1、第十章 协方差分析生物统计附试验设计第十章第十章 协方差分析教学要求：教学要求：2、掌握单因子协方差分析的基本步骤。、掌握单因子协方差分析的基本步骤。 1、了解协方差分析的意义。、了解协方差分析的意义。第十章第十章 协方差分析协方差分析第一节第一节 协方差分析的意义协方差分析的意义 为了提高试验的精确性和准确性，对处理以外的一切条件都需要采取有效措施，使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制试验控制。一、试验控制一、试验控制第十章第十章 协方差分析协方差分析 例如：研究几种饲料对猪的增重效果，要求供试仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同，会影响猪的增重效果。例如：为了比较三种不同配合饲料的饲养
2、效果，有人将24头猪随机分成三个组，进行饲养试验，测定结果见下表： 饲料观 测 值平均A1x(始重)18 16 11 14 14 13 17 1715y(增重)85 89 65 80 78 83 91 8582A2x(始重)17 18 18 19 21 21 16 2219y(增重)95 100 94 98 104 97 90 10698A3x(始重)18 23 23 20 24 25 25 2623y(增重)91 89 98 82 100 98 102 10896三种饲料喂猪试验的始重与增重资料（单位：kg）第一节 协方差分析的意义 如果仔猪的初始重初始重(x)与增重增重(记为记为y)存在回
3、归关回归关系系，则可以应用统计学方法将仔猪增重矫正为初始重相同时的增重，在消除初始重不同对仔猪增重的影响后，再进行方差分析，这叫试验控制试验控制。二、统计控制二、统计控制第一节 协方差分析的意义 通过矫正，试验误差将减少，对试验处理的效应估计将更为准确。 在实际试验中，很难满足供试仔猪初始体重完全相同的条件。 将将回归分析回归分析与与方差分析方差分析结合起来的统计方法，结合起来的统计方法，叫作叫作协方差分析协方差分析（analysis of covariance）三、协方差分析三、协方差分析定义定义四、适用范围四、适用范围 协方差分析协方差分析适用于：两变数间存在显著的回归关系而初值不一致的资
4、料。第一节 协方差分析的意义五、协方差组分的估计五、协方差组分的估计第一节 协方差分析的意义22)()()(yyxxyyxxr分子、分母同时除以自由度（n-1），得) 1/()() 1/()() 1/()(22nyynxxnyyxxr第一节 协方差分析的意义其中，) 1/()() 1/()() 1/()(22nyynxxnyyxxr1)(2nxx1)(2nyy1)(nyyxx是x的均方的均方MSx，是x的总体方差 的无偏估计量。2x2y是y的均方的均方MSy，是y的总体方差 的无偏估计量。是x与y的离均差的乘积和乘积和，简称均积均积，记为 与均积相对应的总体参数叫协方差协方差，记为 ),(yx
5、COVxyMP均积是协方差的无偏估计量，即),(yxCOVEMPxy第一节 协方差分析的意义于是，相关系数可以表示为：) 1/()() 1/()() 1/()(22nyynxxnyyxxryxxyMSMSMPr 相应的总体相关系数可以表示为：yxxyyxyxCOV),(第一节 协方差分析的意义均积与均方具有相似的形式，也有相似的性质。 方差分析时，一个变量的总平方和与自由度可按变 异来源进行剖分，进而求得相应的均方。 同样，两个变量的总乘积和自由度也可按变异来源 进行剖分，从而获得相应的均积。 把两个变量的总乘积和与自由度按变异来把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分，并获得相应的均积
6、的方法，也称为源进行剖分，并获得相应的均积的方法，也称为协方差分析协方差分析。第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析第十章第十章 协方差分析协方差分析 设有k个处理、n次重复的双变量试验资料，每处理组内有 n 对观察值 x 、y ，则该资料为具 kn 对 x 、y 观测值的单向分组资料，其数据的一般模式如下表。第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析总变异的乘积和总变异的乘积和1 kdftknyxyxyyxxSPkinjijijkinjijijT.1111.)(1 kndfTkiixx1.kiiyy1.knxx/.knyy/.其中：第二节第
7、二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析处理间的乘积和处理间的乘积和kiiikiiitknyxyxnyyxxnSP1.1.1)(1 kdft第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析处理内的乘积和处理内的乘积和tTkikiiinjijijkinjjijiijeSPSPyxnyxyyxxSP11.111.1)(tTedfdfnkdf) 1(第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析若个处理的重复数若个处理的重复数n不相等不相等kiijikinjijijTnyxyxSP1.11kiiTndf11 kiikkktnyxnyxnyxny
8、xSP1.2. 2. 21. 1. 11kdfttTeSPSPSPtTedfdfdf第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析【例【例10.1】为了寻找哺乳仔猪食欲增进剂，以增进食欲，】为了寻找哺乳仔猪食欲增进剂，以增进食欲， 提高断奶重，对哺乳仔猪做了以下试验：试验设对照、提高断奶重，对哺乳仔猪做了以下试验：试验设对照、 配方配方1、配方、配方2、配方、配方3共共4个处理，重复个处理，重复12次，选择初始次，选择初始 条件尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪条件尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪48头，完全随机头，完全随机 分为分为4组进行试验，结果见下表，试作分析：组进行试验
9、，结果见下表，试作分析：第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析处理数k=4重复数n=12kn=412=48第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析15.6385.1365.1540.1525.18. 4. 3. 2. 1.xxxxx50.55080.13380.14410.13080.141. 4. 3. 2. 1.yyyyy第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析（一）求（一）求 x 变量的平方和与自由度变量的平方和与自由度1.总平方和与自由度总平方和与自由度75. 14815.638325.844815.631
10、0. 185. 150. 1222222.2)( ）（knxxSSijxT4711241)( kndfxT第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析2.处理间平方和与自由度处理间平方和与自由度3141)( kxtdf83. 048215.63285.13265.15240.15225.181212.12.1)(）（knxkiixnxtSS第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析3.处理内平方和与自由度处理内平方和与自由度92. 083. 075. 1)()()(xtSSxTSSxeSS44347)()()(xtxTxedfdfdf第二节第二节
11、单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析（二）求（二）求 y 变量的平方和与自由度变量的平方和与自由度1.总平方和与自由度总平方和与自由度76.964850.55031.64104850.55000.1100.1240.122222222)( ）（knyySSijyT4711241)( kndfyT第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析2.处理间平方和与自由度处理间平方和与自由度68.114850.55080.13380.14410.13080.141121122222212)(）（knyynSSkiiyt3141)( kdfyt第二节第二节 单因素试验
12、资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析3.处理内平方和与自由度处理内平方和与自由度92. 083. 075. 1)()()(ytyTyeSSSSSS44347)()()(ytyTyedfdfdf第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析（三）求（三）求 x 和和 y 两两变量的离均差变量的离均差乘积和乘积和与与自由度自由度1.总乘积和与自由度总乘积和与自由度25. 812450.55015.6350.73212450.55015.6300.1110. 100.1285. 140.1250. 1.11 knyxyxSPkinjijijT4711241),( kndfy
13、xT第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析2.处理间乘积和与自由度处理间乘积和与自由度64.112450.55015.63)80.13385.1380.14465.1510.13040.1580.14125.18(121.11knyxyxnSPkiiit3141),( kdfyxt第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析3.处理内乘积和与自由度处理内乘积和与自由度61. 664. 125. 8tTeSPSPSP44347),(),(),(yxtyxTyxedfdfdf第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析（四）对
14、（四）对 x 和和 y 作方差分析作方差分析表表10-4 初生重与初生重与50日龄重的方差分析表日龄重的方差分析表 结果表明：结果表明：4种处理的供试仔猪平均初生重间存在着极显种处理的供试仔猪平均初生重间存在着极显著的差异，其著的差异，其50日龄平均重差异不显著。须进行协方差分析，日龄平均重差异不显著。须进行协方差分析，以消除初生重不同对试验结果的影响，减小试验误差，揭示出以消除初生重不同对试验结果的影响，减小试验误差，揭示出可能被掩盖的处理间差异的显著性。可能被掩盖的处理间差异的显著性。 第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析（五）协（五）协方差分析方差分析1.
15、误差项回归关系的分析误差项回归关系的分析分析的意义：要从剔除处理间差异的影响的误差变异中分析的意义：要从剔除处理间差异的影响的误差变异中找出找出50日龄重（日龄重（y）与初生重（）与初生重（x）之间是否存在线性回）之间是否存在线性回归关系。归关系。 如果回归关系显著，则说明两者间存在回归关系。这时如果回归关系显著，则说明两者间存在回归关系。这时就可应用线性回归关系来校正就可应用线性回归关系来校正y值（值（50日龄重）以消除仔日龄重）以消除仔猪初生重（猪初生重（x）不同对它的影响。然后根据校正后的）不同对它的影响。然后根据校正后的y值值（校正（校正50日龄重）来进行方差分析。日龄重）来进行方差分
16、析。 如果线性回归关系不显著，则无需继续进行分析。如果线性回归关系不显著，则无需继续进行分析。 第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析回归分析的步骤：回归分析的步骤：（1）计算误差项回归系数、回归平方和、离回归平方和）计算误差项回归系数、回归平方和、离回归平方和 与相应的自由度与相应的自由度误差项回归系数：误差项回归系数： 误差项回归平方和与自由度误差项回归平方和与自由度 误差项离回归平方和与自由度误差项离回归平方和与自由度1848. 792. 061. 6)()(xeeeyxSSSPb49.4792. 061. 62)(2)(xeeeRSSSPSS1)(eRdf5
17、9.3749.4708.85)()()(eRyeerSSSSSS43144)()()(eRyeerdfdfdf第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析（2）检验回归关系的显著性）检验回归关系的显著性 F检验表明，误差项回归关系极显著，表明哺乳仔猪检验表明，误差项回归关系极显著，表明哺乳仔猪50日龄日龄 重与初生重间存在极显著的线性回归关系。因此，可以利重与初生重间存在极显著的线性回归关系。因此，可以利 用线性回归关系来校正用线性回归关系来校正 y ，并对校正后的，并对校正后的 y 进行方差分析。进行方差分析。 第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协
18、方差分析2. 对校正后的对校正后的50日龄重作方差分析日龄重作方差分析（1）求校正后的）求校正后的50日龄重的平方和与自由度日龄重的平方和与自由度 统计学已证明：统计学已证明：校正后的总平方和、误差平方和及自由度等于其相应变校正后的总平方和、误差平方和及自由度等于其相应变 异项的离回归平方和及自由度。异项的离回归平方和及自由度。 校正后校正后50日龄重日龄重的总平方和与自由度的总平方和与自由度85.5775.125.876.962)(2)()()(xTTyTyRyTTSSSPSSSSSSSS46147)()(yRyTTdfdfdf第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分
19、析 校正后校正后50日龄重日龄重的误差项平方和与自由度的误差项平方和与自由度59.3792.061.608.852)(2)()()(xeeyeyRyeeSSSPSSSSSSSS43144)()(Reyeedfdfdf第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析 校正后校正后50日龄重日龄重的处理间平方和与自由度的处理间平方和与自由度28.2059.3787.57eTtSSSSSS3141kdfdfdfeTt第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析（2）列出方差分析表，对校正后的）列出方差分析表，对校正后的50日龄重进行方差分析日龄重进行方差分析
20、查查F表：表：F0.05(3，43)=4.275，由于，由于F F0.05(3，43) ，表明校正后，表明校正后 的的50日龄重（不同食欲增进剂配方）间存在极显著的差异。日龄重（不同食欲增进剂配方）间存在极显著的差异。 因此须进行多重比较，进一步检验不同处理间的差异显著因此须进行多重比较，进一步检验不同处理间的差异显著 性。性。 第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析3. 根据线性回归关系计算各处理的矫正根据线性回归关系计算各处理的矫正50日龄平均重日龄平均重第二节第二节 单因素试验资料的协方差分析单因素试验资料的协方差分析 将所需要的数值代入公式，即可计算出各处理的校正将所需要的数值代入公式，即可计算出各处理的校正 50日龄平均重（见下表）。日龄平均重（见下表）。
