1、第二章参数寿命分布参数寿命分布有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设生命表的构造生命表的构造生命表函数生命表函数本章中英文单词对照本章中英文单词对照死亡年龄生命表剩余寿命整数剩余寿命死亡效力极限年龄选择与终极生命表Age-at-deathLife tableTime-until-deathCurtate-future-lifetimeForce of mortalityLimiting ateSelect-and-ultimate tables第二章参数寿命分布参数寿命分布有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设生命表的构造生命表的构造生命表函数生命表函数生存函数生存函数定义意义：新生儿能活到 岁的
2、概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：( )Pr()S xXx( )1( )S xF x ( )( )f xS x xPr()( )( )xXzs xs z人类寿命生存函数曲线图示人类寿命生存函数曲线图示例例2.1假设某人群的生存函数为求： 一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率； 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率； 一个刚出生的婴儿会在6070岁之间死亡的概率； 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。 ( )1100 xS x ( )1, 0100100 xS xx解解2.1100 501(1)Pr(50)(50)1(50)1002100 801(2)
3、Pr(80)(80)10051(3)Pr(6070)Pr(60)Pr(70)(60)(70)10Pr(3060)(30)(60)34 Pr(6030)Pr(30)(30)7XFSXSXXXSSXSSXXXS （ ）剩余寿命剩余寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。分布函数 ：( ()()( )()( )txqPr T XtPr xXxt XxS xS xtS xtxq剩余寿命剩余寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。剩余寿命与寿命变量图示剩余寿命剩余寿命剩余寿命的生存函数特别txpPr( (
4、 )Pr()()( )txpT xtXxt XtS xtS x0( )xpS x生存函数与剩余寿命生存函生存函数与剩余寿命生存函数的对比图示数的对比图示 剩余寿命基本函数剩余寿命基本函数 ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x岁的人将在1年内去世的概率 ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率 xpxqxt uq1xxpp1xxqqxt uxtxtxt uxt uqqqpp剩余寿命的期望与方差剩余寿命的期望与方差期望剩余寿命： 剩余寿命的期望值(均值),简记剩余寿命的方差( )x00( ( )(1)oxtxtxeE T xtdpp dtoxe2220( ( )( ( ) )( (
5、)2otxxVar T xE T xE T xtp dte整值剩余寿命整值剩余寿命剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示 整值剩余寿命整值剩余寿命定义： 未来存活的完整年数，简记概率函数( )x( )K x(),( )1,0,1,K XkkT xkk11Pr()Pr( )1)kxkxkxkxkxx kxkK XkkT xkqqpppqq整值剩余寿命的期望与方差整值剩余寿命的期望与方差期望整值剩余寿命： 整值剩余寿命的期望值(均值),简记整值剩余寿命的方差( )x11100( )xxxkxx kkxkkeE K xkpqp xe122210( )()()(21)xkxx
6、kVar K xE KE Kkpe 死亡效力死亡效力定义： 的瞬时死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系( )xx( )( )ln ( )( )( )xS xf xS xS xS x 0( )expexpxsx ttxsxS xdspds人类的死亡效力曲线图示人类的死亡效力曲线图示 人类死亡效力的规律人类死亡效力的规律人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆状结构， 被称为“浴盆曲线”。人类的“浴盆曲线”意味着： 刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身
7、体各部位都属于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。死亡效力死亡效力死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数( )()( )1( )()( )()( )( )( )( )txx ttxx tS xS xtG tpS xS xtddS xS xtg tG tpdtdtS xS x ( )g t( )( )xf xS x例例2.2已知给出生存函数 请计算 和 100( )20 xS x, 0100 x(75),(75)Ff75（ ）解解2.210075(75
8、)1(75)10.752011( )( );(75)0.00540100(75)(75)0.02(75)FSf xS xfxfS 例例2.3已知计算113120.090,0.170,0.250.xxxqqq111230.0900.1700.250 xxxqqq12xxqq解解2.31123230.1700.025xxxxxqppqq121112120.6800.7700.0900.117xxxxxxxpppqpqq120.2300.1170.347xxqq例例2.4如果40岁以前死亡效力恒定为0.04，40岁之后死亡效力提高到0.06，求25岁的人在未来25年内的期望存活时间 解解2.4在常数
9、死亡力下， ，则25岁的人在未来25年内的期望存活时间为ttxpe0.04250.04 150.06(15)15251540,0.15,15tttttpppteee 02525:2525015250.040.04 150.06(15)01511.284.1315.41tttep dtdtdteee解解2.4（方法二）（方法二）25岁的人在未来25年内的期望存活时间为02525:25252525015250.040.04 150.06(15)0.04 150.06 10015150.040.040.04 150.06(15)01515250250.04 150.06(15)0.04 150.06
10、 1015252525tttttttetd pptdtdtdttdteeeeeeeeeeeee 8.23 11.280.704.137.5315.41第二章生命表函数生命表函数有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设生命表的构造生命表的构造参数寿命分布参数寿命分布有关寿命分布的参数模型有关寿命分布的参数模型 De Moivre模型(1729) Gompertze模型(1825)1( )1 , 0 xxxS xx ( )exp(1)/ln , B0,c1,0 xxxBcS xB ccx有关寿命分布的参数模型有关寿命分布的参数模型 Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)( )ex
11、p(1)/ln , B0,A-B,c1,0 xxxA BcS xAxB ccx1( )exp/(1) , 0,0,0nxnkxS xkxnknx参数模型的问题参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。第二章生命表函数生命表函数有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设参数寿命分布参数寿命分布生命表的构造生命表的构造生命表起源生命表起源生命表的定义 根据已往一定时期内各种
12、年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）生命表的构造生命表的构造原理 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号 新生生命
13、组个体数： 年龄： 极限年龄：x0l生命表的构造生命表的构造 个新生生命能生存到年龄X的期望个数： 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作0lnxdxd1nxxx nxnxxxxxxdlllqdlllqxl0( )xllS x0l生命表的构造生命表的构造 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数： 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：x ttxyxLl dyoxxyxxxTTl dyel0l0ltxLxT生命表的构造生命表的构造中位死亡率中位死亡率 所谓X岁的中位死亡率是指X岁的人平均每存活一年会发生的死亡数 平均生存年数平均生存年数 所谓X岁的平均生存
14、年数是指在年龄XX+1岁之间死亡的人，在这一年中的平均生存时间 xxxdmL1( )xxxLla xd生命表实例（美国全体人口生命表）生命表实例（美国全体人口生命表）x x t txqtxdtxLxTxexl例例2. 5已知 计算下面各值：（1）（2）20岁的人在5055岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。10000(1)100 xxl 30203030303010,dpqq解解2.5503030312030303060404130303010303050552030 520010000001.100 5 / 7 3 / 7 1/ 702. 1/163. (1)50100ldllplllllq
15、qllllqlTxdxle例例2.6已知假设死亡在年内均匀发生，求：（1）这群老人在70岁时的期望剩余寿命；（2）这群老人在71岁时的中位死亡率；（3）这群老人在72岁时的平均生存时间。xl解解2.670717273707071117171007171711000800400100(1)2.31000(2)800(1)400800(1)400600400260031(3)(72)2ttllllellttLldtttdtdmLa选择选择-终极生命表终极生命表选择-终极生命表构造的原因 需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。 需要构造终极生命表的原
16、因：选择效力会随时间而逐渐消失选择-终极生命表的使用选择选择-终极表实例终极表实例 xq5xq1xq2xq3xq4xq5x例例2.7假定有两位老人今年都是65岁。甲老人是今年刚刚体检合格购买的保险，乙老人是10年前购买的保险，至今仍在保障范围内。使用上面给出的选择终极生命表估计两位老人分别能活到73岁的概率。 甲老人的生命表轨迹甲老人的生命表轨迹甲老人由于刚进入保障范围，所以前5年使用死亡率相对较小的选择生命表，五年选择期满回归到终极生命表。 xq5xq1 xq2xq3 xq4 xq5x乙老人的生命表轨迹乙老人的生命表轨迹 xq5xq1 xq2xq3 xq4 xq5x解解2.7则甲老人能活到7
17、3岁的概率为 则乙老人能活到73岁的概率为 8656566676869707172(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)0.575403pqqqqqqqq8656566676869707172(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)0.52941pqqqqqqqq第二章生命表函数生命表函数生命表的构造生命表的构造参数寿命分布参数寿命分布有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设 使用背景: 生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数年龄的生
18、存状况基本原理:插值法常用方法 均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值)三种假定三种假定均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)()(1) ( )(1) , 01S xtt S xtS xt (1)()( )(1) , 01ttS xtS xS xt 11 , 01()( )(1) tttS xtS xS x 分数期死亡均匀分布的生存函数图示分数期死亡均匀分布的生存函数图示三种假定下生存函数比较图示三种假定下生存函数比较图示 三种假定下的生命表函数三种假定下的生命表函数xtqxtptxyq) (tfTxtq
19、ute1xtq1ute1(1)xxpt qxxtqyq11(1)xxyqyt qxqueut21(1)xxxpqt qute1txxxtqq11(1)xxqt q1 (1)xxt qtq例例2.8已知 分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：10000(1)100 xxl 0.5305.255030.5(1)(2)(3)qq解解2.8（1）30313030300.530300.50.530300.5303030169707010.5 1406911700.510.5139uullqeplq UDDqq CFeqq Balduccipq 解解2.8（2）5.25505505500.2555550
20、550555.25500.255.25505.2550 1 0.1 0.9 451 0.1 0.9 0.250.10545440.1 0.9 (1)0.1050422450.250.1 0.90.1050847440.25qqpqqpqq UDDq CFq Balducci解解2.8（3）3030.53030.5303030.5303011 0.569.569ln()ln()701 0.569.5qUDDqCFpqBalduccipq 本章重点本章重点生命表函数 生存函数 剩余寿命 死亡效力生命表的构造 有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表有关分数年龄的三种假定
