1、第 三 节德哈斯德哈斯- -范阿尔芬效应范阿尔芬效应本节主要内容：6.3.1 电子在磁场中的运动6.3.2 朗道能级简并度6.3.3 由能态密度解释德哈斯-范阿尔芬效应6.3.4 晶体中电子的有效质量近似6.3.5 回旋共振电导率、比热等物理量也有类似的振荡现象。这些现象同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有关，因而同金属费米面结构有密切的关系，这些效应已成为研究费米面的有力工具。研究费米面的其他实验方法：磁致电阻、回旋共振、磁声几何效应等。低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数周期性振荡的现象称为象称为德哈斯-范阿尔芬效应。6.3 德哈斯-范阿尔芬效应1 .恒定磁场中的准经典运动准经典运动的两
2、个方程：准经典运动的两个方程：以自由电子为例加以讨论。mkE222?若磁场沿若磁场沿kz方向，方向，),0,0(BB ?6.3.1 电子在磁场中的运动)(1)(kEkvk?Bkvetk?)()(dd?kz保持不变,在kx-ky面内做匀速圆周运动，回转的频率。meB?0?)(1)(kEkvk?Bkvetk?)()(dd?mkE222?(1)电子在空间的运动图象k自由电子的等能面是球面，与kz垂直的平面与等能面的交线就是一系列圆。?0ddddddtkkmeBtkkmeBtkzxyyx?Bkmetkmkvkdd)(?zkB?k?xkykk?(2)电子在实空间的运动图象?0ddddddddddtvvm
3、eBkmeBmtkmtvvmeBkmeBmtkmtvzxxyyyyxx?mkvk?)(?zzyyxxkmvkmvkmv?meB?0?电子在空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，回旋频率为。r设外加磁场沿z轴方向，2)(21?AepmH?2. 磁场作用下自由电子运动的量子化理论),By(A00?AB?2)(21?AepmH?p?：电子的运动学动量，A?：电子的场动量，Ae?：矢量势，?22221zyxpppeBym中不含x，z，所以它和算符及是对易的，其波函数可选为的本征波函数。zxpp?,?Hxipx?zipz?波函数可以写成：)()(yezkxkizx?zzxxkpkp?,?代
4、入方程得到?EH?)()()(22202222yyyymymc?,2,220mkEkeBymeBzxc?其中与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是一个中心在y0的谐振子波动方程。回旋频率谐振子能量由量子力学知?(n+1/2)?cmknEzc2)21(22?从准连续的能量变成(n+1/2)?c。)(2222yxkkm?沿磁场B方向，电子保持自由运动，mkz222?相应的动能为。在与磁场垂直的kz常数的平面内，轨道是量子化的。这些量子化的能级称为朗道能级。在垂直磁场的x-y平面上，电子的运动是量子化的。mkEz222?如图所示，在波矢空间形成一系列“圆柱面”，每一个圆柱面对应一个确定的量子数n，可
5、以看成是一个子带，在每一个子带中只有一维自由度kz。电子的能量由连续的能谱变成一维的磁次能带。n=3n=2n=1n=0B=0)(znkE?0 0zk?自由电子在磁场中的能量n一定，电子的能带是一条抛物线，n=0是最低的次能带，n增加，次能带向上移，各能带有一定交叠，如图给出磁次能带的简图。不同的y0并不影响谐振子的本征值?，而y0又依赖于波矢分量kx，因此不同的状态可能会是简并态。其简并度是多少呢？22220yxyyyLkeBLLyL?，即?2yxeBLk ?6.3.2 朗道能级简并度)()()(22202222yyyymymc?xkeBy?0该范围内的波矢数为：yxcxyLLmL/eBLD?
6、2222?朗道能级简并度：yxcLLmD?2?meBc?此简并度与磁感应强度B成正比，与能量无关，即无论能量为何值，简并度不变。波矢空间状态代表点kxky无外磁场有外磁场加磁场后，这些点都汇聚到等能面上。考虑到在dkz范围kz有个不同值，zzkLd2zzyxzzzzkLLLheBkLDkk,ENdd22)d(?在第n个次能带波矢范围的状态数是zzzkkkd?EnEmEn,ENccd)21()2()2()d(212322?将dkz换成dE，就得到第n个次能带，能量在之间的状态数目EEEd?6.3.3 由能态密度解释德哈斯 -范阿尔芬效应?EnEmEn,ENccd)21()2()2()d(2123
7、22?能量等于E的电子可以处于不同的次能带，所以总的态密度应是能带底位于以下所有次能带对应能态的累计。2123202)21()2()2()(?cnncnEmEN?其中的次能带的能带底刚好等于或稍低。nn?右图给出这一能态密度曲线。12340?BN(E)1.在(n+1/2)?c处能态密度出现峰值。2.相邻峰值间能量差为meBc?随着磁场增大，能态密度也增大，每个峰内包含的状态数增多。设B=B1时，有n个峰，EF=(n+1/2)eB1/m，B=B2时，有n-1个峰，EF=(n-1/2)eB2/m，SemEe)B(BBF?211121?12340?BN(E)当满足此条件时，就会发生电子从上一个能带抽
8、空而转化到比它能量低的次能带，系统的总能量E随之发生周期性的变化。)1(B?BEM?在绝对零度下，系统的磁矩也随之振荡。其周期为SeB?2)1(?S是垂直磁场方向的费米面的极值面积。只要从实验上测定磁矩M在不同方向上随1/B的变化周期，便可确定沿不同晶向的费米面，进一步得到金属费米面的形状。磁场沿方向时银的振荡曲线多极值轨道6.3.4 晶体中电子的有效质量近似晶体中电子在磁场中运动时，需考虑到晶体周期性势场的晶体中电子在磁场中运动时，需考虑到晶体周期性势场的影响，但一般半导体材料中导带底和价带顶附近，可以采用有影响，但一般半导体材料中导带底和价带顶附近，可以采用有效质量近似将前面由自由电子情况得到的结论，用有效质效质量近似将前面由自由电子情况得到的结论，用有效质量量m* *代替自由电子质量即可。代替自由电子质量即可。6.3.5 回旋共振在恒定外磁场作用下，晶体中的电子将做螺旋运动，在恒定外磁场作用下，晶体中的电子将做螺旋运动，回旋频率回旋频率：*0meB?若在垂直磁场方向加上频率为?的交变电场，当?=?0时，交变电场的能量将被电子共振吸收，这个现象称为回旋共振。按量子理论，共振吸收相当于实现了电子在朗道能级之间的跃迁。通过测量共振吸收频率，可以确定晶体中电子的有效质量。
