1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 44 讲 不等式的综合应用 考试要求 掌握解决不等式综合问题的方法 (C 级要求 ). 诊 断 自 测 1.(必修 5P102 习题 7 改编 )函数 y x 4x(x0) 的值域是 _. 解析 当 x0 时 ， y x 4x 2 x 4x 4； 当 x0， y0 且满足 2x 8y 1， 则 x y 的最小值是 _ . 解析 x y (x y)1 (x y)? ?2x 8y 2 8 2yx 8xy ， x0， y0， 2yx 0， 8xy 0， x y10 2 16 18， 当且仅当 2yx 8xy 时等号成立 ， 又 2x 8y 1， 当 x 6， y
2、 12 时 ， xy 有最小值 18. 答案 18 3.(必修 5P98 练习 2(2)改编 )若正数 a， b 满足 ab a b 3， 则 ab 的取值范围是 _. 解析 由 a， b R*， 得 a b2 ab， 则 ab a b 3 2 ab 3， 即 ab 2 ab 30 ?( ab 3)( ab 1)0 ? ab 3， ab 9. 答案 9， ) 4.设 x R， f(x) ? ?12|x|， 若不等式 f(x) f(2x) k 对于任意的 x R 恒成立 ， 则实数 k的取值范围是 _. 解析 不等式化为 k ? ?12|x| ? ?12|2x|， 因为 ? ?12|x| (0，
3、 1， 所以 k2. 答案 k2 5.(必修 5P102 习题 9 改编 )某种产品按下列三种方案两次提价 .方案甲：第一次提价 p%， 第二次提价 q%；方案乙：第一次提价 q%， 第二次提价 p%；方案丙：第一次提价 p q2 %， 第二=【 ;精品教育资源文库 】 = 次提价 p q2 %.其中 pq0， 上述三种方案中提价最多的是 _. 解析 设 原 来 价 格 为 A， 方 案 甲 ： 经 两 次 提 价 后 价 格 为 A? ?1 p100 ? ?1 q100 A? ?1 p q100 pq10 000 ；方案乙：经两次提价后价格 为 A? ?1 p100 ? ?1 q100 ；方
4、案丙：经两次提价后价格为 A? ?1 p q2002 A? ?1 p q100 ? ?p q22 110 000 .因为 p q2 pq， 所以方案丙提价最多 . 答案 方案丙 考点一 含参数的不等式问题 【例 1】 若不等式组?x2 x 2 0，2x2（ 5 2k） x 5k 0的解集中所含整数解只有 2， 求 k 的取值范围 . 解 由 x2 x 20 有 x 1 或 x 2， 由 2x2 (5 2k)x 5k 0 有 (2x 5)(x k) 0， 因为 2 是原不等式组的解 ， 所以 k 2. 由 (2x 5)(x k) 0 有 52 x k. 因为原不等式组的整数解只有 2， 所以 2
5、 k3 ， 即 3 k 2， 故 k 的取值范围是 3， 2). 【训练 1】 已知函数 f(x) lg(m2 3m 2)x2 (m 1)x 1的定义域为 R， 求实数 m 的取值范围 . 解 函数 f(x)的定义域为 R， 对于任意 x R， 恒有 (m2 3m 2)x2 (m 1)x 10. 若 m2 3m 2 0， 则 m 2 或 1. 当 m 1 时 ， 不等式即为 10， 符合题意； 当 m 2 时 ， 不等式即为 x 10， 对任意 x R 不恒 成立 ， m 2 不合题意 ， 舍去 . 若 m2 3m 20 ， 由题意得 ?m2 3m 20， （ m 1） 2 4（ m2 3m
6、2） 2，m73， 即 m73. =【 ;精品教育资源文库 】 = 综上可得 ， m 的取值范围是 ( ， 1 ? ?73， . 考点二 基本不等式的灵活运用 【例 2】 设 x， y 均为正实数 ， 且 32 x 32 y 1， 则 xy 的最小值为 _. 解析 由 32 x 32 y 1， 得 xy 8 x y. x， y 均为正实数 ， xy 8 x y8 2 xy(当且仅当 x y 时等号成立 )， 即 xy 2 xy 80 ， 解得 xy 4， 即 xy16. 故 xy 的最小值为 16. 答案 16 【训练 2】 设实数 n6 ， 若不等式 2xm (2 x)n 80 对任意 x
7、4， 2都成立 ， 则 m4 n4m3n的最小值为 _. 解析 设 f(x) 2xm (2 x)n 8 (2m n)x (2n 8)为关于 x 的一次函数 . 由题设得?f（ 4） 0 ，f（ 2） 0 ，n 6，即?4m 3n 40 ，m 20 ，n 6.作出不等式组所表示的可行域如图所示 ， 设 nm t， 则 t 表示可行域内的点与坐标原点所连线段 的斜率 ， 可得 127 t 3. g(t) m4 n4m3n 1t t3在 127 t 3 上为减函数 ， 所以 803 g(t) 712 ? ?1273. 故 m4 n4m3n 的最小值为803. 答案 803 考点三 多元最值问题 【例
8、 3】 (1)已知 ABC的三边长分别为 a， b， c， 且满足 b c3 a， 则 ca的取值范围为 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设 a， b， c 均为正数 ， 满足 a 2b 3c 0， 则 b2ac的最小值是 _. 解析 (1)由已知及三角形三边关系得?ac，a cb，?1ca，1 caba，?10， 函数 f(x) x ax 1(x1)的最小值为 3， 则 a 的值为 _. 解析 f(x) x 1 ax 1 12 a 1 3， 则 a 1. 答案 1 2.若实数 x， y 满足 x y 0， 且 log2x log2y 1， 则 x2 y2x y 的最小值为 _.
9、 解析 由 log2x log2y 1， 得 xy 2， x2 y2x y x2 2xy y2 2xyx y （ x y） 2 4x y x y4x y 4， 则x2 y2x y 的最小值为 4.当且仅当 x 3 1， y 3 1 时取等号 . 答案 4 3.(2017 镇江期末 )函数 y asin(ax )(a 0， 0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为 _. 解析 函数的周期 T 为 2a ， 则 T4 2a， 最高点和其相邻最 低点的距离为 2 a2 24a2=【 ;精品教育资源文库 】 = 4a2 2a2 4 2 . 答案 2 4.设正项等差数列 an的前 2 011
10、 项和等于 2 011， 则 1a2 1a2 010的最小值为 _. 解析 由题意得 S2 011 2011（ a1 a2 011）2 2 011， a1 a2 011 2.又 a2 a2 010 a1 a2 011 2， 1a2 1a2 010 12? ?1a2 1a2 010(a2 a2 010) 12? ?a2 010a2 a2a2 010 12. 答案 2 5.(2017 苏北四市三模 )若对于任意 x 0， xx2 3x 1 a 恒成立 ， 则实数 a 的取值范围是_. 解析 xx2 3x 1 13 x 1x， 因为 x 0， 所以 x 1x 2(当且仅当 x 1 时取等号 )， 则
11、 13 x 1x 13 2 15， 即 xx2 3x 1的最大值为 15， 故 a 15. 答案 ? ?15， 6.(一题多解 )设 P(x， y)为函数 y x2 1(x 3)图象上一动点 ， 记 m 3x y 5x 1 x 3y 7y 2 ，则当 m 取最小值时 ， 点 P 的坐标为 _. 解析 法一 m 3x x2 6x 1 x 3x2 10x2 3 6x2 3x 1x 1x2 3， 因为 x 3， 所以 x2 30， x 10， 所以 m6 2 8. 当且仅当 x2 3x 1x 1x2 3， 即 x 2 时 ， m 取得最小值 ， 此时点 P 的坐标为 (2， 3). 法二 m 3x
12、3 y 2x 1 x 1 3y 6y 2 6 y 2x 1 x 1y 2， 因为 x 3， 所以 y2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 y 20， x 10， 所以 m8. 当且仅当 y 2x 1 x 1y 2时 ， m 取得最小值 ， 下同法一 . 答案 (2， 3) 7.函数 f(x) ax2 2(a 3)x a 2 中 ， a 为负整数 ， 则使函数至少有一个整数零点的所有a 值的和为 _. 解析 由 ax2 2(a 3)x a 2 0 得 a(x 1)2 2 6x， 显然 x 1 不成立 ， 所以 x1 ， 所以 a 2 6x（ x 1） 2.因为 a 为负整数 ， 所以 x
13、13且 (x 1)225， =【 ;精品教育资源文库 】 = 且 ax258 50 16(x2 600) 15x， 等价于 a 150x 16x 15(x25). 由于 150x 16x 2 150x 16x 10， 当且仅当 150x x6， 即 x 30 时等号成立 ， 所以 a10.2. 当该商品改革后的销售量 a 至少达到 10.2 万件时 ， 才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 ， 此时该商品的每件定价为 30 元 . 12.(2017 大同期末 )已知关于 x 的不等式 ax2 (a 2) x 20 ， a R. (1)若不等式的解集为 ( ， 12 ， ) ， 求实
14、数 a 的值； (2)若不等式 ax2 (a 2)x 22 x2 3 对任意 x R 恒成立 ， 求实数 a 的取值范围； (3)解关于 x 的不等式 ax2 (a 2)x 20. 解 (1)因为 ax2 (a 2)x 20 的解集为 ( ， 12 ， ) ， 所以方程 ax2 (a 2)x 2 0 的两根为 x 1 或 x 2， 所以 12 2a ， 解得 a 1. (2)若不等式 ax2 (a 2)x 22 x2 3 对任意 x R 恒成立 ， 即 (a 2)x2 (a 2)x 10对任意 x R 恒成立 .因此 ， 当 a 2 时 ， 不等式变为 10 ， 显然成立； 当 a2 时 ，?a 20，（ a 2） 2 4（ a 2） 0 ， 解得 20 时 ， 12a， 所以 (x 1)(ax 2)0 ?2a x 1. 综上可得 ， 当 a 0 时 ， 原不等式的解集为 x|x 1； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a0 时 ， 原不等式的解集为 ? ?x?x 1或 x 2a ； 当 2a0 时 ， 原不等式的解集为 ? ?x?2a x 1 ； 当 a 2 时 ， 原不等 式的解集为 x|x 1 ； 当 a 2 时 ， 原不等式的解集为 ? ?x? 1 x 2a .
