1、第4章 根轨迹法4-1 4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4-2 4-2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析基本要求基本要求 1.1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。极点、偶极子等概念。2.2.正确理解和熟记根轨迹方程正确理解和熟记根轨迹方程( (模方程及相角方程模方程及相角方程) )。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。益和开环增益。3.3.正确理解根轨迹法则，法则的证
2、明只需一般了解，正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益益K K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。4.4.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。 根据反馈控制系统的开、闭环传根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由递函数之间的关系，直接由开环开环传递函数零、传递函数零、极点求出极点求出闭环闭环极点（闭环特征根）。这给系极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。统的分析与设计带来了极大的方便。闭环控制系统的稳定性
3、和性能指标主要由闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。意义的。定义定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特）从零变到无穷时，闭环特征根在征根在s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念当闭环系统为当闭环系统为正正反馈时，对应的轨迹为反馈时，对应的轨迹为零零度度根根轨迹；而轨迹；而负负反馈系统的轨迹
4、为反馈系统的轨迹为 根轨迹。根轨迹。1801 1、根轨迹概念、根轨迹概念例例4-14-1如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：( )(0.51)KG sss开环传递函数开环传递函数有两个极点有两个极点 。 没有零点，开环增益为没有零点，开环增益为K。120,2pp 闭环特征方程闭环特征方程为为2( )220D sssK闭环特征根闭环特征根为为 1211 2 ,11 2sK sK 闭环传递函数闭环传递函数为为2( )2( )( )22C sKsR sssK从特征根的表达式中看出每个特征根都随从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的的变化而变化。例如，设变
5、化而变化。例如，设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+12121212120,21,11,112 ,121,1sssssj sjsj sjsjsj 如果把不同如果把不同K值的闭环特征值的闭环特征根布置在根布置在s平面平面上，并连成线，上，并连成线，则可以画出如则可以画出如图所示系统的图所示系统的根轨迹。根轨迹。 稳定性稳定性 当当K K由由0 0 ，根轨迹不会，根轨迹不会进入进入s s右半边，即系统总是稳定的。右半边，即系统总是稳定的。 稳态特性稳态特性 坐标原点有一个开环极坐标原点有一个开环极点，所以属点，所以属I I型系统，根轨迹上的型系统，根轨迹上的 K K值值就是就是K Kv v。如
6、果已知。如果已知e essss，则在根轨迹上，则在根轨迹上可确定闭环极点取值范围。可确定闭环极点取值范围。动态特性动态特性当当0 K1 0.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程。阶跃响应为衰减振荡过程。 2、根轨迹与系统性能、根轨迹与系统性能3、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系如图所示系统闭环传递函数为如图所示系统闭环传递函数为( )( )1( )( )G ssG s H s（41）将前向通道传递函数将前向通道传递函数G（s）表示为：）表示为：221212221222*11(1)(2
7、1)( )(1)(21)()()GfiiGqiiKsssG ssT sT sT sszKsp （42） 为前向通道增益，为前向通道增益， 为前向通道根轨迹增益为前向通道根轨迹增益*GKGK 式中式中 为反馈通道的根轨迹增益。为反馈通道的根轨迹增益。*HK1*1()( )()ljjHhjjszH sKsp（44）2*1222GGKKT T 1（43）（45）11*1111*11()()( )( )()()()()()()flijijGHqlijiiflijijqhijijszszG s H sK KspspszszKspsp问：问：f与与l、q与与h有什么关系？有什么关系？闭环传递函数闭环传递函
8、数*11()( )()fhkkGnkkszsKsp,kkzp分别为闭环零、极点闭环零、极点。式中：（46）比较式（比较式（42）和式（）和式（46）可得出以下结论）可得出以下结论闭环系统根轨迹增益等于系统前向通闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；道的根轨迹增益；闭环系统零点由前向通道的零点和反闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；馈通道的极点组成；闭环系统的极点与开环系统的极点、闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益零点以及开环根轨迹增益 有关。有关。*K根轨迹法根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求
9、出闭环极点。布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。4、根轨迹方程、根轨迹方程根轨迹方程根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 式中式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。出开环传递函数与闭环极点的关系。 闭环特征方程闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-7）闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。设开环传递函数有设开环传递函数有m个零点，个零点，n个极点，并假定个极点，并假定nm，这时根轨迹方程又可以写成：，这时根轨迹方程又可以写成：*11()( )( )
10、1()miiniiszG s H sKsp （48）不难看出，式子为关于不难看出，式子为关于s的复数方程，因的复数方程，因此，可把它分解成此，可把它分解成和和。相角方程（49）11()()(21)0, 1, 2,mniiiiszspkk *11|1|miiniiKszsp模值方程（410）注意注意 在实际应用中，用在实际应用中，用绘制根轨迹，绘制根轨迹， 而而主要用来确定已知根轨迹上某一点主要用来确定已知根轨迹上某一点的的 值。值。*K 模值方程不但与开环零、极点有关，还与开模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极
11、点有关。极点有关。 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。条件。例例4-24-2它们应满足相角方程它们应满足相角方程（49）2( )( )2/(2)G s H sKs已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数: :1224,24sjsj 试证明复平面上点试证明复平面上点 是该系统的闭环极点。是该系统的闭环极点。12122,2,pps s 若系统若系统闭环闭环极点为极点为证明：证明： 该系统的该系统的开环开环极点极点例例41开环零、极点分布图开环零、极点分布图001112()()9090(21)22spspk(k=0)2s以以 为试验点，可得为试验点
12、，可得1s以以 为试验点，观察右图，可得为试验点，观察右图，可得1112()()9090(21)22 (1)spspkk 证毕12,s s可见，可见， 都满足相角方程，都满足相角方程， 所以，所以， 点是闭环极点。点是闭环极点。12,s s例4-3已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 当当 变化时其根轨迹如图变化时其根轨迹如图4-24-2所示，所示，求根轨迹上点求根轨迹上点 所对应的所对应的K K值。值。4( )( )/(1)G s H sKs0K 10.50.5sj *K解解 根据模值方程求解根据模值方程求解 值值41| 0.50.5 1|Kj模值方程模值方程14K 根据图可得根据图可得
13、所以所以2| 0.50.5 1|2j上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的对应的 值。值。*K根轨迹法根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹根轨迹。返回返回根轨迹起于开环极点，终于开环零点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。法则法则1、根轨迹的起点与终点、根轨迹的起点与终
14、点*111)()(Kpszsniimii由根轨迹方程有：由根轨迹方程有：42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 mn mn 若开环零点数若开环零点数m 开环极点数开环极点数n (有有 个开环零点在无穷远处个开环零点在无穷远处) 则有则有( )条根轨迹趋于无穷远点条根轨迹趋于无穷远点 0*K0ipsips 起点*K0izsizs终点一、根轨迹的分支数一、根轨迹的分支数 分支数开环极点数分支数开环极点数 开环特征方程的阶数开环特征方程的阶数二、根轨迹对称于实轴二、根轨迹对称于实轴 闭环极点为闭环极点为 实数实数在实轴上在实轴上 复数复数共轭共轭对称于实轴对称于实轴法则法则2 根轨迹的分支数
15、、对称性和连续性根轨迹的分支数、对称性和连续性三、根轨迹具有连续性三、根轨迹具有连续性法则法则3、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴正方向的夹角为：mnka )12(渐近线与实轴相交点的坐标为：渐近线与实轴相交点的坐标为：mnzpnimjjia 11 例例4-4已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试根据法则试根据法则3，求出根轨迹的渐近线。，求出根轨迹的渐近线。12340,4,11,11,4pppjpjn 极点极点解：解：零点零点1,1zm *2(1)( )( )(4)(22)KsG s H ss sss按照公式得按照公式得12300011(21)(
16、21)(21)4 1360(0)180(1)300(2)53nmiiiikkknmkkkpznm 以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线*1()Ks sp*12()()Ks spsp*123()()()Ks spspsp*2123()()()Ksspspsp对应的开环传递函数对应的开环传递函数*1( )( )()KG s H ss sp(a)*12( )( )()()KG s H ss spsp(b)*123( )( )()()()KG s H ss spspsp(c)*2123( )( )()()()KG s H ssspspsp(d)法则法则4、根轨迹在实
17、轴上的分布、根轨迹在实轴上的分布实轴上根轨迹区段实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、的右侧，开环零、极点数目之和应为极点数目之和应为奇数。奇数。证明：设一系统开环零、设一系统开环零、极点分布如图。极点分布如图。在实轴上任取一试验点在实轴上任取一试验点 代入相角方程则代入相角方程则3411121()()()()()(21)iiiiszspszszspk1s所以相角方程成立，即所以相角方程成立，即 是根轨迹上的点。是根轨迹上的点。1s一般，设试验点右侧有一般，设试验点右侧有L个开环零点，个开环零点，h个个开环极点，则有关系式开环极点，则有关系式证毕证毕11()()()lhiiiiszsplh()(21
18、)lhk如满足相角条件必有如满足相角条件必有所以，所以，L-h必为奇数，当然必为奇数，当然L+h也为也为奇数。奇数。例例4-52(1)( )(2)K sG ss s0K 设一单位负反馈系统的开环传递函数为设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求求 时的闭环根轨迹。时的闭环根轨迹。将开环传递函数写成零、极点形式将开环传递函数写成零、极点形式最后绘制出根轨迹图。最后绘制出根轨迹图。法则法则1， 两条根轨迹分别起始于开环极点两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，一条终于有限零点一条终于有限零点1，另一条趋于无穷远处。，
19、另一条趋于无穷远处。法则法则2，有两条根轨迹，有两条根轨迹法则法则4，在负实轴上，在负实轴上，0到到1区间和区间和2到负无到负无穷区间是根轨迹。穷区间是根轨迹。按绘制根规迹法则逐步进行：按绘制根规迹法则逐步进行：例例44根轨迹根轨迹法则法则5、根轨迹的分离点与分离角、根轨迹的分离点与分离角定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面平面上相遇又分开的点。上相遇又分开的点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。二极点之间至少存在一个分离点。若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间，则此若根轨迹位于
20、实轴两相邻开环零点之间，则此二极点之间至少存在一个会合点。二极点之间至少存在一个会合点。分离点的坐标分离点的坐标d可由下面方程求得可由下面方程求得 nimjjizdpd1111jz式中：式中： 为各开环零点的数值，为各开环零点的数值， 为各开环极点的数值。为各开环极点的数值。ip法则法则5、分离角与会合角、分离角与会合角所谓分离角是指根轨迹离开分所谓分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的离点处的切线与实轴正方向的夹角。夹角。分离角计算公式分离角计算公式 mjnliijdsdzdkl11)()() 12(1 （445）为为分分离离点点坐坐标标； d为为开开环环零零点点； jz个个非非重
21、重根根。其其它它个个重重极极点点外外，时时，除除为为当当lnlkksdi 所谓所谓会合角会合角是指根轨迹进入重极点处是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。的切线与实轴正方向的夹角。会合角计算公式会合角计算公式 ninliiidsdpdkl11)()()12(1 为为分分离离点点坐坐标标； d个个非非重重根根。其其它它个个重重极极点点外外，时时，除除为为当当lnlkksdi 现看作开环零点；现看作开环零点；为原系统的开环极点，为原系统的开环极点， ip分离角与会合角不必经公式计算，可以用下列简分离角与会合角不必经公式计算，可以用下列简单法则来确定：单法则来确定：ll若有若有 条根轨迹进
22、入条根轨迹进入d点，必有点，必有 条根轨迹离开条根轨迹离开d点；点；ll 条进入条进入d点的根轨迹与点的根轨迹与 条离开条离开d点的根轨迹相间隔；点的根轨迹相间隔；l任一条进入任一条进入d点的根轨迹与相邻的离开点的根轨迹与相邻的离开d点的根轨点的根轨迹方向之间的夹角为迹方向之间的夹角为 ；因此只要确定了因此只要确定了d d点附近的一条根轨迹的方向，由点附近的一条根轨迹的方向，由上述规律就可以方便地确定上述规律就可以方便地确定d d点附近所有的根轨迹点附近所有的根轨迹方向，而确定方向，而确定d d点附近根轨迹方向的方法可根据法点附近根轨迹方向的方法可根据法则则2 2 、法则、法则4 4 或取试验
23、点用相角条件来验证。或取试验点用相角条件来验证。法则法则6、根轨迹的起始角和终止角、根轨迹的起始角和终止角根轨迹的终止角根轨迹的终止角是指终止于某开环是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。方向的夹角。根轨迹的起始角根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。的切线与水平正方向的夹角。终止角计算公式：终止角计算公式：)()()12(11jmkjjkniikzzzpzkk 11(21)()()kmnpkjkijii kkpzpp起始角计算公式：起始角计算公式：例例4-6*(2)(2)( )( )(12)(12
24、)Ksj sjG s H ssjsj 设系统开环传递函数设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。试绘制系统概略根轨迹。解解 将开环零、极点画在图将开环零、极点画在图4 44 4的根平面的根平面 上，逐步画图：上，逐步画图： n=2，有两条根轨迹，有两条根轨迹 两条根轨迹分别起始于开环极点两条根轨迹分别起始于开环极点 (-1-j2),(-1+j2) ；终于开环零点终于开环零点 (-2-j) ,(-2+j) 确定起始角确定起始角,终止角。终止角。如图例如图例46所示。所示。例46根轨迹*(2)(2)(12)(12)Ksj sjsjsj 例例46根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角例例4-7
25、4-7*2(1)( )( )33.25K sG s H sss已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试求闭环系统的根轨迹分离点坐标试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并，并概略绘制出根轨迹图。概略绘制出根轨迹图。解：根据系统开环传递函数求出开环极点解：根据系统开环传递函数求出开环极点121.51,1.51pjpj 按步骤：按步骤：n=2,m=1,有两条根轨迹有两条根轨迹两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点零点和无穷远零点实轴上根轨迹位于有限零点实轴上根轨迹位于有限零点1和无穷零点和无穷零点之间，因此判断有分离点之间，因此判断有分离点离开复
26、平面极点的初始角为离开复平面极点的初始角为111212180180116.5790206.57206.57pz pp pp 1.51 1.51 122 1(21)2 1aajjk 渐近线121111.511.5112.12,0.12djdjddd （舍去）6、求分离点坐标d此系统根轨迹如图所示此系统根轨迹如图所示法则法则7、根轨迹与虚轴的交点、根轨迹与虚轴的交点如根轨迹与虚轴相交，则交点上如根轨迹与虚轴相交，则交点上的的 值和值和 值可用劳思判据判值可用劳思判据判定，也可令闭环特征方程中定，也可令闭环特征方程中的的 ，然后分别令其实，然后分别令其实部和虚部为零求得。部和虚部为零求得。*Ksj例
27、4-8设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试绘制闭环系统的概略根轨迹。试绘制闭环系统的概略根轨迹。*2( ) ( )(3)(22)KG s H ss sss：按步骤画图按步骤画图 有有4条根轨迹条根轨迹 各条根轨迹分别起于开环极点各条根轨迹分别起于开环极点 0，-3，-1+j1, -1-j1 ；终于无穷远；终于无穷远 实轴上的根轨迹在实轴上的根轨迹在0到到-3之间之间 渐渐近近线线00(21)45 , 135403 11 111.254aakjj 确定分离点确定分离点d4110idp12,32.3,0.920.37ddj 解方程得解方程得（舍去）313234340000000180180
28、13526.579071.5671.56pp pp pp pp 确定起始角确定起始角确定根轨迹与虚轴的交点。确定根轨迹与虚轴的交点。2*( )(3)(22)0D ss sssK*1.095,8.16K sj令令 代入上式代入上式解得闭环系统的闭环系统的特征方程特征方程为为例47根轨迹例4-92( )(0.051)(0.050.21)KG sssss已知单位负反馈系统开环传递函数为已知单位负反馈系统开环传递函数为0K KK临试画出试画出 时的闭环系统时的闭环系统的概略根轨迹，并求出的概略根轨迹，并求出 时的闭时的闭环传递函数及闭环极点。环传递函数及闭环极点。解：解：根据根轨迹绘制法则，按步计算：
29、根据根轨迹绘制法则，按步计算： n=4，有四条根轨迹；，有四条根轨迹； 起始于开环极点起始于开环极点0，-20，-2-j4, -2+j4，终于无穷远处；终于无穷远处； 实轴上的根轨迹在（实轴上的根轨迹在（0，-20）区间；）区间； n=4,m=0,则有则有4条根轨迹趋于无穷远，它条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为们的渐近线与实轴的交点和夹角为20242464(21)(21)4aajjkknm 4ii=1pn-m取取0,45 ;1,451,135 ;2,135aaaakkkk 根轨迹的起始角。根轨迹的起始角。313234340000000180180116.512.590393
30、9pp pp pp pp 解得 分离点坐标分离点坐标d。11110202424dddjdj12315.1,1.452.07,1.452.07ddjdj舍舍根轨迹与虚轴交点。根轨迹与虚轴交点。2( )(20)(420)4000D ss sssK系统特征方程系统特征方程1230,4.1,4.1,3.47K 临12s =j4.1,s =-j4.1则两个闭环则两个闭环极点极点sj此时此时为为2432( )(20)(420) 4000( )241004001388.9 0D ss sssKD sssss临344.2,19.8ss 利用综合除法，可求出其他两个闭环极点利用综合除法，可求出其他两个闭环极点例
31、例49根轨迹图根轨迹图法则法则8、根之和与根之积、根之和与根之积*11112121()()()nmnijiijinnnnnspKszsssa sa sasa如果系统特征方程写成如下形式如果系统特征方程写成如下形式闭环特征根的负值之和，等于闭环特征闭环特征根的负值之和，等于闭环特征方程第二项系数方程第二项系数 。若。若 根之和与开环根轨迹增益根之和与开环根轨迹增益 无关。无关。 1a()2nm*KTipsn在开环极点已确定不变的情况下，其和在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，为常值，因此，n-m 2的系统，当增益的系统，当增益的变动使某些闭环极点在的变动使某些闭环极点在s平面上平面上
32、向左向左 移动时，则必有另一些极点移动时，则必有另一些极点向右向右移动，这移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。根轨迹的走向很有意义。( 1)n闭环特征根之积乘以闭环特征根之积乘以 ，等于闭，等于闭环特征方程的常数项。环特征方程的常数项。 常常见见闭闭环环系系统统 根根轨轨迹迹图图返回返回43 广义根轨迹广义根轨迹一、开环零点变化时的根轨迹一、开环零点变化时的根轨迹( )( )G s H s设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为( )( ) 10G s H s (4-26)闭环特征方程为闭环特征方程为( )10( )P sAQ
33、s (4-27)等效变换成等效变换成令11( )( )( )( )P sGs HsAQ s（429）显然，利用式显然，利用式429就可以画出关就可以画出关于零点变化的根轨迹，它就是于零点变化的根轨迹，它就是广义根轨迹广义根轨迹。*1( )( )(2)()KG s H ss ssp二、开环极点变化时的根轨迹二、开环极点变化时的根轨迹211132*(2 )( )( )2p ssGs HsssK设一负反馈系统的开环传递函数为设一负反馈系统的开环传递函数为10p 现在研究现在研究 变化的根轨迹。变化的根轨迹。等效开环传递函数为等效开环传递函数为根据上式可画出根据上式可画出 变化时的广义根轨迹。变化时的
34、广义根轨迹。1p已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试绘制当开环增益试绘制当开环增益K K为为 时，时时，时间常数间常数 变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。例4-10( )( )(1)(1)aKG s H ss sT s1,1, 220aT 解：解： 题目显然是求广义根轨迹问题。题目显然是求广义根轨迹问题。系统特征方程为系统特征方程为( )(1)(1)0aD ss sT sK2112(1)( )( )aTssGs HsssK 等效开环传递函数为等效开环传递函数为等效开环传递函数有等效开环传递函数有3个零点，即个零点，即0，0，-1；2个极点，不同个极点，不同K值可计算出不同极点。值可
35、计算出不同极点。按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广义根轨迹图。义根轨迹图。例例4-10根轨迹图根轨迹图 分析复杂控制系统如图，其中内回路为分析复杂控制系统如图，其中内回路为正反馈。为了分析整个控制系统的性能，正反馈。为了分析整个控制系统的性能，需求出内回路的闭环零、极点。用根轨需求出内回路的闭环零、极点。用根轨迹的方法绘制正反馈系统的根轨迹。迹的方法绘制正反馈系统的根轨迹。三、零度根轨迹三、零度根轨迹 1D sG s H s 特征方程特征方程 1sHsG根轨迹方程根轨迹方程研究内回路研究内回路从而相角方程及模值方程相应为从而相角方程及模值方程相应为kpszsn
36、iimii211111miiniiszKsp使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对于与相角方程有关的某些法则要修改于与相角方程有关的某些法则要修改 实轴上某一区域，若其右方开环实数零、实轴上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。迹。 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线mnkA2a计算公式不变。计算公式不变。l根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角nijjppmjpzpijijik112mjzpmijjzzzijijik112l分离角与会合角分离角与会合角例4-11正反馈系统的结构图如图正反馈系
37、统的结构图如图4-234-23所示，所示，*0K 试绘制开环系统根轨迹增益试绘制开环系统根轨迹增益 变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。*2(2)( ),( )1(3)(22)KsG sH ssss其中其中解：解：该系统是正反馈系统。该系统是正反馈系统。*0K 当当 变化时的根轨迹是零度根轨迹。变化时的根轨迹是零度根轨迹。利用零度根轨迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。利用零度根轨迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。12z 终止于开环零点终止于开环零点( 3,)( 2,)和实轴根轨迹在实轴根轨迹在 区间内。区间内。起始于开环极点起始于开环极点1233,11,11ppjpj 例例4-11根轨迹图根轨迹图返回返回
38、44 系统性能的分析系统性能的分析)()(sHsG*K对某 零点）（tr由开环由开环 闭环极点的根轨迹闭环极点的根轨迹求闭环极点求闭环极点确定闭环传函确定闭环传函闭环系统动态性能闭环系统动态性能主要任务：主要任务：一、用闭环零、极点表示的阶跃响应一、用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式表达式 阶系统的闭环传递函数可写为：阶系统的闭环传递函数可写为： niimjjnnnmmmsszsKasasabsbsbsRsCs11*110110)()()()()( 为为闭闭环环传传递递函函数数的的零零点点jz 为为闭闭环环传传递递函函数数的的极极点点is设输入为单位阶跃：设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),
39、有：有：ssszsKsRssCniimjj1)()()()()(11* 假设假设 (s)中无重极点，上式分解为部分分式中无重极点，上式分解为部分分式00111( )nnkknkAAAAAC sssssssss)0()()(011*0 sniimjjsszsKA *1111()()()()kmmjkjjjknnikkiiii ki ks sKszKszAssssss将将C(s)表达式进行拉式反变换得：表达式进行拉式反变换得： nktskkeAtC1)0()(（474）n从上式看出，系统单位阶跃响从上式看出，系统单位阶跃响应将由闭环极点及系数决定，应将由闭环极点及系数决定，而系数也与闭环零、极点分
40、布而系数也与闭环零、极点分布有关。有关。二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系稳定性稳定性所有闭环极点位于所有闭环极点位于s平平面的面的 左半部；左半部；045复数极点设置在复数极点设置在s平面中平面中与负实轴成与负实轴成 夹角线附近；夹角线附近；平稳性 nktskkeAtC1)0()(快速性快速性闭环极点远离虚轴；闭环极点远离虚轴；动态过程尽快消失动态过程尽快消失*11()()mkjjknkkiii kKszAsss nktskkeAtC1)0()( 小，小，闭环极点之间间距闭环极点之间间距大大,零点与极点间间距小。零点与极点间间距小。kA三、主导极
41、点和偶极子三、主导极点和偶极子主导极点主导极点：就是对动态过程影响占主导地就是对动态过程影响占主导地位的极点，一般是离虚轴最近的极点。位的极点，一般是离虚轴最近的极点。iiikkkjsjs 如如果果有有两两个个极极点点：的的作作用用就就可可以以忽忽略略。，极极点点若若ikis4 偶极子偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点。就是一对靠得很近的闭环零、极点。就就可可以以将将其其忽忽略略不不计计。在在对对系系统统进进行行分分析析时时，是是一一对对偶偶极极子子。与与时时，就就可可以以认认为为当当ikkikzsszs 1 . 0 四、利用主导极点估算系统的性能指标四、利用主导极点估算系统的性能指标 既
42、然主导极点在动态过程中起主要作用，既然主导极点在动态过程中起主要作用，那么，计算性能指标时，在一定条件下那么，计算性能指标时，在一定条件下就可以只考虑暂态分量中主导极点对应就可以只考虑暂态分量中主导极点对应的分量，将高阶系统近似看做一、二阶的分量，将高阶系统近似看做一、二阶系统，直接应用第三章中计算性能指标系统，直接应用第三章中计算性能指标的公式和曲线。的公式和曲线。例例4-1221( )(0.671)(0.010.081)ssss试近似计算系统的动态性能指标试近似计算系统的动态性能指标 。%,st12,31.5,49.2ssj 解：解：这是三阶系统，有三个闭环极点这是三阶系统，有三个闭环极点
43、其零、极点分布如图所示。其零、极点分布如图所示。某系统的闭环传递函数为某系统的闭环传递函数为 极点极点 离虚轴最近，所以离虚轴最近，所以系统的主导极点为系统的主导极点为 ，而其，而其他两个极点可以忽略。他两个极点可以忽略。1s1s这时系统可以看做是一阶系统。这时系统可以看做是一阶系统。传递函数为传递函数为式中式中：T=0.67s根据时域分析可知根据时域分析可知一阶系统无超调，一阶系统无超调，调节时间调节时间11( )0.6711ssTs%033 0.672.01stTss 例4-13 系统闭环传递函数系统闭环传递函数 试估计系统的性能指标。试估计系统的性能指标。20.591( )(0.671)
44、(0.010.081)sssss解：解： 闭环零、闭环零、极点极点分布分布如图如图所示所示系统近似为二阶系统系统近似为二阶系统21( )0.010.081sss10.4,10ns22/ 10.4 3.14/ 1 0.4%100%100%25%3.53.50.880.4 10seetss对应性能指标对应性能指标例例4-14 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为 试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比计算闭环主导极点具有阻尼比0.50.5时的性时的性能指标。能指标。( )(1)(0.51)KG ss ss解：解：*2( )(1)(2)
45、(1)(2)2KG ss ssKs ssKK图4-27 根轨迹图 根轨迹图根轨迹图按步骤作出系统的根按步骤作出系统的根轨迹，如图所示。轨迹，如图所示。分析系统稳定性分析系统稳定性03K 在平面上画出在平面上画出 时的阻尼线。阻尼线与根轨迹交时的阻尼线。阻尼线与根轨迹交点的坐标设为点的坐标设为 ，从图上测得，从图上测得 ，与之，与之共轭的复数极点为共轭的复数极点为 。10.330.58sj 20.330.58sj 0.51s32.34s 已知系统闭环特征方程及两个极点，用长除法求出已知系统闭环特征方程及两个极点，用长除法求出第三个极点第三个极点 。使系统稳定的开环增益范围是使系统稳定的开环增益范
46、围是系统闭环传递函数近似为二阶系统系统闭环传递函数近似为二阶系统二阶系统在单位阶跃信号作用下的性能指标：二阶系统在单位阶跃信号作用下的性能指标：20.445( )0.6670.445sss22/ 10.5 3.14/ 1 0.5%100%100% 16.3%3.53.510.50.5 0.667sneetss例例4-154-15 已知系统结构如图所示。试画出已知系统结构如图所示。试画出当当 由由 时的闭环根轨迹，并分析时的闭环根轨迹，并分析 对系统动态过程的影响。对系统动态过程的影响。*K0 *K解： 系统开环传递函数有两个极点系统开环传递函数有两个极点0，2；有一个零点有一个零点4。 此类带
47、零点的二阶系统的根轨迹，其复此类带零点的二阶系统的根轨迹，其复数部分为一个圆，其圆心在开环零点处，数部分为一个圆，其圆心在开环零点处，半径为零点到分离点的距离。半径为零点到分离点的距离。 根轨迹如图所示。根轨迹如图所示。1. 当开环增益在（当开环增益在（00.686）内，闭环为两个负实数极）内，闭环为两个负实数极点，系统在阶跃信号下响应为非周期的。点，系统在阶跃信号下响应为非周期的。2. 当开环增益在（当开环增益在（0.68623.4）内，闭环为一对共轭）内，闭环为一对共轭复数极点，其阶跃响应为振荡衰减过程。复数极点，其阶跃响应为振荡衰减过程。系统根轨迹分离点系统根轨迹分离点 121.172,
48、6.83dd *1111*11*22|2|1.172 0.8280.343|4|2.82820.68611.7,23.4ddKdKKKK对应开环增益对应开环增益下面求系统最小阻尼比对应的闭环极点下面求系统最小阻尼比对应的闭环极点。过原点做与根轨过原点做与根轨迹圆相切的直线，迹圆相切的直线，此切线与负实轴此切线与负实轴夹角的余弦即为夹角的余弦即为系统的阻尼比。系统的阻尼比。(23.4 )3.当开环增益在当开环增益在 内，闭环又为负实内，闭环又为负实数极点，其阶跃响应又为非周期的。数极点，其阶跃响应又为非周期的。0coscos450.7071,222sj 对应闭环极点对应闭环极点系统阶跃响应具有较
49、好的平稳性。系统阶跃响应具有较好的平稳性。例416*2( )(10)KG sss单位反馈系统的开环传递函数单位反馈系统的开环传递函数试绘出闭环系统的根轨迹。试绘出闭环系统的根轨迹。解：解：此系统此系统开环有三个极开环有三个极点点0，0，10按步骤作出系统的按步骤作出系统的根轨迹，如图所示根轨迹，如图所示。 图中两条根轨迹位于图中两条根轨迹位于s s平面右半部，平面右半部，即闭环始终有两个右极点。说明开环增益即闭环始终有两个右极点。说明开环增益无论取何值，系统均不稳定。无论取何值，系统均不稳定。*1210KszG sss（）（ ）（）若在系统中附加一个负实数零点若在系统中附加一个负实数零点z1，
50、用来改善系，用来改善系统的动态性能，则系上统的开环传递函数为统的动态性能，则系上统的开环传递函数为附加零点后的根轨迹（附加零点后的根轨迹（1） 明显看出，当开环增益K由0时，系统根轨迹全部位于s平面左半部，即K取何值系统均稳定。当0K 时,闭环总有一对靠近虚轴的共轭复数极点,所以系统的阶跃响应是衰减振荡的，且振荡频率随K的增大而增大。110z 若零点，则系统根轨迹如图。附加零点后的根轨迹（2）143220zs 由图看出，附加的零点后，系统根轨迹仍有两条始终位于 平面的右半部，系统仍无法稳定。因此，引入的附加零点要恰当，才能使系统的性能有所改善。本章总线索本章总线索 T法则法则开环传递函开环传递
