1、部分习题解答P25 P25 习题习题1.31.3解解: : （a）、（b）两问参见课件。两问参见课件。（c） 由由(a)知道：知道：自由粒子波函数既是动量本征自由粒子波函数既是动量本征函数也是能量本征函数或能量本征态函数也是能量本征函数或能量本征态( (定态定态) )，而，而 (x)是无穷多动量本征态的叠加，也即无穷多能是无穷多动量本征态的叠加，也即无穷多能量本征态的叠加，因此量本征态的叠加，因此 (x)= (x)代表非定态，也代表非定态，也即非能量本征态。即非能量本征态。另解：另解：2221( )22ipxdHxedpm d x 21122ipxpedpm ( )x 常数常数因此因此 (x)
2、= (x) 非能量本征态。非能量本征态。(d) 任意波函数可按自由粒子的平面波函数展开：任意波函数可按自由粒子的平面波函数展开：( , )( )( , )( )( , )pppx tC px tC px t dp 可以证明展开系数（见附录）可以证明展开系数（见附录）( )*( , ) ( , )pC px tx t dx 12( , )(2)iipxEtpx te 自由粒子波函数自由粒子波函数其中其中当当 (x,t)未知时，未知时，C(p)难以直接求解。但难以直接求解。但C(p)与时间与时间无关，故可以用系统的初态求解：无关，故可以用系统的初态求解：( )*( ) ( ,0); 0pC pxx
3、dtx 1122(2)( )= (2)ipxex dx 2()12( , ) (2)ippxtmx tedp 则则22()1222 (2)itmmxpxtmtedp 22()1222( , ) (2)itmmxpxtmtx tedp 利用利用24iiede 224( , ) 2mxiitmx teet 所以所以附录：附录：( )*( , ) ( , )pC px tx t dx 系数系数( , )( )( , )px tC px t dp 证明：证明：( , )( )( , )px tC px t dp *( , ) ( , )*( , )( )( , )pppx tx tx tC px t
4、dp *( , ) ( , )*( , )( )( , )pppx tx t dxx t dxC px t dp （I）( ) ()C ppp dp ( )( , )*( , )ppC p dpx tx t dx 右边右边12*( ) ( , )(2), )(ipxpxx t dxC p tx t edx *( , ) ( , )*( , )( )( , )pppx tx t dxx t dxC px t dp ( )C p ( )*( , ) ( , )pC px tx t dx 所以所以（I）式可以写成：式可以写成：12( , )( , )( )(2)( , )ipxpx tx dpC p
5、 t edpC p t 得证！得证！课件第课件第3 3章章1 1习题习题: :()A BB A 证明证明解答：解答：由转置算符的定义得到由转置算符的定义得到(,)(*,*)A BA B *(,)BA *(*,*)AB (,)BA ()A BB A 和和 任意，所以任意，所以P74 P74 习题习题3.33.3解答：解答：利用利用1 ,mmp xi mx 1 ,nnx pi np 0 , ,mnmnmnp FCp xp 10mnmnmniCmxp iFx 同理有同理有 ,x FiFp P75 P75 习题习题3.143.14解：解：设设lz算符算符的本征态为的本征态为 m，相应的本征值相应的本征
6、值m*xm xmlldx *1 ()my zz yml ll ldxi *1 m y zmm z yml ldxl ldxi *1()*m y zmzmymmldxlldxi *10m y zmm ymmldxmldxi 类似地可以证明类似地可以证明0yl P75 P75 习题习题3.163.16解解：显然：显然 态，非态，非lz算符和算符和l2算符算符的本征态的本征态(a) lz的可能测值的可能测值1, 1zlmm相应本征态相应本征态Y1120, 0zlmm 相应本征态相应本征态Y20相应相应的测量概率：的测量概率：221122: ; : zzlclc平均值：平均值：22211221zzzl
7、lclcc (b) l2的可能测值的可能测值2221(1)2, 1ll ll相应本征态相应本征态Y112222(1)6, 2ll ll相应本征态相应本征态Y20相应相应的测量概率：的测量概率：22221122: ; : lclc平均值：平均值：22222222211221226llclcccP95 P95 习题习题4.24.2解解: (a) 对对两个全同的两个全同的Boss子，体系波函数必须满足子，体系波函数必须满足交换对称性。交换对称性。 当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定交换对称：定交换对称：(1,2)(1) (2), 1,2,3iii可能态
8、数目可能态数目 3 当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波函数：波函数：1(1,2) (1)(2)(2)(1), 2ijijij可能态数目可能态数目233C 所以，两个全同所以，两个全同Boss子总的可能态数目子总的可能态数目6(b) 对对两个全同的两个全同的Femi子，体系波函数必须满足交换子，体系波函数必须满足交换反对称要求。反对称要求。 对对Femi子不允许两个粒子处于相同的单态，因子不允许两个粒子处于相同的单态，因此此它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系波函数：波函数：1(1,2) (1)(2)
9、(2)(1), 2ijijij可能态数目可能态数目233C 所以，两个全同所以，两个全同Femi子总的可能态数目子总的可能态数目3(b) 对对两个经典的粒子两个经典的粒子(可区分可区分)，其体系波函数无对称，其体系波函数无对称性要求，即性要求，即(1,2)(1)(2), ,1,2,3iji j可能态数目可能态数目339P95 P95 习题习题4.54.5解：解：定态定态 就是能量本征态，对应本征值就是能量本征态，对应本征值E。因束。因束缚态是可以归一化的，故不妨设缚态是可以归一化的，故不妨设 已归一化。已归一化。1 ,dAA Hdti 1( , , )A Hi 1( ,)( ,)AHHAi 1
10、( ,)(,)EAHAi 1( ,)( ,)0EAEAi P115 P115 习题习题5.55.5解答解答: 氢原子基态波函数氢原子基态波函数10031( ,)r area 基态能量基态能量421222eeEa 经典禁区经典禁区221( )0 02eeEV rar （因为（因为E=T+V，EV0意味着意味着T0，显然是经典理，显然是经典理论不允许的；但量子理论中，粒子可以发生隧道效论不允许的；但量子理论中，粒子可以发生隧道效应，穿越经典禁区）应，穿越经典禁区）2ra 基态电子处于经典禁区的概率基态电子处于经典禁区的概率2100( ,)Prd 4223201r aaer drda 4130.23
11、8e 注意：结果中注意：结果中e非指电子电荷，而是指数非指电子电荷，而是指数e。P115 P115 习题习题5.65.6解答解答: (a) 类氢离子中电子的波函数类氢离子中电子的波函数1( , ,)( )( ,)( )( ,)nlmnllmnllmrRr Yr Yr 222,1( )nr nanZnrCr e 2( )(1,22, )lnlnlRrNeFn ll 园轨道园轨道（l = n1）下的径向概率分布函数下的径向概率分布函数最概然半径最概然半径 rn 由下列极值条件决定：由下列极值条件决定：2,1( )0n ndrdr 2nrn a Z(b)2( , ,)nlmrrrd 4222001(
12、 )( ,)nllmrr drYdr 20( )nlrrdr 径向概率密度径向概率密度222,1( )nr nanZnrCr e 对于园轨道对于园轨道(l = n1)2120nr naZrCredr 2120Znr narCredr 10!nxnnx edx 利用积分公式利用积分公式得到得到22(21)!(2)nnrCnaZ 222, 1lnlZCNlnna而而32,1344(21)!n nNa nnZ 2(2)rnna Z对于氢原子对于氢原子“园轨道园轨道”的平均半径的平均半径2(2)rnna例如基态例如基态13 2ra 和例题和例题1的结果一致。的结果一致。(c) 涨落涨落1222()rrr 与与(b)类似地类似地223(22)!(2)nnrCnaZ 2212()(1) ()n nna Z所以所以221212222()(1) () (2)() rn nna Znna Z 1232()42nnra Z 212122nnr rnn可见，可见，n越大，越大， 越小，量子力学的结果和越小，量子力学的结果和Bohr量子化量子化“轨道轨道”的图像越接近。的图像越接近。r r
