1、测量不确定度目目 录录 第一章：测量不确定度 误差 第二章：概率统计的基础知识 第三章：标准不确定度的评定 第四章：异常值 系统误差 第五章：合成标准不确定度 第六章：扩展不确定度 第七章：权与不等权测量 第八章：最小二乘法 第一章：测量不确定度第一章：测量不确定度 误差误差 1.1 概述 1.2 误差 1.3 测量不确定度 1.4 小结第二章：概率统计的基础知识第二章：概率统计的基础知识 2.1 概率极其分布 2.2 常用的几种概率分布 2.3 随机变量的数字特征 2.4 X分布,t分布,F分布 2.5 大数定律和中心极限定理第三章：标准不确定度的评定第三章：标准不确定度的评定 3.1 概述
2、 3.2 标准不确定度的A类评定 3.3 标准不确定度的B类评定 3.4 小结 第四章：异常值第四章：异常值 系统误差系统误差 4.1 异常值概述 4.2 异常值剔除准则 4.3 系统误差概述 4.4 系统误差的发现 4.5 在测量过程中减小系统误差的常用 方法 4.6 小结 第五章：合成标准不确定度第五章：合成标准不确定度 5.1 概述 5.2 利用方差性质求合成方差 5.3 不确定度传播律 5.4 不相关的输入量 5.5 相关的输入量 5.6 小结 第六章：扩展不确定度第六章：扩展不确定度 6.1 扩展不确定度的表示方式 6.2 算术平均值的扩展不确定度 6.3 包括因子k值的选择 6.4
3、 有效自由度v 6.5 扩展不确定度的另一种表示方式 6.6 用简便方法选择包含因子k值 6.7 有效自由度是否大于10的判断 6.8 小结 第七章：权与不等权测量第七章：权与不等权测量 7.1 概述 7.2 权与加权算术平均值 7.3 加权算术平均值的方差 7.4 加权算术平均值的实验标准偏差 7.5 小结第八章：最小二乘法第八章：最小二乘法 8.1 概述 8.2 最小二乘法原理 8.3 线性方程的参数最小二乘估计 8.4 小结 第一章：测量不确定度误差第一章：测量不确定度误差1.1概述概述 合成标准不确定度u由A类标准不确定度和B类标准不确定度合成而得。 A类标准不确定度的评定是基于对物理
4、量的多次测量得到的实验数据。 B类标准不确定度的评定是基于测量用仪表的性能、测量环境对测量结果的影响、测量方法的近似性等。置信水平取多大的值由测量工作的要求所决定。1.2 1.2 误差误差 测量不确定度表示测量结果的不可信度，或者说表示测量的质量。 测量准确度表示测量结果与被测值之间的一致程度。 测量误差是测量结果X减去被测量的（真）值a，即： 注：量子效应排除唯一真值的存在，但以下三种情况是可知的 ： 1、理论真值 2、计量学的约定真值 3、标准器具的约定真值aX 1.2.1 误差按表示方式分类误差按表示方式分类 1、绝对误差:测量值与被测量的真值之差. 2、相对误差:是绝对误差与被测量的真
5、值之比，即 注：有时可用分贝（dB）误差表示相对误差。 令 例1.1 已知电压比的误差为0.34dB，求相对误 差。 解21101PPgD 21VVa %91. 3686. 834. 021aaaR1.2.2 误差按其性质分类误差按其性质分类 随机误差r：测量结果减去在重复条件下对同一被测量实行多次测量结果的平均值，即 （注：是由于对测量结果有影响的量发生不可预测的或随机的时空变化造成的，且不能用修正来补偿，但可以通过改善测量条件和增加测量次数来减小） 系统误差s：在重复条件下对同一被测量实行无限多次测量结果的平均值减去被测量的真值，即 总：测量结果的误差包括随机误差和系统误差，即krXass
6、r 用 表示测量结果由于测量误差引起的损失函数，则： 用泰勒级数展开有： 若误差=0，则L(Xk)=L(a)=0不论X比a大或者小，都产生误差，即（），若损失函数是连续，光滑的即（），则)X(Lk)a(L)X(LK 2kKk) aX(! 2) a (L) aX(1!(a)L) a (L)X(Lkkk故：损失函数和成正比，减小误差可以显著地减小损失 22kkc)aX(2)a(L)X(L 1.3 测量不确定度测量不确定度.不确定度的由来不确定度的由来 1927年海森堡通过研究微观物理现象,首先提出了指定和测量所能达到的准确度存在一个基本的极限，称之为不确定度关系。1993年国际标准化组织出版了测量
7、不确定度表示导则统一了测量不确定度的评定与表示方法。.测量不确定度的分类测量不确定度的分类 测量不确定度一般由多个分量组成，把用统计方法评定的分量称为类评定，用其它方法评定称为类评定 、类评定的不确定度称为类不确定度。、类评定的不确定度称为类不确定度。 （注：类和随机，类和系统不一定存在简单的对应关系）. . .测测量量不确定度的来源不确定度的来源 、被测量的定义不完整、定义值复现不理想及测量方法不理想。 、测量设备不完善，在数据处理时所引用常数及其他参数值不准确。 、测量环境不理想或测量环境的影响认识不足。 、测量人员技术不熟练。 、在相同测量条件下，对被测量重复观测时存在随机变化。 . .
8、小结小结 测量误差是测量结果减去被测量的值，包括随机误差和系统误差。由于被测量的值在大多数场合是未知的，就要用测量不确定度来表示测量结果的可信程度。测量不确定度小，说明结果可信，反之则不可信。第二章第二章:概率统计的基础知识概率统计的基础知识 2.12.1 概率及其分布概率及其分布 2.1.1 2.1.1 频频率率与概率与概率 随机试验:在相同条件下可以重复进行,而每次所 得结果事前不可预测的试验. 随机事件(事件):随机试验的每一个可能的结果. 频率:若事件A出现的次数为L,各类事件出现总数为N,则L/N称为事件A出现的频率 概率:当各类事件总数N逐渐增多时,频率逐渐稳定于某个客观存在的实常
9、数,处于0与1 之间,称为理论频率,亦即在给定条件下事件A出现的概率,用P(A)表示. . .概概率分布率分布 对任意实数x,给出随机变量小于或等于x的概率的一个函数: F(x)=P(x) 称为的分布函数. 性质: 1)x(Flim)(Fx0)x(Flim)(Fx 对任意实数x1 ,x2( x1 x2),有 注: 1、若已知的分布函数F(x),就可求出落在(x1,x2上的概率. 2.单独点的概率在连续情况下通常为0。 1)x(F0)x(F)x(F)x(P)x(P)xx(P121221 对随机变量所有可能的取值x(i=1,2,),若可列出分布函数 P(= x)=pi , i=1,2, 则称为离散
10、型随机变量. 若存在非负函数f（x），且 使随机变量取值于任一区间(a,b)的概率为 则称为连续型随机变量, 称f（x）为的概率密度函数. dx)x(fabdx)x(f)ba(P概率密度函数性质: 若分布函数F(x)的导数存在,则 0)x(f 1dx)x(fdF(x)/dx)x(f2.22.2常用常用的几种概率分布的几种概率分布2.2.1 2.2.1 正正态态分布分布设连续型随机变量的概率密度函数为则称服从参数为,的正态分布. 记为x,2)x(exp21)x(f22),(N2当=0,=1时,称服从标准正态分布.其概率密度函数,分布函数分别用(x),(x)表示，即且可证明 (-x)=1 - (x
11、)若随机变量N(，),则其取值于区间(a,b)内的概率为2/x2e21)x(x2tdte21)x(2baba22dx2)x(exp21dx)x(f)ba (P通过变量替换,令 则为标准正态分布.xabdue21)ba (Pba2/u2bxexbxeebxf或, 0,1)(呈矩形,则称在区间内服从均匀分布。1dxeb1dx)x( fbeb00)b(dxP0)( eP2.2.2 均匀分布均匀分布均匀分布又称为矩形分布，设连续型随机变量在有限区间e,b内取值，其概率密度函数为2.2.32.2.3三角分布三角分布 若随机变量1,2都是在-a/2,a/2区间呈均匀分布,且相互独立则(=1+2) 的概率密
12、度函数为在区间-a,a呈三角形，简称三角分布axaxaxaxaxaaxaxf或,00 ,0,)(222.2.4 2.2.4 梯形梯形分布分布 若随机变量在-a,a区间呈均匀分布,在-b,b区间呈均匀分布， 和 相互独立，且ba，则 的概率密度函数为 在区间-b-a,b+a呈梯形分布。)(21abxabxabxababxababxabbabxababxabxf或, 0,4,21,4)(2.2.5 2.2.5 反正弦分布反正弦分布随机在-a,a区间内服从反正弦分布可表示为As-a,a，其概率密度函数为可以证明,如果U0,2,则asin(+0)As-a,a,其中a, 0为常数.axaxxaxf, 0
13、,1)(222.3 2.3 随随机机变变量量的数字特征的数字特征测量不确定度的表示中，数学期望和方差是最基本的特征量。实验数据处理中，基础工作是根据被测量的观测值，求出被测量之数学期望和方差的最佳估计值。2.3.12.3.1数学数学期望期望定义：若随机变量的分布函数为F(x)，而绝对收敛，则称 为的数学期望，记为E() 。当取值为 的离散型随机变量的概率为若 绝对收敛，则 其总和包括了对所能取的 所有值。 )(xxdF)(xxdFixipiiixpiiixpE)(ix数学期望:数学期望是以概率为权，对被测量的观测的加权平均。性质： 设C是常数，则有E(C)=C ； 设是随机变量，C是常数，则有
14、 E(C )=CE() 设1,2是任意两个随机变量，则有 设1,2是两个相互独立的随机变量，则有 dxxxfE)()()()()(2121EEE)()(),(2121EEE2.3.22.3.2方差方差设是一个随机变量，若 存在，则称 为的方差，记为2 ，即 对于离散型随机变量 ,有对于连续型随机变量 ,有性质： 设C是常数，则有 V(C)=0 设是随机变量，C是常数，则有 V(C )=C2V () 设 是相互独立的随机变量，则有 )(2EE)(2EE2)()(EEViiiPEXV21)()(dxxfEXV)()()(221,)()()(2121VVV2.3.32.3.3协协方差方差与相互系数与
15、相互系数协方差是度量它们相互依赖性的数字特征。 称为随机变量和的协方差，即 称为随机变量 和 的相互系数或标准协方差， 是无量纲量。协方差也可写为： )()(2)()()(22112121EEEVVV )(2211EEE 212121,cov,vv),(2112 212121,EEECov 221121,EEECov性质： Cov(1,2)=Cov(2,1) 设a,b 是常数,则有 Cov(a1,b2)=abCov(1,2) 设1,2和是三个随机变量,则有 Cov(1+2,)=Cov(1+a)+Cov(2+b)2.3.42.3.4几几种种概率分布的期望和方差概率分布的期望和方差 把正态分布的概
16、率密度函数 正态分布的期望为，方差为2。标准正态分布的期望为0，方差为1。方差的正平方根 称为随机变量或概率分布的标准偏差。 dxxx2exp21E22 22222exp21Vdxxx)(V2.4 2.4 分布，分布，t t分布，分布，F F分布分布设n个相互独立的随机变量1,2,n均服从标准正态分布N(0,1) ，则统计量 服从参数为 n的分布，记为 （n）分布的概率密度函数为 f(x)=0, x ，按置信水平p，认为样本数据中有系统误差；反之，则没有系统误差。若系统误差显著，按样本估算系统误差的置信范围为如果该范围恒为正值，说明系统误差为正；如果恒为负值，说明系统误差为负；如果该范围有正有
17、负，表示系统误差不太明显。)(pt/ )(,/ )(nXstaXnXstaXkpkp4.5 4.5 测测量量过程中减少系统误差的常用方法过程中减少系统误差的常用方法4.5.1 4.5.1 恒定恒定系统误差的减少系统误差的减少1.标准量替代法 在测量装置上对未知量测量后，立即用一个标准量替代未知量并再作测量，以便在相同测量条件下对标准量和未知量比较。如标准量可以连续改变大小，则可直接测出未知量；如标准量不能连续改变大小，则可求出未知量与标准量的差值。2. 交换法 在一次测量后，把某些测量条件改变一下，以减少该系统的定值系统误差。3. 反向补偿法 若已知存在某种恒定系统误差，又无法从根源上消除，也
18、不知其大小从而难以进行修正，可考虑有否可能用反向补偿法。先在有恒定系统误差的状态下进行一次测量，再在该恒定系统误差影响相反的另一状态下测一次，取其平均值相互抵消。 4.5.2 4.5.2 线线形形变化系统误差的减少变化系统误差的减少对称测对称测量法量法 线形变化系统误差往往随时间呈线形变化，因此,将测量顺序对某一时刻对称地进行测量，再通过计算，即可达到减少线形误差的目的。4.5.3 4.5.3 周期性周期性变化系统误差的减小变化系统误差的减小半周半周期法期法 对周期性系统误差，可以相隔半个周期进行一次测量，取相继两次读数的平均值，即可有效地减少周期性系统误差。若周期性系统误差可表示为则相隔半个
19、周期，即时 ，有相继两次读数的平均值sinel 1sin)sin(1eel021ll4.6 4.6 小结小结 因测量装置的突然故障，测量条件的突变或读错记错数据等异常情况引起的异常值，应注明原因并剔除，这是剔除异常值的主要方法。在测量完成后不能确切知道数据中是否含有异常值，可采用统计方法判断。 系统误差大多是在测量及数据处理之前就以存在。发现和减小定植系统误差的最好方法是用标准器具或准确度较高的器具进行检定。若无条件用标准器具或准确度较高的器具进行检定，那么发现和减小系统误差的能力取决于对测量技术掌握的熟练程度，以及分析各种测量技术的经验。第第5章章 合成标准不确定度合成标准不确定度 5.1
20、5.1 概概述述 如果测量结果的标准不确定度包含若干个标准不确定度分量,就要把若干个标准不确定度综合成为合成标准不确定度,用符号 表示. 用Y 和N 个输入量 有函数关系 则可通过测得的 的输入估计值 求得 Y的估计值y 即 则求Y合成标准不确定度 有以下两种方法: cNXXX,.,21),(21NXXXfYNXXX,.,21Nxxx,.,21),(21Nxxxfy)(yuc(1)不确定度传递律法:分别求得 的算术平均值的实验标准偏差,再用不确定度传递律求 .(2)输出量估计方差法:对于 第k次观测值 ,求出 .若 都测量了n次,即k=1,2,n ,那么类似地可求出 ,得到被测量Y的估计值 ,
21、 是n个 的算术平均值,并由式可求出y的标准不确定 NXXX,.,21)(yucNXXX,.,21NkkkXXX,.,21kYNXXX,.,21nYYY,.,21Yy YkY yuYsysc)(5.2 5.2 利用利用方差性质求合成方差方差性质求合成方差 例5.2 在t1时刻启动秒表,t2时刻停止秒表,启动和停止秒表的标准不确定度均为0.03s,求测量时间间隔为时,由于启动,停止秒表所引起的标准不确定度. 解 启动秒表的标准不确定度是由于持表人看(听)到信号与按秒表的不一致所产生,与持表人使用秒表的熟练程度有关.停止秒表的标准不确定度的产生原因也类似.由于 ,t2和t1互相独立,因此对上式取方
22、差,得 12tt 又因为 所以)()()()(1212tVtVttVV)()()(12222tutuustututu03. 0)()()(12stuu042. 0)(2)(5.3 5.3 不确定度不确定度传递传递(播播)律律 对于初等函数 ,不确定度传递律可表示为 其中 是 的输入估计值。式中估计的相关系数 y是Y的估计值, 是 的协方差的估计值),(21NXXXfY)()(),(2)()(1112212jijijNinijiiNiicxuxuxxrxfxfxuxfyuixNXXX,.,21)()(),(),(jijijixuxuxxuxxr),(jixxujixx和 偏倒数 是在 时的 ,表
23、示输出估计值 y如何随输入估计值 的变化而变化,成为灵敏系数。 ixfiixX iXfNxxx,.,2122iixfc)(|)(iiiixucyu),()()(2)()(1111222jijiNiNijjiiNiicxxrxuxuccxucyu 5.4 5.4 不相不相关关的的输入量输入量 当 之间不相关时,也即 为0时, 不确定度传递(播)律 式可简化为使计算合成标准不确定度比较方便. 例5.3 继续第3章的例3.6.被测量V的估计值是 ,其中 , ,附加修正值 , 求合成标准不确定度 .jixx ,),(jixxr)()()(121222iNiiiNiicxucxuxfyuVVVVV928
24、571. 0VVu12)(VVuV7 . 8)(, 0)(Vuc 解 由 得 由式(5.11),V的合成方差得合成标准不确定度 . 之所以把 和 看为不相关的,是由于 是用统计分析进行评定的,是A类标准不确定度; 是按仪表制造厂的技术说明书的信息进行评定的,是B类标准不确定度。VVV1VV1)(VV212222221019. 2)7 . 8()12()()()(VVVVuVuVucVVuc15)(VV)(Vu)(Vu5.5 5.5 相相关关的的输输入量入量5.5.15.5.1相相关关性性的判断的判断1.下列情况可判断为不相关 是在相同测量条件下，不同的独立实验中不同时测得的量，或者他们代表的是
25、独立进行的不同评定的结果量。 量中的任一个可以作为常数处理。 增大时 可正可负， 减小时 可正可负. 虽互有影响，但可认为其影响甚微，允许近似处理 . 对 估计值，评定其协方差的信息不足。jiXX ,jiXX 或iXjXiXjXjiXX ,jiXX ,2.下列情况可判断为相关 若测量或估计 时采用同一台测量器具、测量标准、参考数据或具有相当大不确定度的测量方法则输入量 常常是相关的。 有正线性关系，此时 有负线性关系，此时 增大时 也增大， 减小时 也减小jiXX ,jiXX ,jiXX ,1),(jiXXrjiXX ,1),(jiXXriXjXiXjX5.5.2 5.5.2 相相关关系系数数
26、求法求法1.直接计算法 相关系数的估计值为式中 是 的估计值2.经验估计式 若输入估计值 是相关的,且 变化 ，使 发生变化 ，则 的相关系数可由下式近似估计 若已知 值，则可利用上式求 。)()(),(),(jijijixsxsxxsxxr),(jiXXs),(jiXXCovjixx ,ixixjxjxjixx ,ijjijiiijixxuxxuxxuxxuxxr)()()(/)(),(ijijixxuxuxxr及)(),(),(jx3.数点计算法数点计算法 在相同测量条件下,独立重复测得 ,把n对观测值绘在直角坐标上，然后作平行于纵轴的直线A，使得A线把图中全部点数左右均分；做平行于横轴的
27、直线B，B线把图中全部点数上下均分，尽量使A,B线上无点，A线和B线所划分四个象限内的点数分别记为 ，则可按下式求相关系数估计值 注：点数较少时，该法不准确。 nkXXjkik2 , 1,4321,nnnn)cos(),(432131nnnnnnxxrji5.5.3 5.5.3 使使观测值观测值之间无关的实验处理措施之间无关的实验处理措施 为了使观测值之间无关，可在实验和处理数据是采取下述措施： 若各个观测值都存在一个固定的系统误差，则它们之间有一定程度相关。若将固定的系统误差修正后，则上述各观测值就可能不相关。 用同一个调零进行多次测量，则各读数之间有一定的相关。因此在每次读数之前重新调零再
28、读数，则得到的观测值之间就可能不相关了 。 在较长时间间隔测量时，要注意是否存在漂移，扣除漂移，则各读数之间可能不相关。实验室中的公共值，可用不同的恒源器接至各个仪器，隔断公共值对不同仪器的影响，而使其观测值之间不相关。5.6 5.6 小小结结 利用方差性质求合成方差只适用于函数关系极其简单的情况。对于间接测量，当输入量的测量次数均相等时。利用函数关系求出输出量各组相应值，再求出输出值的实验标准偏差。是既方便又准确的。不确定度传递律是通用的方法。对于不相关的输入量，通过适当的变量置换，可以把相关的输入量置换为另外的不相关输入量。第第6章章 扩展不确定度扩展不确定度6.1 6.1 扩扩展展不确定
29、度的表示方式不确定度的表示方式 扩展不确定度又称为总不确定度,常用符号U表示.它是由合成标准不确定度 乘以包含因子k得到,即 k值通常在23之间. 测量结果在给定区间的置信水平也可用被测量Y的值在给定区间内的频率表示,这里的频率是观察值在给定区间内的次数与观察值总次数之比.)(yuc)(ykuUc6.2 6.2 算算术术平均平均值值的扩展不确定度的扩展不确定度 若被测量是简单的单个正态分布量X,即Y=X,且X是用它的n次独立重复观测值xk的算术平均值估计的，其实验标准偏差为 ,则Y的最佳估计值是 ，估计值的实验标准偏差是 . 是按t分布，其自由度为=n-1。式中是X的期望,因Y=X,所以也是Y
30、的期望。 算术平均值的扩展不确定度 确定了一个区间 ,可期望以置信水平p使Y值落于该区间中. )(XsXy )()()(yuysXsc)(/ )()(/ )(ysyXsX)() 1()(XsntyukUpcppppUyUy至6.36.3 包含因子包含因子k k值的选择值的选择 若已知Y的分布函数，按所要求的置信水平p，可以求出k值。另一种求k值的办法是用卷积积分。对于 线性函数，式中 均为常数，若 的概率分布已知，则Y的概率分布可用卷积积分求得，所要求置信水平的值也可求得。由于卷积积分的复杂性，通常并不被采用，而是假设变量， 服从t分布，其自由度为 （称为有效自由度），即 。这样在求得 值后，
31、修约为整数，按所要求的p值，查t分布表。就可得 值。即有 。 NNXcXcXcy2211Nccc,21NXXX,21)(/ )(yuYyceff)()()(yukyutYycpceffpeff)(effpt)(effpptk6.4 6.4 有效自由度有效自由度 计算 即 式中 的自由度。如果计算所得的 值不是一个整数，通常用内插或截尾（舍位）的方法得到临近的值较底的整数。 effNiiiceffyuyu144)()(Niieff1),(|)(_),()(2122iiiiNiicxucyuxucyu)(iixu是eff 在某些应用中,A类和B类评定的标准不确定度分别有两项或更多项合成,分别表示为
32、 .它们的有效自由度分别为 ,则它们的合成方差 ,合成不确定度的有效自由度满足6.56.5扩扩展展不确定度的另一种表示方式不确定度的另一种表示方式 另一种表达式 cBcAuu 和effBeffA和222)(cBcAcuuyueffBcBeffAcAeffcyuyuyu)()()(4242/122295953)(ustUeff式中 取自t分布在自由度为 和置信水平p=95%时的值。 只考虑在本次测量中由重复观测统计评定得到的那些标准不确定度分量si, .并且 , 此时考虑到所有其他的不确定度分量，其中 相对与其最佳估计值的准确值的上限和下限。 若按式（6.3）和式（3.25）推荐的方法评定具有9
33、5置信水平的区间的扩展不确定度，则用式 代替式(6.8).上式中 包含所有的不确定度分量。)(295effteffeffiiiiXfcscs,222jjjjjjjXfcacyuu, )3/()(2222jjjXaa是到2/1229595)(ustUeffeff6.6 6.6 用用简便方法选择包含因子值简便方法选择包含因子值 可取k=2,其所形成的区间 具有置信水平约为95%；若取其所形成的区间 具有置信水平约为99%。 被测量Y的估计值y是由适当个输入量的估计值得到的，可用概率分布很好描述，例如正态分布和均匀分布； 这些输入量的估计值的标准不确定度，可以由A类或B类评定. 由不确定度的传递律隐
34、含的线性近似是适当的. 的不确定度是很小的，即其有效自由度具有足够大的值，具体来说满足条件 。)(2yuc)(3yuc)(yuc10eff6.7 6.7 有效自由度是否大于有效自由度是否大于1010的判的判断断 6.7.1 6.7.1 判判断断的的 公式公式 式中 这N个 的自由度中最小的值。对于之间不相关的情况，10effNiicNiiiceffyuyuyuyu1min44144)()()()(N，是21min)(ixumin14212min1min44144)( )()()()()(NiiniiNiicNiiiceffyuyuyuyuyuyu可得 若 则 若 则可用简便方法选择包含因子k值
35、，即对于p=95%，取k=2；当p=99%，取k=3。在有些测量情况中 ，那么按上述公式就不能判断了。Niieffv1min10min10eff101Nii10101minNii而6.7.2 6.7.2 快捷快捷判断判断 当已知A类标准不确定度 及其自由度和B类标准不确定度 及其自由度时,有 故有 在 的条件下,有 若已知 的值，则能判断是否 .快捷判断 列于附录表3。 )(yuA)(yuB)()()(222yuyuyuBAcBBAABAeffyuyuyuyu)()()()(4422210eff10eff)(/ )(110)(/ )(1422BABAAByuyuyuyuABBAuu /,和10
36、eff10eff6.8 6.8 小小结结 要含有扩展不确定度 ，已知合成标准不确定度 后，要给出U（也即选择k值）。理论上,是要确切知道被测量的概率分布或进行卷积积分等复杂计算，求出k值。但实际上很少采用，而一般是假设 服从t分布，其自由度为 而后采用简便方法求k因子。)(ykuUc)(yuc)(/ )(yuYyceff 第第7章章 权与不等权测量权与不等权测量 7.1 7.1 概述概述 在相同测量条件下，即测量方法，测量设备，测量环境和测量人员相同时，获得的观测值称为等权测量。实际操作中，有时不能满足相同的测量条件，所获得的观测值为不等权测量。重要的物理量需要把各个实验室在不同时期获得的观测
37、值加以综合，以便给出最可信的测量结果，就属于不等权测量。7.2 7.2 权与加权算术平均值权与加权算术平均值 对于n个不等权的观测值（或n组不等权的测量结果） 其方差分别为 ,如何求其真值a的最佳估计值X。一维随机变量进行n次测量得到的n个观测值，可以看作n维独立的随机变量进行一次测量得到的n个观测值。n维随机变量其子样 ; 的联合概率密度由似然函数给出，即式 中 的概率密度函数。 nXXX,2122221,nnXXX,2122221,nnkkknnaXfXXXL12222121),(),;,(kkkXaXf为),(对于正态分布，似然函数成为 2)(exp21),(22kkkkaXkaXf2)
38、(exp)2(1);,;,(12212/2121nkknkknnnaXkaXXXLnkknkaXkknL12212)(ln2ln2ln极大似然法估计，a的最佳估计值，即加权算术平均值为对于等权测量，则有222212222121222212222211)(.)()()(.)()(1.11.nnnnnnXXXXXXXnn2122221,nkkXnXX117.3 7.3 加加权权算术平均值的方差算术平均值的方差 的方差， 是不等权测量中第k个观测值 的方差，而 是单位权方差。 nkkknkknkknkkkXXV1222111)(1V)(nkknknkkknkkX12112221211)(1)(XX)
39、(2是k2kX2对于等权测量，测量次数越多，权越大，可信度越大。 因为通常不知道k的值,而仅仅知道sk的值, 即用实验标准偏差sk代替k,用 代替 ,则知道各个观测值的实验方差，就可求出加权算术 平均值的实验方差。nXXX)()()(222knkknX1)()(2Xs)(XVnkkkknkkSXSSXS122221221)(1)(7.4 7.4 加加权权算术平均值的实验标准偏差算术平均值的实验标准偏差单位权方差的无偏估计值为则测得第k个观测值的方差估计值为得加权算术平均值的方差估计值 nkkkXXnS122)(112122)() 1(1XXnSSknkkkkknkkknkkXXnXS1212)
40、() 1(1)(所以算术平均值的标准偏差为 只有n足够大时，上式才能得到较精确的 值，但一般n不会太大，只能得到近似的值。nkkknkkXXnXS121)() 1(1)()(Xs7.5 7.5 小小 结结测量分为等权测量和不等权测量。当系统误差不大时，可以用不等权测量测量的公式求加权算术平均值极其标准偏差。单位权方差2是当观测值的权为1时的方差，的值可选为任意正数，选择时以计算方便为原则。一旦的值选定，不能在有变动。第第8章章 最小二乘法最小二乘法 8.1 8.1 概概述述最小二乘法，在数据处理和不确定度估计中,被广泛应用。最小二乘法估计值与观测值所服从的概率分布无关。因而当概率分布的形式并不
41、能严格知道，无法用极大似然法估计时。采用最小二乘法是合适的。 8.8. 最小二乘法最小二乘法最小二乘法原理 ：假设Y和 及m个待估参数 的函数关系为 对Y和 作了n次相互独立的测量,得 和 ，i=1,2,N，而 nXXX,21maaa,21),(2121nmXXXaaafYnXXX,21kYikXk=1,2,n，且nm。那么如果对应于观测 值的真值为 ,则有 其中 k=1,2,n . 的误差 。当参数 分别等于最佳估计值 时, 的估计值 可写为k),;,(2121nkkkmkXXXaaafkYkkkYmaaa,21maaa , ,21kkY),; , , (2121nkkkmkXXXaaafY
42、k 之差称为残差，即 最小二乘法要求当参数 分别等于 时，残差 的加权平方和为极小，即 中 是第k次测量值的权，或写为 对于等权测量则为 。min),; , , (221211nkkkmknkkXXXaaafYmaaa,21maaa,21min21knkkkmin12nkkkkkYY与),; , , (2121nkkkmkXXXaaafY8.3 线性方程的参数最小二乘估计线性方程的参数最小二乘估计8.3.1 8.3.1 直直线线方程方程 若已知X和Y呈线性关系 ,对X和Y作了n次测量,得观测值 ,而n大于待求参数的个数,为等权测量,那么我们可求出,的估计值 及它们的方差。XYnnYXYXYX,
43、;,;,2211, nknkkknkknkkknkkXnXYXnYX12121111/1XY nXXnkk/ )(1nYYnkk/ )(18.3.2 8.3.2 一般一般线线性方程的性方程的参数参数最小二乘估最小二乘估计计 假设Y和m个变量 及m个参数 (j=1,2,m)的线性方程为 已测得n组观测值 ,而k=1,2,n，且nm，那么可求出m个参数 的最小二乘估计。若 的n个观察值的标准偏差为 ，k=1,2,n，那么 的权为 ，k=1,2,n式中 是单位权方差。jXjajmjjmmXaXaXaXaY12211mkkkkXXXY,21及jakYkkYkk22/28.4 8.4 小小结结 最小二乘估计值是方差最小的无偏估计，是最常用的参数估计方法之一。应用最小二乘法题解的常用步骤如下：列出残差方程；写出正规方程；求待估计的参数；求单位权标准偏差的估计值；求待估参数的标准偏差估计值。 若要求给出待估参数的扩展不确定度,那么按所要求的置信水平p,自由度=n-m,查附录表1得 值,并取包含因子 , 的扩展不确定度 。)(pt)(ptk ja sqtaUjjpj)()(
