1、经济数学模型经济数学模型 经济数学模型经济数学模型经济数学模型教学参考书教学参考书 3 3经济数学模型经济数学模型 洪洪毅等毅等 华南华南理工出版社理工出版社1 1数学模型数学模型( (第四版第四版） 姜启源姜启源 谢金星谢金星 叶俊叶俊 高等教育高等教育出版社出版社2. 2. 经济应用模型经济应用模型 张张从军等从军等 复旦大学出版社复旦大学出版社经济数学模型经济数学模型 数学模型数学模型及经济数学模型及经济数学模型 数学建模的方法与步骤数学建模的方法与步骤 数学模型的分类数学模型的分类 数学建模示例数学建模示例前前 言言经济数学模型经济数学模型玩具、楼房、飞机、火箭模型玩具、楼房、飞机、火
2、箭模型 实物模型实物模型地图、电路图、股票走势图地图、电路图、股票走势图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征一、一、 数学模型及经济数学模型数学模型及经济数学模型经济数学模型经济数学模型对于人们关心的对于人们关心的现实对象（原型）现实对象（原型），为了，为了特定目的特定目的，根据，根据其其内在规律内在规律，作出必要，作出必要的的简化简化假设假设，运用，运用适当的适当的数学数学工具
3、工具得到的得到的数学结构。数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模经济数学模型经济数学模型 以以经济问题经济问题为研究对象，以为研究对象，以社会经济活动社会经济活动为为内容，以内容，以数学方法数学方法为工具，把各经济因素间的为工具，把各经济因素间的数数量关系量关系抽象为数学表达式，以抽象为数学表达式，以再现再现所研究的经济所研究的经济现象，这样的模型就是现象，这样的模型就是经济数学模型经济数学模型。经济数学模型经济数学模型 数学以空前的广度和深度向经济管理领域渗透数学以空前的广度和深度向经
4、济管理领域渗透, 计算机的出现及飞速发展，更使数学在经济计算机的出现及飞速发展，更使数学在经济管理领域中大有用武之地管理领域中大有用武之地. .经济数学模型经济数学模型金融工程金融工程 经济理论经济理论 规划与管理规划与管理 预测与决策预测与决策例如：利率模型、生产函数模型、最优投资模型例如：利率模型、生产函数模型、最优投资模型投入产出模型、资源最优利用模型等投入产出模型、资源最优利用模型等经济数学模型经济数学模型 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看
5、作将对象看作“黑箱黑箱”, ,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构, ,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数二、二、 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤经济数学模型经济数学模型 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰
6、比较清晰的的问题问题经济数学模型经济数学模型模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具经济数学模型经济数学模型模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术结果结果的误差分析、统计分析、的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适
7、用性检验模型的合理性、适用性模型应用模型应用经济数学模型经济数学模型三、数学模型的分类三、数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态人口、交通、经济、生态 数学方法数学方法初等数学、微分学、规划、随机初等数学、微分学、规划、随机 表现特性表现特性优化、预报、决策优化、预报、决策 建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续经济数学模型经济数学模型用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米
8、千米/ /小时小时. .1、（、（航行问题）航行问题）甲甲乙两地相距乙两地相距750千米，船从甲到乙千米，船从甲到乙顺顺水航行水航行需需30小时，从乙到甲小时，从乙到甲逆水航行逆水航行需需50小时，问船的小时，问船的速度是多少速度是多少? x =20y =5求解求解四、四、 数学建模示例数学建模示例经济数学模型经济数学模型航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距
9、离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。经济数学模型经济数学模型 2 2、 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面; 地面相
10、对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。经济数学模型经济数学模型模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCOD C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离
11、 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性经济数学模型经济数学模型用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在
12、任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地经济数学模型经济数学模型模型求解模型求解给出一种简单的证明方法给出一种简单的证明方法 令令h( )= f( )g( ), 将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.则则 h(0)0 和和 h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) =
13、g( 0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 和和 f( ), g( )的确定的确定经济数学模型经济数学模型3 SARS3 SARS病毒建模和预测病毒建模和预测 SARSSARS是是2121世纪第一个在世界范围内传播的世纪第一个在世界范围内传播的传染病。传染病。SARSSARS从从20192019年年1111月份开始在我国和世月份开始在我国和世界范围内流行界范围内流行, ,到到20192019年年6 6月月2323日为止日为止, ,世界卫世界卫生组织报道的生组织报道的SARSSARS患者已经达到了患者已经达到了84598459人人, ,其其中中802802人死亡人死亡, ,中国
14、是中国是SARSSARS流行的重灾区流行的重灾区, ,到到6 6月月2323日为止的日为止的SARSSARS患者为患者为53265326人人, ,其中其中347347人死亡人死亡, ,给人民生活和国民经济发展带来了巨大的影响。给人民生活和国民经济发展带来了巨大的影响。经济数学模型经济数学模型 SARS SARS是传染性很强的传染病，它主要通是传染性很强的传染病，它主要通过近距离空气飞沫以及接触病人呼吸道分过近距离空气飞沫以及接触病人呼吸道分泌物和密切接触进行传播，也可能通过病泌物和密切接触进行传播，也可能通过病人飞沫污染物传播。潜伏期一般为人飞沫污染物传播。潜伏期一般为2-112-11天，天，
15、在潜伏期无感染在潜伏期无感染 。主要症状有：发热（体。主要症状有：发热（体温温3838以上）为首发症状，多为高热，并以上）为首发症状，多为高热，并可持续可持续1-21-2周以上，可伴有寒战或其他症状，周以上，可伴有寒战或其他症状，包括头痛、全身酸痛和不适、乏力，部分包括头痛、全身酸痛和不适、乏力，部分病人在早期也会有轻度的呼吸道症状病人在早期也会有轻度的呼吸道症状( (如咳如咳嗽嗽, ,咽痛等）。咽痛等）。 治愈后不会再被感染。治愈后不会再被感染。经济数学模型经济数学模型1）单位时间感染的人数与现有的感染者成比例；单位时间感染的人数与现有的感染者成比例；2 2）单位时间内治愈的人数与现有的感染
16、者成比例；）单位时间内治愈的人数与现有的感染者成比例；3 3）单位时间内死亡的感染者人数与现有的感染者）单位时间内死亡的感染者人数与现有的感染者 成比例；成比例；4 4）SARSSARS患者治愈恢复后不再被感染；患者治愈恢复后不再被感染；5 5）各类人口的自然死亡可以忽略；）各类人口的自然死亡可以忽略； 6 6）忽略迁移的影响。）忽略迁移的影响。假设假设经济数学模型经济数学模型 令令I(t)I(t)是第是第t t天时感染者的数量天时感染者的数量, ,则则模型模型 I(t+1)=I(t)+ b(t)I(t)I(t+1)=I(t)+ b(t)I(t) -d(t)+c(t)I(t) -d(t)+c(
17、t)I(t) b(t)b(t)为感染率为感染率d(t)d(t)为死亡率为死亡率c(t)c(t)为治愈率为治愈率经济数学模型经济数学模型模型简化为模型简化为 I(t+1)=I(t)+ r(t)I(t)I(t+1)=I(t)+ r(t)I(t)只要知道开始时的感染人数和只要知道开始时的感染人数和r(t)r(t)，就可以，就可以利用该模型进行预测。利用该模型进行预测。r(t)r(t)的估计：的估计： r(t)=I(t)-I(t-1)/I(t-1)r(t)=I(t)-I(t-1)/I(t-1)利用实际数据计算，再进行曲线拟合利用实际数据计算，再进行曲线拟合经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模
18、型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型4 4、建立某商品价格与年需求量之间数学模型、建立某商品价格与年需求量之间数学模型 做市场调查，任做市场调查，任取九个家庭抽样统计，得取九个家庭抽样统计，得到九组数据到九组数据 价格（元价格（元） x 1 2 2 2.3 2.5 2.6 3 3.3 3.5 需求（千克需求（千克）y 5 3.5 3 2.7 2.4 2.5 1.5 1.2 1.2经济数学模型经济数学模型 做散点图观察做散点图观察 x x与与y y的关系的关系： xyo结论：近似是直线关系结论：近似是直线关系设价格与年需求量的数学模型为设价格与年需求量的数学模型为 观测值的模型观测
19、值的模型 yi = a + b xi + i ，i = 1,ny = a + bx + y = a + bx + 其中其中是随机变量是随机变量 求解模型求解模型: : 利用数据估计模型的参数利用数据估计模型的参数经济数学模型经济数学模型2(0,)iN:称称i i为为残差残差。对i i基本假设是（1 1）（2 2）cov(i i ,j j）=0即残差项之间在统计意义上是相互独立的即残差项之间在统计意义上是相互独立的；即残差具有零均值；具有常数方差，且对于所有即残差具有零均值；具有常数方差，且对于所有x x值是有限的；值是有限的；（3 3）残差项与变量残差项与变量x x无关无关 对对观测值模型两端
20、取均值观测值模型两端取均值 E Eyi = a + b xi i = 1,n, 称称Ey=a+bx为经验公式为经验公式, 并仍记为并仍记为 y=a+bx 经济数学模型经济数学模型用最小二乘法求参数用最小二乘法求参数a a和和b b，使得误差平方和最小，使得误差平方和最小. .拟合总误差为拟合总误差为 Q = i 2 = ( yi - a b xi )2QQ 0 , 0 ab令令2()()()iiiiiinax byx ax bx y得方程组得方程组解出解出a,b:a,b:经济数学模型经济数学模型niiniiiniiniiniiniiniiixxyyxxxnxyxnyxb1212112111)(
21、)()(11xbya代入本例数据代入本例数据 得得：-1.58b 45. 6a数学模型是数学模型是 y=6.45 - 1.58x 称这样的称这样的a a、b b为最小二乘估计量。为最小二乘估计量。通常称这个模型为经验公式通常称这个模型为经验公式经济数学模型经济数学模型5 5、最优连续投资问题、最优连续投资问题 某人在五年内拥有10万的资金使用权，经调研，有四个项目可供投资，已知各项目投资收益和投资回收期，如何投资，才能使第五年末本利和最大？ 项目A:第一年到第四年每年初投资，次年末回收，收益率为15%；经济数学模型经济数学模型 项目C:第二年初投资，第五年末回收，收益率40%，但最大投资额为三
22、万； 项目D:第一年到第五年每年初投资，当年末回收，收益率为6%. 项目B:第三年初投资，第五年末回收，收益率25%，但最大投资额为四万；经济数学模型经济数学模型 1 2 3 4 51 2 3 4 5A A x x1A 1A x x2A 2A x x3A 3A x x4A 4A B B x x3B3BC C x x2C2CD D x x1D 1D x x2D 2D x x3D 3D x x4D 4D x x5D5D 项目项目年份年份设设x xikik( ( i i =1,2,3,4,5; =1,2,3,4,5; k k =A,B,C,D) =A,B,C,D)表示第表示第i i年初投年初投资第资
23、第k k项目的资金数。项目的资金数。数学模型数学模型经济数学模型经济数学模型x xikik( ( i = i =1,2,1,2,5;,5; k = k =A,B,C,D)A,B,C,D)为第为第i i年初投年初投k k项目的项目的资金数资金数. .则：则：maxmaxZ Z= 1.15= 1.15x x4A4A + +1.401.40 x x2C2C+ +1.251.25x x3B3B+ +1.061.06x5D5Dx x1A1A+ +x x1D1D=1=10 0 x x2A2A+ +x x2C2C+ +x x2D2D= 1.06 = 1.06 x x1D1Dx2C2C 3 3x x3A 3A
24、 + +x x3B3B+ +x x3D 3D =1.15 =1.15 x x1A1A+ + 1.06 1.06 x x2D2Dx x3B 3B 4 4x x4A 4A + +x x4D 4D =1.15 =1.15 x x2A2A+ + 1.06 1.06 x x3D3Dx x5D 5D =1.15 =1.15 x x3A3A+ + 1.06 1.06 x x4D4D x xikik 0, 0, i =i =1,2,1,2,5;,5; k= k=A,B,C,DA,B,C,D;s.t.65217 ,3478311DAxx元元元0 ,30000 , 39130222DCAxxx元元元0 ,4000
25、0 , 0333DBAxxx元元0 , 4500044DAxx由此求出第五年末所拥有的资金的本利总额为：143750元，即部门赢利43.75% 。用用matlab求解得求解得经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
26、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
27、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
28、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
29、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
30、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
31、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
32、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
33、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
34、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
35、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
36、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
37、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数
38、学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型 血液在动物血管中一刻不停地流动，为了维持血液血液在动物血管中一刻不停地流动，为了维持血液的循环，动物肌体要向血管提供能量，其中一部分用于的循环，动物肌体要向血管提供能量，其中一部分用于供给血管壁以营养，另一部分用来克服血液流动受到的供给血管壁以营养，另一部分用来克服血液流动受到的阻力，消耗的总量显然与血管系统的几何形状有关，科阻力，消耗的总量显然与血
39、管系统的几何形状有关，科学家们发现，学家们发现，在长期进化中高级动物血管的几何形状已在长期进化中高级动物血管的几何形状已经达到消耗能量最小的状态。经达到消耗能量最小的状态。 例例6、血、血 管管 分分 支支问问题题研究血管分支处粗细血管半径的比例和分岔研究血管分支处粗细血管半径的比例和分岔的角度，在能量消耗最小原则下应取什么样的角度，在能量消耗最小原则下应取什么样的数值的数值。 背背景景经济数学模型经济数学模型模型假设模型假设qq1q1ABB CHLll1rr1 q=2q1r/r1, ?考察血管考察血管AC与与CB, CB (1) (1) 粗血管一分为二，分叉点附近三条血管在同一平面上，粗血管
40、一分为二，分叉点附近三条血管在同一平面上，且有一条对称轴且有一条对称轴 。（几何上的假设）。（几何上的假设） (2) (2) 血液流动受到的阻力，近似粘性流体在刚性管道中的血液流动受到的阻力，近似粘性流体在刚性管道中的流动（物理上的假设）。流动（物理上的假设）。 (3) (3) 对血管壁提供能量随管壁对血管壁提供能量随管壁内表面积与管壁的体积的增加内表面积与管壁的体积的增加而增加。管壁所占体积又取决而增加。管壁所占体积又取决于管壁厚度，厚度近似与血管于管壁厚度，厚度近似与血管半径成正比（生理上的假设）。半径成正比（生理上的假设）。 经济数学模型经济数学模型提供营养消耗能量提供营养消耗能量管壁内
41、表面积管壁内表面积 S=2 rl管壁厚度为管壁厚度为d，管壁体积，管壁体积V= (d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d与与r成正比成正比模型假设模型假设qq1q1ABB CHLll1rr1 由流体力学关于粘性流体在刚性管道中的流动时所受阻由流体力学关于粘性流体在刚性管道中的流动时所受阻力的定律，其阻力与流量力的定律，其阻力与流量q q 的平方成正比，与半径的平方成正比，与半径r r 的的4 4次方成反比。次方成反比。克服阻力的能量克服阻力的能量综合考综合考虑管壁内表面积虑管壁内表面积S S 与管壁体积与管壁体积V V对能量的消耗的影对能量的消耗的影响，可假设单位长度血管消耗营养为响，可假设单位
42、长度血管消耗营养为 12 br（）24kqr2141kqr 所受阻力分别为所受阻力分别为 和和 ，k k是比例系数。是比例系数。单位长度单位长度经济数学模型经济数学模型模型建立模型建立qq1q1ABB CHLll1rr1 214kq lEr克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量21,2lbrE提供营养消耗能量提供营养消耗能量11412142212)/()/(lbrrkqlbrrkqEEEsin/2)4/()tan/)(/(),(1412421HbrrkqHLbrrkqrrE机体为血流提供能量机体为血流提供能量11 , sin2HHqlLlqtg经济数学模型经济数学模型模型求解模型求解0,01rErE
43、0/0/451211521rkqrbrkqrb4114rr0E412cosrr442cos210014937,32. 1/26. 1rrsin/2)4/()tan/)(/(),(1412421HbrrkqHLbrrkqrrE经济数学模型经济数学模型模型模型解释解释生物学家：结果与观察大致吻合生物学家：结果与观察大致吻合大动脉半径大动脉半径rmax, 毛细血管半径毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有大动脉到毛细血管有n次分岔次分岔 4114rr4minmax4nrr5minmax41000/rr21001493732. 1/26. 1rr观察：狗的血管观察：狗的血管)4(5n3025n血管总条数血管总条数97302510103222n推论推论n=？经济数学模型经济数学模型 怎样学习数学建模怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目
