1、常系数线性方程组常系数线性方程组( ),dxAxf tdt,( )An nf tatb 这里系数矩阵 为常数矩阵在上连续的向量函数;一阶常系数线性微分方程组:( )0,f t 若则对应齐线性微分方程组为,(5.33)dxAxdt本节主要讨论(5.33)的基解矩阵的求法.常系数线性方程组定义定义,expAn nA设 为常数矩阵 则定义矩阵指数为下列矩阵级数的和20exp(5.34)!2!kmkAAAAEAkm0,0! 1.mEAAmAE其中 为单位矩阵为 的 次幂注注1: 矩阵级数(5.34)是收敛的.由于,!kkAAkk而数项级数1!kkAk收敛 .常系数线性方程组注注2: 级数在t的任何有限
2、区间上是一致收敛的.由于,!kkk kAcA ttckk而数项级数1!kkkAck收敛 .220exp!2!kmkmkAAAAttEAtttkm常系数线性方程组(1),.A BABABBAee e若则1(2),(exp)AA对任何矩阵存在,且1(exp)exp(- ).AA=由于由于:0()exp()!kkABABk0k0;!()!lk lklA Bl kl00expexp!ijijABABij=00;!()!lk lkklA Bl kl 绝对收敛级数的乘法定理由于由于:expexp(- )AAexp(- )AAexp0.E常系数线性方程组(3),T若 是非奇异的 则)(exp) .ATA T
3、-1-1exp(TT由于由于:)AT -1exp(T10()!kkTATkE11()!kkTATkE11!kkTA Tk1T T11()!kkATTk11()!kkATETk(exp) .A T-1T常系数线性方程组(1)定理定理9矩阵( )exptAt是(5.33)的基解矩阵,且(0).E证明证明:0,exptAt当时由定义知(0);E又因为( )(exp)tAt23211!2!(1)!mmAAAAtttmAA( )exptAt故是基解矩阵22()2!mmAAEAtttmexp At( ),tA常系数线性方程组例例1如果A是一个对角矩阵12naaAa.xAx试求出的基解矩阵解解由(5.34)
4、得exp AtE121!naata2122222!naata常系数线性方程组12!mmmmnaatma12na ta ta teee例例221.02xx试求出的基解矩阵解解因为2102A20010200而后面两个矩阵是可交换的常系数线性方程组202 ,02E20100,0000故exp At20exp()02t01exp()00t2200ttee22010100002!tEt2200ttee101t21.01tte常系数线性方程组对n阶矩阵A设1ATJT,.TJJordan其中 为非奇异矩阵为矩阵则1.AtJteT e T其中12,kJJJJ12,kJ tJ tJtJ teeee注注1:111
5、.AtJtJte TT eT e由知,也是基解矩阵常系数线性方程组类似第四章4.2.2,寻求,(5.33)xAx形如( ),0,(5.43)tte c c,.c的解 其中常数 和向量 是待定的将(5.43)代入(5.33)得,tte cAe c0,te因上式变为()0,(5.44)EA c常系数线性方程组方程(5.44)有非零解的充要条件是:det()0,EA结论结论(5.33)( )tte c微分方程组有非零解的充要条件是,.Ac是矩阵 的特征根 是与 对应的特征向量( )(5.33)ttec为解()0EA c 有非零解即例例335.53试求矩阵A=特征值和特征向量解解A的特征值就是特征方程
6、35det()53EA26340的根,1235 ,35 .ii,(5.33)xAx()0,(5.44)EA c常系数线性方程组11235( ,)Tiuu u对特征根的特征向量满足()EA u1255055uiui解得1,0.ui 21235( ,)Tiv v对特征根的特征向量v满足()EA u1255055vivi解得,0.1iv 常系数线性方程组3553xx微分方程组的解为(3 5 )11,i txei (3 5 )2;1i tixe (3 5 )11i txei 3(cos5sin5 )tetit1i 3cossinsincosttitetit3cossinttet3sincosttiet
7、故解为:31cos,sinttxet32sin.costtxet常系数线性方程组例例421.14试求矩阵A=特征值和特征向量解解特征方程为21det()14EA26903,因此为两重特征根为求其对应的特征向量考虑方程组()EA c1211011cc解得1,0,1c 3是对应于特征根的特征向量321141.1txxxe 方程组的解为常系数线性方程组(1) 矩阵A具有n个线性无关的特征向量时定理定理101212,;,(),nnv vv 如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量它们相应的特征值为不必互不相同 那么矩阵1212( ),ntttnte v e vevt 是常系数线性微分方程组,(5.33)x
8、Ax的一个基解矩阵.常系数线性方程组证明证明: 由上面讨论知,每一个向量函数,1,2,jtje vjn都是(5.33)的解,因此矩阵1212( ),ntttnte v e vev是(5.33)的解矩阵,12,nv vv由于线性无关所以12det(0)det ,nv vv0( )(5.33).t故是的基解矩阵常系数线性方程组例例535.53xx试求微分方程组的基解矩阵解解由例3知1235 ,35iiA是 的特征值,12121,1ivvi 是对应于的特征向量;由定理10,矩阵1212( ),ttte v e v(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )i ti ti ti teieiee就是
9、一个基解矩阵.常系数线性方程组注注:,( )exp.tAt一般来说不一定是exp( ) ,Att C 但由于有1(0),C 从而1exp( )(0).Att 例6 试求例5的实基解矩阵.解解由于基解矩阵为(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )( )i ti ti ti teietiee故实基解矩阵为exp At 111ii(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )i ti ti ti teieiee常系数线性方程组(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )1112i ti ti ti tieieiiee (3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5
10、 )(3 5 )(3 5 )()12()i ti ti ti ti ti ti ti teei eei eeee3cos5sin5.sin5cos5tttett求例5满足初始条件1(0)1 的解常系数线性方程组解解由于基解矩阵为exp At 3cos5sin5.sin5cos5tttett故该方程的通解为( )(exp)x tAt c从而( )(exp)tAt c由初始条件有1(0)1c 故( ) t3cos5sin51.sin5cos51tttett 3cos5sin5.sin5cos5tttett常系数线性方程组例7 求方程组5281815331610 xx 的通解.解解A系数矩阵 的特征
11、方程为2det()3 (1)0EA因此特征根为1230,1,1; 它们相的特征向量为1232231 ,1 ,0 ;121vvv 常系数线性方程组故基解矩阵为223( )1012ttttteeteee 故通解为123223( )( )1012ttttteectt ceceec 1211c2212tce330;1tce 常系数线性方程组(2) 矩阵A的特征根有重根时121212,;,;.kkkn nnnnnn 假设n n矩阵A的特征值为相应重数为且,nnU由高代知 维常数列向量所组成的 维空间 的子集|()0jnjjUuUAEu(1,2, ),jUnjk是 的 维不变子空间且12,(5.49)kU
12、UUU下面先寻求(5.33)满足初始条件 (0)= 的解,(5.33)xAx( )(exp)tAt分量是无穷级数难!分量表为t的指数函数与幂函数乘积有限项组合将 分解, (exp)At常系数线性方程组jU因子空间是方程组()0,(5.48)jnjAEu的解产生的,jv从而 一定是(5.48)的解,由此即得()0,1,2, ,(5.51)ljjjAE vlnjk由于jteexp()jtjeEtjjjttteeeE(1,2, ),jjvUjk其中12,(5.50)kvvv由(5.49)有常系数线性方程组由(5.51)有(exp)(exp)jjAt vAtvexp()jtjeEtjteexp() j
13、AE tjvjte22()()2!jjtEAE tAEjv(5.33)( )(exp),tAt故的解可表为( )(exp)tAt(exp)At1kjjv1(exp)kjjAt v12121()()()2!(1)!jjjnktnjjjjjjtteEAE tAEAEvn故(5.33)满足初始条件 (0)= 的解可写成110( )() ,(5.52)!jjniktijjjitteAEvi11()(1)!jjnnjjtAEn常系数线性方程组注注1:,Au当 只有一个特征值时 对任何都有()0,nAEu故exp At exp()AE tte10(),(5.53)!intijiteAEi注注2:(5.52
14、)exp,At为了从求注意到exp At (exp)At E 1(exp) ,(exp)nAt eAt e其中12100010,001neee 12,exp.ne eennAt是单位向量 依次令求得个线性无关的解 以这 个解为列可得到常系数线性方程组例8 试解初值问题21, (0),14xxexp.At并求解解从例4知,3A 是 的二重特征值,112,nU这时只有一个子空间122n1将及 =代入(5.52)即得3( )(3 )tteEt AE1321 11 1teEt 110( )() ,(5.52)!jjniktijjjitteAEvi常系数线性方程组1123212()()ttet利用公式(
15、5.53)即得3exp(3 )tAteEt AE3101 1011 1tet311tttett或者分别令1(1,0)TeT2,e=(0,1) ,然后代入(5.54)即得12exp(exp) ,(exp)AtAt eAt e31.1tttett常系数线性方程组例9 如果4100004100004100004100004Aexp.At试求解解5,4,nA 这里是 的五重特征值直接计算可得3(4 )0,AE因此由公式(5.53)可得exp At -4te22(4 )(4 ) 2!tEt AEAE10exp(),(5.53)!intijitAteAEi常系数线性方程组-4te0000000000000
16、000000011111t010000010000000000000000022!t0010000000000000000000000-4te2002000000000000000ttt11111常系数线性方程组例10 求方程组1123213312332,2xxxxxxxxxxx( ),exp.tAt的解并求满足初始条件123(0)=解解这里系数矩阵A3-112011-12A的特征方程为2det(-)( -1)( -2)0E A常系数线性方程组特征根为21,2;121,2;nn1分别为重特征值2,;U U1为了确定三维欧几里德空间的子空间由(5.48)我们需要考虑下面方程()0AE u和2(2
17、 )0AEu首先讨论21 1()21 1011 1AE uu这个方程组的解为10,u 为任常数常系数线性方程组11.Uu子空间是由向量 张成的子空间其次2000(2 )1100110AEuu 这个方程组的解为2,u 其中为任常数22Uu子空间是由向量张成的子空间1222,vU vUvv11下面找使,即1230 常系数线性方程组解之得110,;vv121121321故方程满足 (0)= 的解为212( )(2 )ttte EveEt AEv20111221 110tteeEt 12112132120()ttteet132121132121321常系数线性方程组exp,At为计算直接令 等于,;
18、100010001 代入上式得到三个线性无关的解,利用这三个解为列,即得22222222(1)exp-(1)-tttttttttttttt eteteAtet ee teteeee ee常系数线性方程组(3) 非齐线性方程的解下面研究非齐线性微分方程组( ),(5.60)xAxf t满足初始条件 (0)= 的解由于(5.60)对应齐次方程组xAx的基解矩阵为( )exp,tAt1( )exp(),tAt且故由常数变易公式,0t(5.60)满足 ( )= 的解为00( )exp ()exp () ( )tttA ttA tsf s ds0-110( )( )( )( )( ) ( ),(5.27
19、)tttttts f s ds 常系数线性方程组例10 设35,( )530teAf t( )xAxf t试求方程组满足初始条件0(0)1 的解.解解由例6知3cos5sin5exp,sin5cos5tttAtett故初值问题的解为常系数线性方程组3cos5sin5100( )sin5cos5011ttttett 3()0cos5()sin5()sin5()cos5()0stt ststseedststs3sin5cos5ttet340cos5 cos5sin5 sin5sin5 cos5cos5 sin5ttststseedststs4344cos546sin541.4146cos54sin
20、55ttttteette常系数线性方程组三三 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用(1)定义( ),f tn设为 维函数列向量定义其拉普拉斯变换为0 ( )( ),stL f tef t dt( ),xAxf t,( )An nf tatb 这里 为矩阵在上连续.常系数线性微分方程组:1用拉普拉斯变换解微分方程组常系数线性方程组(2)定理12( ),00,f tM如果对向量函数存在常数及使不等式( ), (5.62)tf tMe,t对所有充分大的 成立 则初值问题( ),(0);xAxf tx( )( ),( )(5.62)ttf t的解及其导数均像一样满足类似的不等式,从而它们的拉普拉斯变换
21、都存在.常系数线性方程组(3) 推论( ),00,f tM如果对数值函数存在常数及使不等式( ),tf tMe,t对所有充分大的 成立 则常系数线性微分方程的初值问题111( )nnnnnd xdxaa xf tdtdt)1(0)1()1(00)0(,)0(,)0(nnxxxxxx的解及其直到n阶导数均存在拉普拉斯变换.常系数线性方程组例11 利用拉普拉斯变换求解例10.解解将方程写成分量形式,即11235txxxe21253xxx 12(0)0,(0)11122( )( ),( )( )X sLtXsLt令1122( ),( )xtxtLaplace以代入方程组后对方程施行变换得1121(
22、)3( )5( )1sX sX sXss212( ) 15( )3( )sXsX sXs 常系数线性方程组121(3)( )5( )1sX sXss125( )(3)( )1X ssXs由此解得122221351( )446441(3)5(3)51sX ssss222221351( )464541(3)5(3)51sXssss故3411( )(4cos546sin54)41tttette3421( )(46cos54sin55)41tttette即常系数线性方程组例12 试求方程组1122122,4xxxxxx 满足初始条件112(0)1( ),( ),tt2(0)=0,的解解解1122( )
23、( ),( )( )X sLtXsLt令1122( ),( )xtxt假设满足微分方程组,对方程组取拉普拉斯变换得1112( )(0)2( )( )sX sX sXs2212( )(0)( )4( )sXsX sXs 常系数线性方程组即121(2)( )( )(0)0sX sXs122( )(4)( )(0)1X ssXs解得121( ),(3)X ss2211( )(3)(3)Xsss故31( ),ttte332( )tttete3(1)tt e常系数线性方程组例12 试求方程组1122112220,22txxxxxxxe 满足初始条件1112(0)0( ),( ).tt2(0)=3, (0
24、)=2,的解解解1122( )( ),( )( )X sLtXsLt令1122( ),( )xtxt以代入方程组后对方程施行拉普拉斯变换得21122( )322( )3( )2( )0s X sssX ssXsXs1122( )32( )( )1sX sX ssXss常系数线性方程组整理后得212(2 )( )(2)( )34ss X ssXss1231(2)( )( )1ssX ssXss解得1111( )112X ssss211( )11Xsss再取反变换得21( ),tttteee2( ).tttee常系数线性方程组2 用拉普拉斯变换求基解矩阵,(5.33)xAx对常系数齐线性微分方程组
25、( )(5.33)(0),t设是满足的解( ) ( ),X sLt令则(-)( ),(5.63)sE A X sdet(-)0,sE AGrammer当时 由法则(5.63)( ),( )X st可唯一解出从而可解出1212,( ),( ),( );( ).nne eetttt依次令即可得基本解组它们可构成基解矩阵常系数线性方程组例12 试构造方程组xAx的一个基解矩阵,其中311201 .112A解解对方程两边施行拉普拉斯变换得( )-( ),sX sAX s即(-)( ),sE A X s也即112233-31-1( )-2-1( ),-11-2( )sX ssXssXs常系数线性方程组由
26、克莱姆法则,有12312(1)( )(2)sX ss212222(21)(55)(1)( )(1)(2)ssssXsss12333( )(1)(2)(2)Xssss1,0,0,123令可得12(1)( )(2)sX ss2223( )(1)(2)sXsss1112ss211(2)(2)ss211112(2)sss31( )(1)(2)Xsss常系数线性方程组222( )(1),( )(1),( ),ttttttt ex tt ee x tee123故x从而2212(1)( )(1),tttttt ett eeee0,1,0,123其次令得2222( ),tttttteteteee0,0,1,123最后令得2232( ),ttttettee常系数线性方程组故基解矩阵123( )( ),( ),( )tttt222222222(1)(1)tttttttttttttt etetet eeeteteeeeee且(0).E常系数线性方程组 P236 2, 4(b),5(a) P236 5(c),6(a),7, P237 8, 10(a),11
