1、连续信号的时域分析正弦信号的描述0()00cos()sin()jtetjt0()0sin()Imjtte 两周期不同的正弦信号叠加后，合成的信号可能是周期的也可能不是周期的。1 122kTk T1k2k如果存在整数 和 ，使得 则合成的信号是周期信号，周期为两周期的最小公倍数1连续信号的时域分析冲激信号的描述( ) t( )0( )1tt dt0t 性质一：筛选0000( ) ()( ) ()( )x tttx tttx t性质二：尺度变换性质三：卷积00( )()()x tttx tt1()()batbtaa2连续信号的时域分析冲激偶( ) t性质一：奇函数性质二：筛选00() ( )( )
2、ttf t dtft 3连续信号的时域分析时间尺度变换 表现为信号横坐标尺寸的展宽或压缩，通常横坐标的展缩可以用变量 at（a为大于零的常数）替代原信号的自变量 t 来实现。4连续信号的时域分析翻转 将信号以纵坐标轴为中心进行对称映射，即用变量- t代替原自变量 t 而得到的信号 x(-t)。5连续信号的时域分析平移 将原信号沿时间轴平移，信号的幅值不发生改变。 若t0为大于零的常数，则沿坐标轴正方向平移（右移）t0表示信号的延时沿坐标轴反方向平移（左移）t0表示信号的超前6连续信号的时域分析卷积dtxxdtxxtxtx)()()()()()(122121 将 和 进行变量替换，成为 和 ；并
3、对 进行翻转运算，成为 将 平移t，得到 。 将 和 相乘，得到被积函数。 将被积函数进行积分，即为所求的卷积积分，它是t的函数。)(2x2( )x t)(2x)(2x)(2x)(2tx)(2tx)(1x1( )x t2( )x t7连续信号的时域分析例 12022220)(1ttttx20204300)(2ttttx求两信号的卷积。8连续信号的时域分析例 19连续信号的时域分析例 2(22)costtdt计算积分111(22)cos(1)coscos222ttdtttdt 利用冲激函数的尺度变换性质和筛选性质1()()batbtaa10连续信号的频域分析周期信号的傅里叶级数00( )()jn
4、tnx tX ne00020021()( )TjntTX nx t edtT, 2, 1, 0n11连续信号的频域分析采样函数sin( )xSa xx一：偶函数二：过零点为, 2 ,.x 12连续信号的频域分析非周期信号的傅里叶变换deXtxtj)(21)(dtetxXtj)()(13连续信号的频域分析常用非周期信号的傅里叶变换对1( )ateu tja002()jte ( )2p tSa0020( )Satp2( )24tSa1( )( )u tj sin()()atjaa cos()()ataa 12 14连续信号的频域分析非周期信号的傅里叶变换的性质一：时移二：频移( )()j ax t
5、 eXa三：对偶( )2X tx001()()tjax attXeaa15连续信号的频域分析非周期信号的傅里叶变换的性质四：微分 Xjdttxdnnn)( )( )nndXt x tjd五：积分( )( )(0) ( )tXxdXj 六：卷积)()()()(2121XXtxtx)()(21)()(2121XXtxtx16连续信号的频域分析例 3( )( )CFTx tX 1dxdtt已知求的傅里叶变换。( )dxj Xdt2sgn( ) tj22 sgn()jt由对偶性1sgn( )jt 1( ) ()sgn( )( )sgn( )dxj XjXdtt 17连续信号的频域分析例 4tX(t)1
6、A求的傅里叶变换。( )x t11( )()(1)2x tAp tAt/2( )()2CFTjjx tASaeAe /2()2( )jjCFTASaeAex tj 由微分性质18连续信号的频域分析例 5tX(t)1A将以1为周期进行延拓得到周期信号，求其傅里叶变换。( )x t/22( )jjCFTASaeAex tj ( )( )CFTx tf 记00/2000000()2()jkjkkASaeAef kX kTjkT则02代入00/202002( )22jkjkjkj kkASaeAeASa keAejAX kjkTjkk19例 5tX(t)1A( )2jAX kk( )2(2)( )nX
7、n X k 根据一般周期信号的傅里叶变换的定义：连续信号的频域分析20例 6连续信号的频域分析tx(t)2-21-11( )x t求的傅里叶变换42( )2( )( )x ttt 22( )42x tSaSa21连续信号的复频域分析( )( )stbXsx t edt1( )( )2jstbjx tXs e dsj 拉普拉斯变换sj22连续信号的复频域分析拉普拉斯变换收敛域右边信号：左边信号：00收敛域由拉普拉斯变换的极点界定或延伸至无穷。( ) ( )x t u t( ) ()x t ut左边信号和右边信号具有相同的变换表达式一个信号的 单边Laplace变换就等于 的双边Laplace变换
8、。( )x t( ) ( )x t u t23连续信号的复频域分析Laplace变换和傅里叶变换的联系一：收敛域包含 轴jsbsXX| )()(j二：收敛域不包含 轴j傅里叶变换不存在24连续信号的复频域分析Laplace变换和傅里叶变换的联系三：收敛域边界落在 轴上j1( )( )|()pbsjiiiXXsk 是拉普拉斯部分分式展开式， 轴上极点项的系数。jik25连续信号的复频域分析拉普拉斯变换的性质线性1()ni iikx t1. ( )niik L x t( )dx tdt微分( )(0 )sX sx积分tdf)( )(0 )X sxss时移00() ()x tt u tt0( )st
9、eX s频移( )atx t e()X sa26连续信号的复频域分析常用Laplace变换对1( )u ts1( )ateu tsa( )( )dX stx tds ( )(0 )dxsX sxdt22sin( )()atbebt u tsab22cos( )()atsaebt u tsab00()( )stx tteX s00( )()s tx t eX ss27例 7连续信号的复频域分析求的单边拉普拉斯变换。(3)( )(3)tx teu t3(3)3( ) ( )(3) ( )( )1LTttex t u teu tu te e u ts 28例 8连续信号的复频域分析求拉普拉斯逆变换1
10、2( )13X sss31 3( )()2( )ttx te uteu t 12( )13X sss左边信号右边信号29信号的采样与恢复t0 x(t)( )x t( )sx tsTt0sT 2sT( )sx t tx连续信号x(t)经过一个被称为采样开关的装置，该开关周期性地开闭，其中开闭周期为Ts，每次闭合时间为，Ts，这样，在采样开关的输出端得到的是一串时间上离散的脉冲信号xs(t) 。为简化讨论，考虑Ts是一个定值的情况，即均匀采样，称Ts为采样周期。连续系统的离散化30信号的采样与恢复按理想化的情况，由于1)，使信号x(n) r n满足收敛条件。 ( )( )j nnXx n e 20
11、1( )( )2j nx nXedDTFT62离散信号的复频域分析Z变换定义( )( )nnX zx n z11( )( )2nrax nX zzdzjZ变换的收敛域总是圆的内部或外部，由极点界定。左边序列的收敛域是圆内右边序列的收敛域是圆外左边序列 和右边序列 有相同的Z变换，但收敛域不同。( ) ( )x n u n( ) (1)x n un 63离散信号的复频域分析Z变换的基本性质00()( )nx nnzX z( )()nza x nXa( )( )dXznx ndz 单边Z变换( )x n( ) ( )x n u n信号 的单边Z变换就等于 的双边Z变换64离散信号的复频域分析常用Z
12、变换对( )1zu nz( )nza u nza11(1)(2)()( )!()mnmnnnmza u nmza2( )()nazna u nza65离散信号的复频域分析Z逆变换部分分式法( )X zz将 展开成部分分式，化为：1( ).ppnzzX zzzzz( )X z1z将 以 为变量展开成部分分式，化为：11111( ).11nX za za z66离散信号的复频域分析例 181121( )53148zX zzz求的反变换。1z以为变量，部部分分式展开1176( )311142X zzz31( )7( )6( )42nnx nu nu n671( )( ), ( )( )(1)nnnx
13、 na u n y nb u nabu n离散信号的复频域分析例 19求( )( )x ny n 11( )1X zx nazZ 1111111( )111azazY zy nbzbzbzZ 11( )( )1x ny nX z Y zbzZ( )( )x ny n 1nX z Y zb u nZ68线性时不变系统的时域分析LIT系统的微分方程nkmkkkkktxbtya00)()()()( )(1)( )(1)1010.nnmmnnmmyyaaa b xb xb NkMkkkknxbknya00)()(1010()(1).( )()(1).( )NNMMy nNy nNy nx nMx nM
14、x naaabbb连续离散69线性时不变系统的时域分析卷积的数学性质交换、结合、分配律)(*)()(*)()(*)(thtxdtdthdtdtxthtxdtd ( )( )( ) ( ) ( ) ( )xn hnxnhnxnhn 微（差）分 ( )( )( ) ( ) ( )* ( )tttxhdx thdxdht ( )( )( ) ( ) ( )( )nnnkkkxk hkxnhkxkhn积分70 对于 t=0时刻加入激励信号 x(t)的 LTI因果系统的输出响应为 ：0()( ) ()tytx htd 0 ( )0tx t0t0)(tht0)(thnkknhkxny0)()()(离散：积
15、分区间由无穷变为0,t线性时不变系统的时域分析71线性时不变系统的频域分析( )( )* ( )y tx th t( )( )( )YXH72)()()(XYH提供了求解系统冲激响应的一种方法频率特性函数 在频域完全充分地描述了LTI系统的特性和功能 ： )(H)(| )(|)(hjeHH)(H从幅值和相位两个方面改变了 的频谱结构 )(X| )(| )(| )(|HXY)()()(hxy 这种改变使输入信号的某些频率分量得到增强，某些频率分量被削弱或保持不变，具有滤波的特性。线性时不变系统的频域分析73)(2)( )(3)( 4)( txtxtytyty2( )21/21/2( )( )13
16、43()YjHXjjjj311( )() ( )22tth tu tee2( )4() ( )3 ( )()( )2( )()YjYYjXXj注意：只能求得零状态响应线性时不变系统的频域分析例 2074 设原信号为x(t)，其频谱为X()，经无失真传输后，输出信号y(t)应为)()(0ttKxty)()(0XKeYtj无失真传输系统的频率特性函数为0)()()(tjKeXYH其幅频特性和相频特性分别为0)(| )(|tKHh仅有幅值变化和因果时移线性时不变系统的频域分析75线性时不变系统的复域分析传递函数 niiimjjjsasbsXsYsH00)()()(定义在零初始条件下，系统输出的Lap
17、lace变换与输入的Laplace变换之比为系统的传递函数，记为 H(s)( )( )( )( )ziY SH S X SSY若传递函数的全部极点位于左半平面，则系统是稳定的。76 已知系统的传递函数为： 当输入 初始状态 ，28( )(2)(3)sH sss( )( ),tx te u t(0 )3y(0 )2,y试求全响应y(t)。2( )2828( )( )(2)(3)56Y SssH SX Sssss写出微分方程：( )5 ( )6 ( )2 ( )8 ( )y ty ty tx tx t两边做Laplace变换2( )(0 )(0 )5( )5 (0 )6 ( )2( )8( )s
18、Y ssyysY syY ssX sX s输入是没有初值的例 20线性时不变系统的复域分析772228(0 )(0 )5 (0 )( )( )5656sysyyY SX Sssss2228173( )5656sSX Sssss1( )1X Ss代入例 20线性时不变系统的复域分析7828173( )(2)(3)(1)(2)(3)ssY Ssssss232225(2)(3)(1)sssss377123sss23( )(377) ( )ttty tu teee例 20线性时不变系统的复域分析79系统框图 系统可以用框图来表示。在零初始状态下，系统在时域、频域与复频域的特性可以分别用冲激响应h(t)
19、，频率响应函数或频率特性函数H()和传递函数H (s)来表征，如下图所示，图中表示了相应的输入与输出关系。有时，又将H()和H (s)称为系统函数。线性时不变系统的系统框图80811） 系统的级联（串联）( )X s 1( )Ys ( )Y s1( )H s2( )Hs( )X s 12( )( )HS HS( )Y s与级联次序无关 11121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )Y sX s H sY sY s HsX s H s HsH sH s Hs线性时不变系统的系统框图2）系统的并联1( ) sH2( ) sH( )Xs ( )Y s( )X s
20、( )Y s12( )( )( )H SSSHH和点12( )( )HssH线性时不变系统的系统框图823）反馈回路( ) X s 1( )sH2( ) sH( )Y s ( ) X s ( )Y s112( )1( )( )sssHHH：正反馈：负反馈分点反馈通道12( )( )( ) ( )( )H sX sHs Y sY s推导方法：线性时不变系统的系统框图83 有一因果时不变系统，其框图如题图所示，试确定描述该系统输入x(t)对输出y(t)的微分方程。H1(s)H2(s)1241( ) ( )16211ssH sHsss例 21线性时不变系统的复域分析841241( )( )( )(
21、)162( )11Y sssH sHsHsX sss2524524(16)(2)1832ssssss( ) 18 ( )32 ( )5 ( )24 ( )yty ty tx tx t例 21线性时不变系统的复域分析85离散时间系统的Z域分析 在分析连续时间系统时，可以把描写此系统工作情况的微分方程通过单边Laplace变换转变成代数方程求解。由微分方程的Laplace变换式，还可以引出复频域中的传递函数的概念，从系统的传递函数，就能比较方便地求得 。对于离散的时间系统，情况也类似。( )zsty线性时不变系统的复域分析若传递函数的全部极点位于单位圆内，则系统是稳定的。8687一个离散的LTI系
22、统，时域表达式P163式(4-7) 时移定理两边取单边Z变换x(n)是n=0时接入的因果信号NMk 0k 0()()kka y nkb x nk000100()( )( )(0)nnZmmnx nnZX zZx m zn 121( )( )(1)( )( 1)(2)( )( 1)( 2)y nY zy nz Y zyy nz Y zz yy注意和Laplace变换的区别：初值项前是+号，而Laplace中是-号线性时不变系统的复域分析88 已知由差分方程所描述的初始条件为y(-2)=1,y(-1)=1，系统的输入激励为 ，求系统的响应y(n)。解：对差分方程两边同时进行单边Z变换，有11(n)
23、(1)(2)( )(1)22yy ny nx nx n( )( 1)( )nx nu n 121111( )( )( 1)( )( 1)( 2)22( )( )Y zz Y zyz Y zz yyX zz X z把含初始值的项合并到一起可以单独求零输入响应线性时不变系统的复域分析例 22891112121112( )( )1111112222zzY zX zzzzz11( )1X zz111215112332( )111111222zY zzzzz511( )() ( )332ny nu n线性时不变系统的复域分析 一离散时间因果系统的差分方程为：y(n)-3y(n-1)+3y(n-2)-y(
24、n-3)=x(n)求其冲激响应。解：查表得1231 311( )1 33(1)H zzzzz(1)(2)( )( )2nnh nu n线性时不变系统的复域分析例 239091补充作业：26 (1)求如下系统的传递函数H(z)； (2)求如下系统的单位脉冲响应h(n)和单位阶跃响应g(n); (3)写出如下系统的差分方程； (4)判别如下系统的稳定性。92111112194391486080( )( )1211113319 14329( )( )() ( )48 360380129(3) ( )(1)(2)( )(1)39812(4),33nnG zH zzzzzg nu ny ny ny nx nx nzz 所有极点位于单位圆内，所以系统稳定。931211111111121112( )( )( )( )399( )( )( )8( )919431( )82424(1)( )1212( )111393343219 1(2) ( )()( ) ( )24324 3nnz XzzXzX zXzz XzXzY zXzzY zH zX zzzzzh nu n消去得
