1、湘潭大学数学与计算科学学院1 2.7 函数的弹性一、函数弹性的定义二、 弹性在经济分析中的应用三、小结湘潭大学数学与计算科学学院21. 函数的绝对变化率与相对变化率前面讨论的函数改变量与函数变化率为绝对改变量与绝对变化率. 但从实践中得知, 仅仅研究函数的绝对改变量与绝对变化率是很不够的, 还需要研究函数的相对改变量与相对变化率.一、函数弹性的定义湘潭大学数学与计算科学学院3101例如，每单位价格元，种商品涨价甲元；10001乙种商品每单位价格元，也涨价 元。1绝对改变则两种商品价的量格都是 元，但各与其原来的价格相比，两者涨价的10%却有很大的不同，甲种商品涨了幅度，0.1%而乙种商品价格只
2、涨了.因此我们很有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.湘潭大学数学与计算科学学院4设函数 y = f (x)可导，当自变量 x 在 x0处给以增量 x 时，相应地，函数 y 有增量 00()().yf xxf x 称 , xy 为函数自变量与因变量的绝对改变量， 而称 00,xyxy 为自变量与因变量的相对改变量000000/()(),/()y yf xxf xxx xxf x 称为函数从 的相对变化率00 xxx 到到湘潭大学数学与计算科学学院5如 2yx 当 x 由10变到12时, y 由100变到144. 此时，绝对改变量为 2,44,xy 而相对改变量为20%,44%.xyxy表示当
3、 x 由10变到12时，x 产生了20%的改变， 而y产生了44%的改变湘潭大学数学与计算科学学院644%2.2%2.2(),20%1%yyxx 表示在(10, 12)内, x 从 x=10, 每改变 1%时, y平均改变了2.2%，它为从 x=10 到 x=12时, 函数 y = x2 的相对变化率且湘潭大学数学与计算科学学院7定义2.7.1 设函数 y = f (x) 在点 x = x0处可导，函数的相对改变量0000()(),()f xxf xyyf x 与自变量的相对改变量 0 xx 之比000000/()(),/()yyf xxf xxxxxf x 称为 f (x) 在点 x = x
4、0 到 0 xxx 两点间的相对2. 函数弹性的定义湘潭大学数学与计算科学学院8变化率，或称为从x = x0到 0 xxx 两点间的弹性 而当 0 x , 两点间相对变化率的极限 000/lim/xyyxx 称为 f(x)在点 x = x0的相对变化率，也称为f(x)在x0的弹性. 记作 0000000lim().()xx xxxyyfxxxyf x 0,x xyx 且湘潭大学数学与计算科学学院9一般的，如果 y = f (x) 可导，称0/lim( )/( )xyyyxfxxxxf x 为f (x) 的弹性函数 函数 f (x) 在点 x的弹性 yx 反映了函数 f (x) 随自变量的变化而
5、变化的幅度大小(灵敏度):当 x 变化1%时，函数 y 变化了 %.yx 湘潭大学数学与计算科学学院10由ydyxdyydxxxdxy 边际函数 平均函数 即，弹性可理解为边际函数与平均函数之商注意 两点间的弹性是有方向性的, 因为“相对性”是对初始值而言的.也就是说: 1221xxxx与与到到到到两点间的弹性是不同的.湘潭大学数学与计算科学学院11即指数函数的弹性为线性函数例2 求函数 xyae 的弹性函数 (0).a 解 .xxyxxya exxyae 例1 求函数 byax 的弹性函数(0).ab 解 1,bbyxxyabxbxyax 即幂函数的弹性为其幂指数b. 湘潭大学数学与计算科学
6、学院12二、弹性在经济分析中的应用1. 需求弹性与供给弹性定义2.7.2 设某商品的需求函数为 Q = f (P), 在 0PP 处可导，称000000/()()/()Q Qf PPf PPPPPf P 为需求函数Q=f(P) 在P=P0与 0PPP 两点间 的需求价格弹性， 记作 (2.7.3)00(,).P PP 湘潭大学数学与计算科学学院13而称000000/lim()()/()PQ QPfPPPf P 为需求函数Q=f(P) 在P=P0处的需求(价格)弹性， 记作 0().P (2.7.4)价格从 000000/()()/()Q Qf PPf PPPPPf P 0PP 每 湘潭大学数学
7、与计算科学学院14表示: 当商品价格为P0时, 若价格上涨(下降)1%时， 当把定义中的 P0 换成 P 时，所得结果分别称为需及需求的(价格)弹性函数 .( )P 000000/lim()()/()PQ QPfPPPf P 湘潭大学数学与计算科学学院15说明 需求弹性是刻画当商品价格变动时, 需求 变动的强弱. 由于需求函数 Qf (P) 是单调减少函数, 则P 与 Q 异号, 而P0, Q0 是正数, 于是00/,/Q QPP 000()PfPQ 都是负数.为了用正数表示需求弹性, 于是采用需求函数相对变化率的反号来定义需求弹性.湘潭大学数学与计算科学学院16例3 某商品的需求函数为 12
8、00,QP 求（2）P=30的需求弹性解 （1） 10,(20)(30)20,PQQQ 00/20/ 40(30,20)1.5./10/ 30Q QPP 说明价格从30降至 20，在此区间内，价格每降 1%, 需求量从40平均增加 1.5%. 湘潭大学数学与计算科学学院17（2） 21200,QP 21200( )1,1200/PPPQQPP 则 (30)1. 需求的弹性函数为常数，说明在任何价格 P处，弹性都不变，称为不变弹性函数, 即价格上涨（下降）1%需求量就会下降（上涨） 1%.湘潭大学数学与计算科学学院18例4 某商品的需求函数为 5,PQe 求（1）需求弹性函数；（2）P=3,5,
9、6时的需求弹性 解 （1） 51,5PQe 551().55PPPPPee （2） (3)0.6,(5)1,(6)1.2. 湘潭大学数学与计算科学学院19(3)0.61, 说明需求变动的幅度小于价格变动的幅度 即P=3时，价格上涨（下降）1%，需求量下降( 上涨 ) 0.6%. 一般的, 当 1 时, 称商品需求在此处缺乏弹性(5)1, 说明当P=5时需求与价格的变动幅度相同, 称商品需求在此处具有单位弹性(6)1.21, 说明当P=6时需求变动幅度大于价格湘潭大学数学与计算科学学院20变动幅度即 P=6 时，价格上涨（下降）1%, 需求量下降（上涨）1.2% .一般的，若 1, 商品需求在此
10、处富有弹性则称下面讨论供给弹性:00PQPQ由于供给函数是单调增加，所以与同号，因此有下列供给弹性定义：湘潭大学数学与计算科学学院21定义2.7.3 设某商品的供给函数为 Q=g(P), 在0PP 处可导，称000000/()()/()Q Qg PPg PPPPPg P 为供给函数 Q=g(P)在P=P0与 PPP 两点间的 供给弹性， 记作 00(,).P PP 湘潭大学数学与计算科学学院22而称000000/lim()/()PQ QPg PPPg P 为供给函数Qg(P) 在PP0处的供给弹性， 记作 0().P 2. 需求弹性与总收益总收益=商品的价格需求量 商品的需求弹性会引起总收益如
11、何变化? 由于湘潭大学数学与计算科学学院23即 ().RPQPf P ( )( )Rf PPfP ( )1( )( )Pf PfPf P ( )1( ).Rf PP ( )( )( )PPfPf P 湘潭大学数学与计算科学学院24(1)()1P 若若可以看出: 即该商品为缺乏弹性商品时， 价格上涨, 总收益会增加; 价格下降, 总收益会减少; (2)()1P 若若0.R 0.R 需求量的变动幅度与价格的变动幅度相等，价格的变动不会引起总收益变化 即该商品为单位弹性商品时， 湘潭大学数学与计算科学学院25(3)()1P 0.R 即该商品为富有弹性商品时， 价格上涨，总收益减少；价格下降，总收益增
12、加 综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化. 一般来说, 富有弹性商品降低价格可以增大收益, 缺乏弹性商品提高价格可以增大收益. 下面讨论总收益的变化率问题.湘潭大学数学与计算科学学院26(),RPQPf P 由 则( )1( )1( ).( )RPPRf PPPPRPf P 例5 某商品的需求函数为10.2PQ 说明当价格变化 1%时, 总收益将变化1( )%.P 湘潭大学数学与计算科学学院27 （1）求需求弹性函数；（2）求P=3时的需求弹性，说明其经济意义； （3）当P=3时，若价格上涨 1%，总收益如何变化？解 （1） 1()2102PPPQPQ .20PP
13、 （2） 33(3)0.176,20317 湘潭大学数学与计算科学学院28经济意义为: 当价格P=3时，若价格上涨（下降） 1%商品的需求量将下降（上涨）0.176%. （3） P=3 时，若价格上涨1%, 由于 (3)1, 则总收益增加，且增加的幅度为 (10.176)%, 即增加 0.824%.湘潭大学数学与计算科学学院293. 需求弹性与边际收益若将商品的价格P看成需求量Q的函数 , 则 1( ),PfQ 总收益为 1( ),RPQQfQ 边际收益为11( )( ).dRdfQfQQdQdQ 1( ),fQP 1( )1dfQdQdQdP 又湘潭大学数学与计算科学学院3011(1)dRP
14、QPdQdQ PdQdPdP Q 11.( )PP 从中可以看出：对富有弹性商品，增加产品的销售量可使总收益增加，而对缺乏弹性的商品，减少产品的销售量可使总收益增加湘潭大学数学与计算科学学院31例6 某商品的价格P与销售量Q的函数关系为 (0,04),PabQ ab 而成本函数为 321710050.3CQQQ 当边际收益 ( )67,R Q 需求弹性 8922 时，利润 最大（1）求利润最大时的产量；（2）求a,b的值 湘潭大学数学与计算科学学院32解（1）由最大利润原则( )( ),R QC Q 26714100,QQ有解得 123,11.QQ因为 ( )( ),R QC Q 而 2( )
15、,R QPQaQbQ则 ( )2 ,R Qb 又 04,b 因此 8( )0.R Q 湘潭大学数学与计算科学学院33又因为 ( )214,C QQ 得 (3)8,C (11)8.C 则只有Q=11满足 ( )( ),R QC Q 因此，产量为11时，利润最大（2）由需求弹性与边际收益的关系1( )1,( )R QPP 且 2( ),R QaQbQ由已知， 湘潭大学数学与计算科学学院3489()67,22R Q 时，利润最大，而由（1）知，此时产量为Q=11, 代入上述条件，有21167,22(11 )(1)67.89abab 解方程组得 11,2.ab 湘潭大学数学与计算科学学院35内容小结1. 函数弹性的定义0000/lim/xx xyyyxxx 000000lim().()xxxyfxxyf x 2. 弹性在经济分析中的应用需求弹性与供给弹性 需求弹性与总收益、边际收益的关系湘潭大学数学与计算科学学院36作作 业业
