC 中，取，则有aAB bBC cAC ，但是很明显 ，B 错误；选项 D 中，若向量 ， 共线，则不适用平面向量acbcabbc的基本定理，故 D 错误，综上，本题选 AC【题型二题型二】 、平面向量的加减及其线性运算、平面向量的加减及其线性运算【例例 2 21】1】已知点D，E，F分别是ABC各边的中点，则下列等式中错误的（ ）ABFDDAFA 0FDDEEF CDDEDAEC DEDAFD 【答案】D【解析】由题意，根据向量的加法运算法则，可得，故 A 正确；FDDAFA 由，故 B 正确；0FDDEEFFEEF 根据平行四边形法则，可得，故 C 正确，D 不正确.故选：D.DEDADFEC 【例例 2 22】2】如图，已知梯形中，且，、分别是、ABCDAB/CDAB2CDMNCD的中点，设，试以、为基底表示、.ABAD aAB babDCBCMN【解析】连结，则； ，ND1122AB DCb11ABNB22 DCbDC/ NBDCNB；又1NDAD2 BCANab11DC24 DMb.1DNCBDM4 MNDMba【例例2 23】3】设两个非零向量不共线， a,b（1）若求证：，三点共线.,2,3(). ABa+b BCa+8b CDa -bABD（2）试确定实数 ，使和共线.kka+bka+ b【解析】 （1）证明：,2,3(), ABa+b BCa+8b CDa -b；23()5()5 BDBCCDa+8ba -ba+bAB共线，, AB BD又它们有公共点，三点共线.BABD（2）和共线，存在实数，使，k a+bka+ b()kka+ba+ b即，()(1)kkab是不共线的两个非零向量， a,b210,10.kkk .1k 【变式变式 2 21】1】在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若，则2ADDB 13CDCACB =_.【答案】23【解析】由图知 CDCAAD ， CDCBBD 且。20ADBD +2 得：，.32CDCACB 1233CDCACB 23【变式变式 2 22】2】如图,为平行四边形边上一点,且,设，EABCDAD14AEAD AB aBC b若，求 的值. 15AFAC BFkBE k 【解析】 11()55AFAC ab又1()()4BFkBEk AEABk b-a而， BFAF a(1)4kAFk a+b由解得.45k 【变式变式 2 23】3】已知是所在平面内一点，为边中点，且，OABCDBC2OAOBOC 0 那么（）AOOD2AOOD3AOOD2AOOD【答案】A【解析】因为为边中点，所以由平行四边形法则可知：，DBC2OBOCOD 又，所以.2OBOCOA ODOAAO 【变式变式 2 24】4】设 a，b 是不共线的两个向量.(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C 三点共线；OA OB OC (2)若 8akb 与 ka2b 共线，求实数 k 的值.【解析】(1)证明(3ab)(2ab)a2b，AB OB OA 而(a3b)(3ab)(2a4b)2，BC OC OB AB 与共线，且有公共点 B，A，B，C 三点共线.AB BC (2)解8akb 与 ka2b 共线，存在实数 ，使得 8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0，a 与 b 不共线，Error!解得 2，k24.【变式变式 2 25】5】已知平面内有一点 P 及一个ABC，若，则（ ）PAPBPCAB A点 P 在ABC 外部 B点 P 在线段 AB 上C点 P 在线段 BC 上 D点 P 在线段 AC 上【答案】D 【解析】，即，PAPBPCAB 0PAPBPCAB 0PAPBBAPC ，点 P 在线段 AC 上.0PAPAPC 2PACP 题型三、平面向量的基本定理、坐标表示及综合应用题型三、平面向量的基本定理、坐标表示及综合应用【例例 3 31】1】（） （设向量=(x，x+1)，=(1，2)，且 ，则 x= .abab（）已知向量=(m,4)，=(3,-2)，且，则 m=_. abab【答案答案】（）（）-623【解析解析】（）=(x，x+1)，=(1，2)，ab因为，所以 x+（x+1）2=0，即 3x+2=0，解得 x=.ab23（）因为，则-2m=12，解得 m=-6.ab【例例 3 32】2】已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 的坐标分别是（2，1） （1，3） （3，4） ，则向量的坐标是（）A （2，2）B （3，1）C （3，1）D （4，2）【考点】平面向量的正交分解及坐标表示【分析】利用平行四边形的性质和向量的相等、向量的三角形法则即可得出【解答】解：平行四边形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 的坐标分别是（2，1） （1，3） （3，4） ，（2，1）（1，3）（1，2） ，（3，4）（1，3）（4，1） （1，2）+（4，1）（3，1） 故选：B【点评】本题考查了平行四边形的性质和向量的相等、向量的三角形法则，属于基础题【例例 3 31】1】平面ABC 及一点 O 满足，则点 O 是AO ABBO BA BO BCCO CB ABC 的（ ）A重心 B垂心 C内心 D外心【答案】选 D.【解析】由得AO ABBO BA ()0ABAOBO 即，同理，故选 D.()()0OBOA OBOA 22|OBOA | |OBOA | |OBOC 【变式变式 3 31】1】已知向量，1,2a 1,4b (1)若，求的值. 23kababk(2)若，求 的值. 23kababk【解析】(1) ，1,2a 1,4b ，2k 2,28kabk34, 10ab 23kabab1024 280kk解得：26k (2)当时， 23kabab解得4210 280kk112k 【变式变式 3 32】2】若、是平面内的一组基底，则下四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） 1e2eA与B与12ee21ee122ee1212eeC与D与2123ee1264ee12ee12ee【解析】，故与不能作为基底，故 A 错误；2211eeee 1221eeee12ee21ee，故与不能作为基底，故 B 错误；12121222eeee1212122eeee122ee1212ee，故与不能作为基底，故 C2112123642eeee 21122364eeee2123ee1264ee错误；与不共线，故与可以作为基底，故 D 正确.12ee12ee12ee12ee【变式变式 3 33】3】在中，点满足，则点在的（ ）上ABCOOA ABOA AC OABCA.角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高【答案】D；【解析】，OA ABOA AC 0OA ABOA AC 即，()0OAABAC 0OA CB ，所以点在的高上.OACB OABC题型四、数量积的概念题型四、数量积的概念【例例4 41】1】已知，分别满足下列条件，求与.| 4a| 3b a b|ab(1) ； (2)； (3)夹角为/abab与ab060【解析】(1) 当时，分两种情况：/ab若同向，则，与ab00 。| |cos4 3 cos012 a bab222|()2 ababaa bb22222| |cos032 3 4 147 aabb若反向，则，与ab0180 。| |cos4 3 cos18012 a bab222022|()2| |cos18032 3 4 141 ababaabb(2)当时，ab090 。| |cos900 a bab222|()2 ababaa bb220222| |cos90345aabb(3)当的夹角为时，与ab060 .| |cos606 a bab2220221|()2| |cos6032 3 44372 ababaabb【例例 4 42】2】已知向量与 的夹角为 120，则_ab1,3ab5 ab【答案】7【解析】 ,22222215(5)251025 110 1 3 ()3492 ababaa bb.57ab【例例4 43】3】若，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ） 。( 2, 1)a ( ,1)bkabA. B.（2，+） C. D.），（），（2221），（21），（21【答案】A；【解析】与的夹角为钝角，ab且 与不能反向，即且0b a ab210k 2k 故1222 k （，）（，）【例例 4 44】4】若、 、 均为单位向量，且，的最大值为_abc0 a b() ()abbc【答案】12【解析】因为 、 、 均为单位向量，且，abc0 a b设 =（1，0） ，=（0，1） ，,ab(cos ,sin )c,() ()(1,1) (cos ,1 sin )cos1 sin2sin() 14 abbc故的最大值为.() ()abbc12【变式变式 4 41】1】已知向量与 的夹角为，且，那么的值为 ab1204ab(2)bab【答案】0；【解析】.2(2)22cos1202 4 4cos120160 2baba bbabb【变式变式 4 42】2】已知向量 ，则与夹角的大小为_.=13b=31a（，），（，）ab【答案答案】30【解析解析】 （），=13b=31a（，），（，）所以，= 3+ 3=2 3a b= 1+3=2ab = 3+1=2根据数量积公式，得2 33cos,=222a ba ba b 故与夹角的大小为 30。ab【变式变式 4 43】3】若向量满足，与 的夹角为，则（ ）, a b1abab60 a aa b21232312【答案】B；【解析】，故。01cos602a baba a = 132a aa b【变式变式 4 44】4】若，且，则向量与的夹角为（ ）1a2bcabcaab（A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500 【答案】C【变式变式 4 45】5】已知、 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，abc() ()0acbc则的最大值是（ ）cA1 B2 C D222【答案】C【解析】，1,0 aba b，2() ()0,()cos acbcccabcab，2cos ,=cos = 2cosccabcab，的最大值为.故选 C. cos 1,1 c2【题型五题型五】 、数量积的综合应用、数量积的综合应用【例例 5 51】1】已知与，问当实数 的值为多少时最小。) 1 , 2(a)2 , 1 (btb ta答案：45【例例 5 52】2】已知向量，向量，则的最大值是 (cos ,sin )a( 3, 1)b 2ab答案： 4