1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (九） 指数与指数函数 练基础小题 强化运算能力 1下列函数中，满足 “ f(x y) f(x) f(y)” 的单调递增函数的序号是 _ f(x) x3； f(x) 3x； f(x) x12 ； f(x) ? ?12 x. 解析：根据各选项知， 中的指数函数满足 f(x y) f(x) f(y)又 f(x) 3x是增函数，所以 正确 答案： 2函数 f(x) 2|x 1|的大致图象是 _ (填 序号 ) 解析： f(x)? 2x 1， x1 ，?12x 1， x 1， 易知 f(x)在 1， ) 上单调递增，在 ( ， 1)上单调递减，故 正确
2、答案： 3 (2018 江苏省赣榆高级中学模拟 )函数 f(x) a|x 1|(a 0， a1) 的值域为 1， ) ，则 f( 4)与 f(1)的关系是 _ 解析：由题意知 a 1， f( 4) a3， f(1) a2，由 y at(a 1)的单调性知 a3 a2，所以 f( 4) f(1) 答案： f( 4) f(1) 4若函数 f(x) a|2x 4|(a 0，且 a1) 满足 f(1) 19，则 f(x)的单调递减区间是_ 解析：由 f(1) 19得 a2 19，又 a 0，所以 a 13，因此 f(x) ? ?13 |2x 4|.因为 g(x) |2x 4|在 2， ) 上单调递增，
3、所 以 f(x)的单调递减区间是 2， ) 答案： 2， ) 5 (2018 南京摸底 )已知函数 f(x) axax 1 btan x x2(a 0， a1) ，若 f(1) 3， 则 f( 1) _. 解析： f( x) f(x) axax 1a xa x 1 2x2 1 2x2，所以 f( 1) 1 2 f(1) 0. 答案： 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1已知 a 20.2， b 0.40.2， c 0.40.75，则 a， b， c 的大小关系是 _ 解析：由 0.2 0.75 1，并结合指数函数的图象可知 0.40.2 0.40.75
4、，即 b c；因为 a 20.2 1， b 0.40.2 1，所以 a b.综上， a b c. 答案： a b c 2.已知奇函数 y? f x ， x 0，g x ， x 0. 如果 f(x) ax(a 0，且a1) 对应的图象如图所示，那么 g(x) _. 解析：由题图知 f(1) 12， a 12， f(x) ? ?12 x，由题意得 g(x) f( x) ? ?12 x 2x. 答案： 2x 3设函数 y f(x)的图象与 y 2x a的图象关于直线 y x 对称，且 f( 2) f( 4) 1，则 a _. 解析：设 (x， y)为 y f(x)图象上任意一点，则 ( y， x)在
5、 y 2x a 的图象上，所以有 x 2 y a，从而有 y a log2( x)(指数式与对数式的互化 )，所以 y a log2( x)，即 f(x) a log2( x)，所以 f( 2) f( 4) (a log22) (a log24) (a 1) (a 2) 1，解得 a 2. 答案： 2 4 (2018 豫晋冀三省调研 )设函数 f(x) ax(a 0， a1) 在 x 1,1上的最大值与最小值之和为 g(a)，则函数 g(a)的取值范围是 _ 解析： f(x)在 x 1,1上的最大值和最小值在两端点处取得， g(a) f(1) f(1) a 1a，又 a 0，且 a1 ，所以
6、g(a) a 1a 2. 答案： (2， ) 5设函数 f(x)? ?12x 7， x 0，x， x0 ，若 f(a) 1，则实数 a 的取值范围是 _ 解析：当 a 0 时，不等式 f(a) 1 可化为 ? ?12 a 7 1，即 ? ?12 a 8，即 ? ?12 a ? ?12 3，因为 0 12 1，所以函数 y ? ?12 x是减函数，所以 a 3，此时 3 a 0；当 a0 时，不等式 f(a) 1 可化为 a 1，所以 0 a 1.故 a 的取值范围是 ( 3,1) 答案： ( 3,1) =【 ;精品教育资源文库 】 = 6 (2018 张家港市四校联考 )已知 a 0，且 a1
7、 ， f(x) x2 ax.当 x ( 1,1)时，均有 f(x) 12，则实数 a 的取值范围是 _ 解析：当 x ( 1,1)时，均有 f(x) 12，即 ax x2 12在 ( 1,1)上恒成立，令 g(x) ax， m(x) x2 12，由图象知：当 0 a 1 时，g(1) m(1)，即 a1 12 12，此时 12 a 1；当 a 1 时， g( 1) m(1)，即 a 11 12 12，此时 1 a2. 综上， 12 a 1 或 1 a2. 答案： ? ?12， 1 (1,2 7已知函数 f(x) ex e xex e x，若 f(a)12，则 f( a) _. 解析： f(a)
8、 ea e aea e a12. f( a)e a eae a eaea e aea e a ? 12 12. 答案： 12 8若函数 f(x) ax 1(a 0， a1) 的定义域和值域都是 0,2，则实数 a _. 解析：当 a 1 时， f(x) ax 1 在 0,2上为增函数，则 a2 1 2， a 3.又 a 1， a 3.当 0 a 1 时， f(x) ax 1 在 0,2上为减函数，又 f(0) 02 ， 0 a 1 不成立综上可知， a 3. 答案： 3 9 (2018 安徽十校联考 )已知 max(a， b)表示 a， b 两数中的最大值若 f(x) maxe|x|，e|x
9、2|，则 f(x)的最小值为 _ 解析：由于 f(x) maxe|x|， e|x 2|? ex， x1 ，e2 x， x 1. 当 x1 时， f(x)e ，且当 x 1时，取得最小值 e；当 x 1 时， f(x) e.故 f(x)的最小值为 f(1) e. 答案： e 10 (2018 信阳质检 )若不等式 (m2 m)2x ? ?12 x 1 对一切 x ( ， 1恒成立，则实数 m 的取值范围是 _ 解析： (m2 m)2x ? ?12 x 1 可变形为 m2 m ? ?12 x ? ? ?12 x 2.设 t ? ?12 x，则原条件等价于不等式 m2 m t t2在 t2 时恒成立
10、显然 t t2在 t2 时的最小值为 6，所以 m2 m 6，解得 2 m 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： ( 2,3) 二、解答题 11已知函数 f(x) 2a4 x 2x 1. (1)当 a 1 时，求函数 f(x)在 x 3,0的值域； (2)若关于 x 的方程 f(x) 0 有解，求 a 的取值范围 解： (1)当 a 1 时， f(x) 24 x 2x 1 2(2x)2 2x 1， 令 t 2x，因为 x 3,0，则 t ? ?18， 1 . 故 y 2t2 t 1 2? ?t 14 2 98， t ? ?18， 1 ，故值域为 ? ? 98， 0 . (2)关于 x
11、 的方程 2a(2x)2 2x 1 0 有解，等价于方程 2am2 m 1 0(m 0)在 (0， ) 上有解 记 g(m) 2am2 m 1， m 0， 当 a 0 时， g(m) 0 的解为 m 1 0，不成立 当 a 0 时， g(m)的图象开口向下，对称轴 m 14a 0，则 g(m)在 (0， ) 上单调递减，且图象过点 (0， 1)，不成立 当 a 0 时， g(m)的图象开口向上，对称轴 m 14a 0，则 g(m)在 ? ?0， 14a 上单调递减，在 ? ?14a， 上单调递增，且图象过点 (0， 1)，必有一个根为正， 所以， a 0. 综上所述， a 的取值范围是 (0，
12、 ) 12 (2018 连云港月考 )设函数 f(x) kax a x(a 0， a1) 是奇函数 (1)求常数 k 的值； (2)若 a 1，试判断 f(x)的单调性，并用定义法加以证明； (3)若已知 f(1) 83，且函数 g(x) a2x a 2x 2mf(x)在区间 1， ) 上的最小值为2，求实数 m 的值 解： (1)因为函数 f(x) kax a x(a 0， a1) 是奇函数， 所以 f( x) f(x) 0 对于任意 x R 恒成立， 即 (ka x ax) (kax a x) 0； (k 1)(ax a x) 0 恒成立， 所以 k 1 0，即 k 1. (2)a 1 时
13、， f(x) ax a x在 R 上为增函数 理由如下：设 x1 x2 则 f(x1) f(x2) (ax1 a -x1) (a x2 a-x2) =【 ;精品教育资源文库 】 = a x1 a x2 ax1 x2a x1 x2 . 因为 a 1， x1 x2，所以 0 a x1 a x2， ax1 x2 0， 所以 f(x1) f(x2)，即 f(x) ax a x在 R 上为增函数 (3)由 f(1) 83得 a 1a 83，即 a 3 或 a 13(舍 ) 所以 f(x) 3x 3 x， g(x) 32x 3 2x 2m(3x 3 x) (3x 3 x)2 2m(3x 3 x) 2. 设 t 3x 3 x， x 1， ) ，则 t 3x 3 x在 1， ) 上为增函数，即 t 83， 所以 y t2 2mt 2， t 83，对称轴为 t m. 当 m 83时， ymin ? ?83 2 163m 2 2，解得 m 2512. 当 m 83时， ymin m2 2m2 2 2，所以 m 2 或 m 2(均舍去 ) 综上 m 2512.
