1、9.1引言傅里叶变换已称为信息处理中一个极为重要的工具，在科学和技术领域中获得广泛应用。信号g(x)的傅里叶变换为逆变换积分区域（-， ）如果g(x)是一个时域或空域中分布在（-， ）中的稳恒过程或稳定分布，则傅里叶分析给出近乎完美的结果。然而，在自然界和科学技术中还有大量信号，它们具有局部的或定域的特性。例如语言信号、声纳新号、各种电脉冲等，这些信号只出现在一个短暂的时间间隔内，此后很快衰减到零，称快速过程或暂态过程。“小波”信号（如地震波或声纳）许多光学信号具有同样的特征，例如远处空中的目标、显微镜下的小物体、被鉴别的指纹等，显著为零的区域只分布在有限的区域内，上述信号为局部信号或暂态信号
2、。对于局部信号或暂态信号，傅里叶分析就不完全适用。首先，我们仅对t时间信号感兴趣，没有必要在过去、现在及未来的无限长时间范围内对信号进行分析，类似的，在处理定域于x内的空间图像时，也没必要对全平面内的信号进行全面的分析。其次，许多情况下，在t或者x以外的信息是未知的，可能是零，也可能是背景噪音；此外，如果不加选择采用（-， ）内全部信号进行傅里叶处理，还可能产生较大误差甚至错误。在一些课题中，我们往往不满足了解信号在全部区间内的综合分析，而希望了解某一区间或某些区间信号对应的频谱。如地震勘探等。近年来，发展的小波分析恰恰克服了傅里叶分析的以上缺点，适用于处理局部或暂态信号。9.2 从短时傅里叶
3、变换到小波变换短短时傅里叶变换时傅里叶变换g(x) , 局部化：(1)被分析的区间有一定宽度x,仅对x及其周围信息进行处理；(2)被分析的区间有一个中心坐标xc，当中心坐标改变时，就可以提取不同的信息。实现局部化，傅里叶变换加窗函数局部化：窗函数中心宽度短时傅里叶变换（short-time Fourier transform, 简称STFT）由前述带窗口函数的公式定义（窗函数带有局部处理功能）该种定义中频率变量和坐标变量(x0)同时出现在变换函数里面短时傅里叶变换和常规傅里叶变换的重要区别；窗口宽度隐含在 中，正是x0和窗口宽度使其具有局部化处理的能力，通过改变x0,窗口发生移动，处理空间发生
4、改变。频域：频率窗中心宽度当空域宽度和频率宽度同时有限时，称函数在空域和频域同时局部化。 测不准关系短时傅里叶变换特征在于处理过程限制在空间-频率窗进行，且窗的位置可变，但宽度不变，在处理一些奇异信号时显得无力；而小波变换具备更强功能。Gabor变换变换1946年，Gabor提出了下面变换正是高斯型函数，所以Gabor变换就是高斯窗短时傅里叶变换。窗函数中心坐标 xc=0，窗的宽度的傅里叶变换Gabor变换空间-频率窗 小波变换空间-频率窗可见可见Gabor变换在频域和空域中的表达式具有相似变换在频域和空域中的表达式具有相似的形式的形式Gabor变换频域中的表达式Gabor变换的特点变换的特点
5、（1）给出了一个中心位于b,宽度为 的空间窗，从而实现空域处理的局部化；与之响应，它又给出了一个中心为 ,宽度为 的频率窗，从而实现频率处理的局部化。用Gabor变换来处理信号时，处理过程限制在空-频窗内进行，窗的面积为（2） 可以看出变换是参数a、b和变量 的函数，积分是一个包络,载波 的频率v与参数 无关，不会随 的变化而变化，正是所有短时傅里叶变换共同缺点。Morlet 小波变换小波变换 为了克服Gabor变换中窗口尺寸不能改变的缺点，我们可以对它略加改进，则Gabor基元函数可以写为变换母函数变换母函数,引入参数引入参数a，b，生成子函数，生成子函数同Gabor变换的差别：小波变换的中
6、心频率 随着参数a的增大而减小；小波变换的空间窗宽度频率窗宽度 ；当中心频率增大时，空间窗变小，而频率窗变大，可以处理更多高频信息；当中心频率变小时，空间窗变大，而频率窗变小，可以容纳足够多空间周期，以保证处理精度。定义信号g(x)的Morlet小波变换Gabor变换基元函数 Morlet小波变换基元函数中心频率123a=10.50.339.3 小波变换的定义和性质小波变换的定义和性质定义定义 母函数母函数h(x)的基本小波函数的基本小波函数ha,b(x)定义为定义为式中式中b称为小波变换的位移因子，称为小波变换的位移因子，a0称为伸缩因子。称为伸缩因子。当当a增大时小波变换的宽度加大，而当增
7、大时小波变换的宽度加大，而当a减小时，小波减小时，小波的宽度变小。即表明基本小波是母函数经平移和缩放的宽度变小。即表明基本小波是母函数经平移和缩放的结果，基本的小波又简称小波。的结果，基本的小波又简称小波。信号函数信号函数g(x)的小波变换定义为小波的小波变换定义为小波ha,b(x)和和g(x)的内积的内积h(x)的选择，h(x)必须在x趋于无穷时衰减到零。实际使用的小波变换母函数h(x)，当x趋于无穷时迅速衰减，使其不显著为0的分量只存在于一个很小的区间。小波变换在频域中的表达式小波变换在频域中的表达式由小波变换定义和Parseval定理得到。 该式子表明信号g(x)的小波变换可以通过4f系
8、统实现。首先用第一个透镜形成输入信号g的傅里叶谱G，然后在频谱面上对G进行滤波，滤波器的表达式为小波函数h经缩放后的傅里叶谱的共轭，然后在经过第二个透镜得到傅里叶逆变换，得到g的小波变换。逆变换和相容性条件逆变换和相容性条件逆变换逆变换相容性条件相容性条件正则性正则性（1）从理论上讲，任何满足相容性条件的函数都可以作为）从理论上讲，任何满足相容性条件的函数都可以作为小波变换的母函数，然而在实际应用中，为了使变换具有小波变换的母函数，然而在实际应用中，为了使变换具有局部化的功能，局部化的功能，h和和H在空域和频域都是迅速衰减，它们在空域和频域都是迅速衰减，它们显著不为零的分量分别分布于空域和时域
9、原点附近。显著不为零的分量分别分布于空域和时域原点附近。（2）变换的空间窗和频率窗的宽度随着参数）变换的空间窗和频率窗的宽度随着参数a的增大分别的增大分别增大和缩小，所以要求增大和缩小，所以要求Wa,b(g)作为作为a的函数，应当充分光滑的函数，应当充分光滑的，当的，当a-0, W-0,即即Wa,b在在a=0附近是正则的。设附近是正则的。设b=0，则有，则有将g(x)在x=0的邻域进行泰勒展开代入上式，则有其中Mn是小波函数h的n阶矩M0=H(0)=0, 设Mp=0 (p=1,2,n),则在0的邻域内随着a-0, W-0的速率为即对于一个足够平滑的函数g(x)，Wa,0(g)以an+1/2的速
10、率随着a趋近于零，称它为n阶小波函数。相容性条件保证Wa,0随a趋近于零的速度的下限为a1/2。小波变换的空间小波变换的空间-频率窗和处理过程的局部化频率窗和处理过程的局部化基元函数ha,b是由中心位于xc的母函数经过平移(b)和缩放(a)后形成的。空间窗宽度空域处理局限于下面空间窗频域中引入频域中的处理局限于下面频率窗内即这样在空域和频域的处理就局限于下式所表示的空间和频率窗内进行处理过程特点：处理过程特点：（1）空间窗宽度和频率窗宽度随着a的变化而变化，窗的面积与a无关；（2）中心频率与带宽之比 与中心频率大小无关，取决于H。Q是测量精度的量，表明小波变换的测量精度和频率无关。当中心频率增
11、大时(a变小），频率窗自动变宽，测试精度不变；反之，类似。这种性能被称为“自动变焦”。例 实Morlet小波：频域中h(x)H套用之间的公式也可以算出 。实际从物理上讲，真正起作用的是正频率，因此 频率窗的中心位置空间-频率窗其中当 或 较大严格来讲，Morlet小波变换不满足相容性条件，当 或 较大，相容性条件近似满足。9.4 实现一维小波变换的光学系统实现一维小波变换的光学系统一维小波变换光学处理器SML2处，被分成M个沿着u方向的带状区域，这些带状区域中分别显示具有不同伸缩因子am的基元函数h的傅里叶谱构成多通道小波变换匹配滤波器（a）子午面内构成成像系统（vz） （b）弧矢面内构成一维
12、傅里叶逆变换系统（uz）uv平面位于球面-柱面复合透镜L3前,柱面镜母线沿u方向，在L3后面平面上放置CCD器件，uv-L3- 构成像散系统。由于成像作用，在平面上沿方向形成uv平面上各带状通道的像。对于第m个通道，由于沿u方向的傅里叶逆变换作用，得到图像处理中，将CCD输出的信号除以 即得到小波变换的中，伸缩因子a是分立的，由一组M个滤波器H引入处理器；而位移因子b则是连续的，与输入平面的坐标成正比。9.5 用多通道匹配滤波器实现二维小波变换用多通道匹配滤波器实现二维小波变换单单通道小波变换系统通道小波变换系统令令频域中频域中正是匹配滤波器频域表达式正是匹配滤波器频域表达式匹配滤波器可以采用
13、匹配滤波器可以采用4f系统实现系统实现用用4f系统实现小波变换系统实现小波变换信号函数可以通过信号函数可以通过SLM1输入系统；输入系统；SLM2可以实现匹配滤波函数可以实现匹配滤波函数H*对信号进行滤波。对信号进行滤波。注注：位移因子（：位移因子（bx,by）是与输出平面坐标对应的，而伸）是与输出平面坐标对应的，而伸缩因子（缩因子（ax,ay）是给定的，即只能对给定的伸缩因子进）是给定的，即只能对给定的伸缩因子进行小波变换，不同的伸缩因子只能通过依次输入不同的行小波变换，不同的伸缩因子只能通过依次输入不同的匹配函数来实现。匹配函数来实现。用用Dammann光栅进行多通道相关处理光栅进行多通道
14、相关处理梳梳状函数与任意函数相乘，等于对该函数抽样；梳状状函数与任意函数相乘，等于对该函数抽样；梳状函数与该函数的乘积再进行傅里叶变换，在谱面上得函数与该函数的乘积再进行傅里叶变换，在谱面上得到它们的卷积，相当于谱项在到它们的卷积，相当于谱项在comb(u)中各个中各个函数的函数的位置上重复出现，即只要该函数的带宽是有限的，总位置上重复出现，即只要该函数的带宽是有限的，总可以通过密集的抽样，使各谱项在频域内互相分离。可以通过密集的抽样，使各谱项在频域内互相分离。也即是说给定一个二维信号输入也即是说给定一个二维信号输入 ，我们可以，我们可以利用梳状函数在谱面上复制出一些列谱函数利用梳状函数在谱面
15、上复制出一些列谱函数每一每一个代表一个处理通道，就相当于可以实现多通道个代表一个处理通道，就相当于可以实现多通道并行处理。并行处理。梳状函数器件，由称梳状函数器件，由称Dammann光栅，光栅，一维一维 透过率函数透过率函数其中其中是线宽，是线宽，d是光栅周期是光栅周期用用4f系统谱面上得到系统谱面上得到将两个同样规格的一维将两个同样规格的一维Dammann光栅相对旋转光栅相对旋转900，叠，叠在一起，就可以得到二维的在一起，就可以得到二维的Dammann光栅，透过率函光栅，透过率函数为：数为：很小时很小时是是函数点阵，分布在间隔为函数点阵，分布在间隔为d的栅线的交点上，这些地的栅线的交点上，
16、这些地方透过率为方透过率为1，其它为，其它为0。在在4f系统输入平面放置信号系统输入平面放置信号 ，并将二维，并将二维Dammann光栅紧贴，则其后光场复振幅为光栅紧贴，则其后光场复振幅为傅里叶谱傅里叶谱一系列中心位于一系列中心位于 处复现的谱项。处复现的谱项。设计一个匹配滤波器，位于设计一个匹配滤波器，位于Amn处的复数透过率处的复数透过率 即即按角度编码，相当于用不同传播方向的平面波作为参考光按角度编码，相当于用不同传播方向的平面波作为参考光制成的全系匹配滤波器，通常采用计算机生成。制成的全系匹配滤波器，通常采用计算机生成。经滤波后，在第二个透镜作用下，输出平面得到傅里叶逆经滤波后，在第二
17、个透镜作用下，输出平面得到傅里叶逆变换变换频域上的相移形成输出平面上的位移，以（频域上的相移形成输出平面上的位移，以（pm,qn）为）为中心形成一系列在空间上相互分离的项，每一项都代中心形成一系列在空间上相互分离的项，每一项都代表一个不同的伸缩因子（表一个不同的伸缩因子（am,an）的小波变换，位移因）的小波变换，位移因子则由子则由以（以（pm,qn）为）为中心的坐标表示。这样就实现了中心的坐标表示。这样就实现了用多通道用多通道4f系统进行二维光学小波变换。系统进行二维光学小波变换。用体全息存储器进行多通道相关处理用体全息存储器进行多通道相关处理用光折变晶体对小波变换匹配滤波器进行编码用光折变
18、晶体对小波变换匹配滤波器进行编码重铬酸明胶（重铬酸明胶（DCG）或光折变晶体（如）或光折变晶体（如BaTiO3）都可以）都可以做做成体全息存储器，并可以用角度进行编码，也可以用成体全息存储器，并可以用角度进行编码，也可以用于光学小波变换。于光学小波变换。光折变晶体缩放后母函数经SLM输入参考光第三项正是小波变换匹配滤波函数将分析信号通过SLM1输入系统再经L2的傅里叶逆变换，在输出平面上得到同样得到以(pm,qn)为中心的一系列空间互相分离的小波变换。9.6 光学小波变换匹配滤波器在图像识别中的应用光学小波变换匹配滤波器在图像识别中的应用所谓图像识别指的是从大量信息或背景中检测某一特定的图像或
19、指定的特征信息，并排斥其它图形信息。边缘增强效应边缘增强效应 图形的重要特征之一是它的形状或轮廓。为了识别某图形的重要特征之一是它的形状或轮廓。为了识别某一一特定的图形，往往只需认定其轮廓，而并不需要研究它特定的图形，往往只需认定其轮廓，而并不需要研究它的内部细节，轮廓就是边缘，一旦边缘被清晰的勾画出来，的内部细节，轮廓就是边缘，一旦边缘被清晰的勾画出来，这这一图像就容易被识别出来。一图像就容易被识别出来。母函数母函数 选择选择“墨西哥帽墨西哥帽”式式引入引入傅里叶变换的小波变换的小波变换相关的结果是平滑效应，相关的结果是平滑效应， 中比中比a小的多精细结构都被平滑小的多精细结构都被平滑掉；掉
20、；相关运算的结果再进行二次求导，则相关运算的结果再进行二次求导，则 振幅不变的区域振幅不变的区域以及线性变化的区域都等于零，而在振幅变化的拐点两以及线性变化的区域都等于零，而在振幅变化的拐点两侧不为侧不为0正是边界。正是边界。(a) 高斯函数和边界函数；高斯函数和边界函数；(b) 相关结果；相关结果；(c) 小波变换函数曲线小波变换函数曲线小波变换匹配滤波小波变换匹配滤波 对于对于图像识别，仅勾画出轮廓还是不够，还要认定图像识别，仅勾画出轮廓还是不够，还要认定输入图像是否包含要求识别的目标，对此也小波变换中也输入图像是否包含要求识别的目标，对此也小波变换中也可以采用匹配滤波方法实现。可以采用匹
21、配滤波方法实现。输入图像包含输入图像包含 待识别图像待识别图像 和另一图像和另一图像首先采用之前的各种方法处理，得到边缘增强的小波变换首先采用之前的各种方法处理，得到边缘增强的小波变换谱函数谱函数 和和 ，然后以它们作为输入信，然后以它们作为输入信号，进行第二个光学相关识别系统，如号，进行第二个光学相关识别系统，如4f系统。系统。第二个光学相关识别系统谱面上用目标所对应的小波变换匹配滤波器进行滤波滤波后再经过傅里叶逆变换，得到自相关和互相关其中自相关给出亮斑，称为目标图像的特征墨西哥小帽在频域中的图像，分布a=1和a=2。（a）输入图像，右上E为要识别目标；（b）常规匹配滤波系统相关峰；（c）
22、和（d）一维和二维小波变换匹配滤波器相关峰。9.7光学光学Haar小波变换和图像边缘探测小波变换和图像边缘探测Harr变换变换1910年年Harr提出提出典型的小波；满足相容性条件；“双极性”函数，比较容易实现。常用的小波变换之一。Harr小波变换和边缘探测小波变换和边缘探测 Harr小波变换是信号函数与之前定义的Harr函数经伸缩后的母函数 相关的结果。 小波变换的作用：小波变换的作用：（1）在小波基元函数的正负半周内对信号进行不加权积分，实际是一个平滑或平均的过程。（2）将正、负半周的积分值相减，以上两个作用的综合结果，是在平均的意义下求差分，或求导数，恰恰是测出了图形的边缘。带低频和高频
23、的Harr小波变换结果同时带有低频和高频信号Harr小波变换用于边缘探测Step函数及其Harr小波变换小波函数的傅里叶谱恰恰规避了G的主峰，频率窗正好在旁瓣所在的频段，空域中准确的指示了step函数的跃变，充分表现了小波变换局部处理的性能。二二维维Haar小波变换和图像拐角测量小波变换和图像拐角测量二维Haar变换的母函数定义特点特点：用h(x,y)构成二维Haar小波变换，在探测与x轴或y轴平行的边缘时都为0，但测量任意一段既不和x轴平行也不和y轴平行的边缘时都不为零，故特别适合探测图形边缘的“拐角”。对图像内外强度不变或变化缓慢区域不敏感，即使对一些急剧变化的高频信号，通过选取适当的伸缩
24、因子，仍然有很强的抗干扰能力，但在边缘却出现很强的峰，适合边缘探测。二维Haar小波变换应用于边、角测量（a）输入图像；（b）和（c）小波变换输 出二维Haar变换很容易改造成专门进行x方向或y方向边缘测量的变换，用于测量拐角的Harr函数称为“角母函数”，用于测量边缘的称为“边母函数”。二维图像边、角测量的Harr小波变换母函数（a）角母函数（b）y边缘母函数（c）x边缘母函数用投影用投影-掩模法实现掩模法实现Harr小波变换（空域实现）小波变换（空域实现）投影-掩模法进行2D Harr小波变换小波函数掩模版输入信号SLM点光源列阵探测器过程过程从点光源P(x,y)辐射的发散球面波照亮 小波
25、函数掩模版，在d1上的距离经放大后通过L1, 透射到 上。L1和L2之间为平行光束，没有放大作用。放大率即为伸缩因子同时P一般不在光轴上，使母函数发生平移。平移量的计算平移量的计算P 出发两条光线，一条经过L1的中心，方向不变；另外一条经L1上R点，发生折射，交 O2点。光线PQRO2在st平面上的位移量a为伸缩因子b0放大a倍后 面上位移整个光束对 P贡献由CCD转成电信号送入数据处理系统，补上因子，为小波变换表达式若光源是点阵列，得到抽样的小波变换函数；若光源是均匀的连续面函数，得到连续分布的小波变换函数。将掩模板轴向平移，可以改变伸缩因子的值。偏振编码偏振编码 掩模掩模-投影方案中，若用
26、非相干光，则噪声不投影方案中，若用非相干光，则噪声不存在，信噪比很高，但非相干光学信息处理用光存在，信噪比很高，但非相干光学信息处理用光强表示信号，只能给出非负的分布，违背了小波强表示信号，只能给出非负的分布，违背了小波变换的相容性条件。变换的相容性条件。 若用相干光，则若用相干光，则Harr变换函数的双极性可以变换函数的双极性可以用偏振编码实现。设光源辐射的线偏振光沿用偏振编码实现。设光源辐射的线偏振光沿400振振动，可以用动，可以用Jones矩阵表示矩阵表示掩模中+1的部分可以用水平方向的偏振片构成掩模中-1的部分可以用垂直方向的偏振片构成输入的光波经过+1，-1部分后，J和J分别是沿x和沿y方向的线偏振光。在输入信号SLM前放置沿-450方向的偏振分析器，即输入的光波经过+1，-1部分后，再经过偏振分析器J+, J-分别是沿-450和+1350方向的偏振光，它们的相位差为pi，这样就用编码技术实现了Haar掩模版的制作。
