1、 微积分的应用微积分的应用 微积分在实际问题中应用非常广泛，本专题将用学过的高等数学知识来解决众多领域的实际问题。 雨中行走问题雨中行走问题 人们外出行走人们外出行走, ,途中遇雨途中遇雨, ,未带雨伞势必淋雨未带雨伞势必淋雨, ,自然自然就会想到就会想到, ,走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处行进只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处行进, ,雨的速雨的速度（大小和方向）已知度（大小和方向）已知, ,问行人走的速度多大才能使问行人走的速度多大才能使淋雨量淋雨量最少最少？ 参与这问题的因素：参与这问题的因素：1.1. 降雨的大
2、小；降雨的大小；2.2. 风（降雨）的方向；风（降雨）的方向；3.3. 路程的远近和人跑的快慢路程的远近和人跑的快慢分析：分析： 淋雨量在数学上如何表示？淋雨量在数学上如何表示？假设假设1.1. 人行走的路线为直线人行走的路线为直线, ,行走距离为行走距离为L L 选择适当的直角坐标系,使人行走速度为：v1=(u,0,0), 则行走的时间为 L/u. 2. 2. 雨的速度不变雨的速度不变, ,记为：v2=(vx x,vy y,vz z) 相对速度：v= v2- v1 =(vx x-u,vy y,vz z) 3. 3. 人体人体为长方体为长方体, ,其前、侧、顶的面积之比为其前、侧、顶的面积之比
3、为1:b:c1:b:c 淋雨量：淋雨量：通量！通量！单位时间内的淋雨量正比于 | vx | vy | vz | 从而总淋雨量总淋雨量正比于 R(u)=(| vx | vy | vz |)T (行走的时间为 L/u) =(| vx | +a)L/u (a=| vy |b+| vz |c 0) vx a; vx a的情形（有最小值）的情形（有最小值） 的情形（无最小值）的情形（无最小值）vx a当当 时时,u,u尽可能大时，尽可能大时，R(uR(u) )才会尽可能小才会尽可能小 avx2.2. 0 xv LuvaLavuuLuRxx其图像为右图：其图像为右图： 易易知知无最小值无最小值. . 通信
4、卫星的覆盖面积通信卫星的覆盖面积 一颗地球同步通信卫星的轨道位于地球的赤道平面内,且可以认为是圆轨道.通信卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同,即人们看到它在天空不动.若地球半径为R=6400km, 问卫星距地面的高度 h 应为多少? 试计算通信卫星的覆盖面积.建模与求解问题分析 地球同步通信卫星的轨道可以认为是圆轨道,即做匀速圆周运动 万有引力充当向心力h - 卫星距地面的高度M - 地球质量m - 卫星质量G - 万有引力常数 - 卫星运行的角速率根据牛顿第二定律29.8,6400,24 3600gR运用常数1/32236000000( ) 36000()RhgRmkm 2kmFr2kg
5、R,在地面有2RFmgr故2mvFr 卫星所受到的引力是它作匀速圆周运动的向心力，故： 卫星的覆盖面积卫星的覆盖面积SdS其中 是上半球面 被圆锥角 所限定的部分2222(0)xyzR z222221DxyDRdxdySzzdxdyRxy卫星距地面的高度为hxzRO2sinsin22220002222(1 cos )42()RRRrSdrdrRdrRrRrRhRR h2()hRh卫星覆盖面积与地球面积的比例系数 (0.425)故使用三颗通信卫星就可以覆盖几乎全部地球表面822.19 10 ()Skm利用极坐标变换得对于动态问题，通常可以与变化率、进而与微分方程联系起来。即：可以考虑建立微分方程
6、模型建立微分方程模型。1、翻译或转化翻译或转化 在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等 2、建立瞬时表达式建立瞬时表达式 根据自变量有微小改变t时，因变量的增量W，建立起在时段t上的增量表达式，令t 0，即得到 的表达式dtdw 微分方程模型的建模步骤3、配备物理单位配备物理单位 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位 4、确定条件确定条件 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分
7、方程一起列出。1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程2、模拟近似法，如： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。建立微分方程的方法 水的流出问题水的流出问题一横截面积为 A，高为 H 的水池内盛满了水，有池底一横截面积为 B 的小孔放水。设水从小孔流出的速度为v，求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间。hhhAB水
8、面1水面2问题分析 从水面1将到水面2所失去的水量等于从 小孔流出的水量建模与求解1）从水面1将到水面2所失去的体积为A h- 在时间内 ，实际损失的体积是tA h 2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为B S- 是水在 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离tS则A hB S 两端同除以 ， 并令 取极限得t0t d hd sABd td t2dsvghdt且2dhBghdtA (0)hH可得一阶方程：22BhHgtA解为下面求将水放空的时间下面求将水放空的时间 t t* *令h=0 代入上式得*2AHtBg例如, 设 A=0.54 m2, B=0.001 m2, H=4.9m, g=9
9、.8m/s2. 则将水放空的时间为*0.541540( )9(min)0.001ts 新产品销售量新产品销售量 一种耐用新产品进入市场后,一般会经过一销售量先不断增加,然后下降的过程(产品的生命周期-PLC). 有一种PLC曲线为钟型, 试建立模型分析此现象.0t销售速度 研究新产品销售量的变化规律,对于 制定生产计划以及促销策略很有意义 问题分析 当一个新产品进入市场时，有关 产品信息的传播途径如何？分析 信息传播的途径: 1) 厂家提供的广告 -消费者以外的信息 2) 一部分人购买后对产品的评价使周围人得到的信息 -消费者内部的信息 对于耐用产品,一般不会重复购买. 因此,产品的累积销售量
10、可认为是购买者人数建模与求解K - 潜在的消费者总数n(t) - t 时刻购买了该产品的人数则在 中, 购买者增量 ,t tt12nnn 来自消费者外部的产品信息导致的购买者增量 - - - - - - - 内部 - - - - - - - - - - - 因外部信息导致的购买者增量应与未购买者人数成正比1( )na Kn tt 因内部信息导致的购买者增量应与已购买人数、未购买者人数之积成正比2( )( )nbn t Kn tt则()()()()ntaK ntt bnt K ntt 两端同除以 ，并令得t0t ( )( )dnKn tabn tdt(0)0n解方程得()()1( )1abKta
11、bKten tKbKea注： 其导函数曲线即为PLC曲线， 它的图形为钟型.0t销售速度交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态：亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应状态：亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。当亮多久。交通管理中的黄灯问题交通管理中的黄灯问题黄灯的持续时间黄灯的持续时间 T 应包括应包括: 驾驶员的决定时间(反映时间) 通过十字路口的时间 停车距离的驾驶时间(2) 建模与求解T1 驾驶员的决定时间(反映时间) -可测得 T2 通过十字路口的时间T3 停车距离的驾驶时间则 T=T1+T2+T3 假设：法定的行驶速度为 v0, 十字路口的长度为 I
12、 ,典型的车身长度为 L, 则20ILTv停车过程: 牛顿第二定律2200(0 )0 ,|tdxmfm gd td xxvd t 设m为汽车质量, f 为刹车摩擦系数, x(t) 为行驶距离积分一次:0dxfgtvdt 刹车时间01vtfg再积分一次:201( )2x tfgtv t 停车距离2011( )2vx tfg则0130( )12vx tTvfg黄灯的持续时间黄灯的持续时间: 0102vILTTvfg0v0T 1.服药问题服药问题 医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量和服药的时间间隔。超剂量的药品会对身体产生严重不良后果,甚至死亡,而剂量不足,则不能达到治病的目的。已知患者服药
13、后,随时间推移,药品在体内逐渐被吸收,发生生化反应,也就是体内药品的浓度逐渐降低。药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比。 在等间隔服药 ， 一次服药量为A的情况下，试分析体内药的浓度随时间的变化规律.假设 当一次服药量为A时，体内药品的浓度瞬间增加a。记 T服药间隔 x(t) t 时刻体内药品的浓度 由药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比。再考虑到服药的脉冲性得：,.2 , 1),()(,)0(),()(nnTxanTxaxnTttkxdttdx在区间nT, (n+1)T)上求解方程得 x(t)=x(nT)e-k(t-nT) t nT, (n+1)T),n=0,1,2,在区间0
14、, T)上解为： x(t)=ae-kt t nT, (n+1)T),n=0,1,2,在区间T, 2T)上解为： x(t)= (a+e-kT)e-k(t-T)在区间2T, 3T)上解为： x(t)= (a+ae-kT +ae-2kT)e-k(t-2T) 在区间nT, (n+1)T)上解为： x(t)= (a+ae-kT +ae-2kT + ae-nkT )e-k(t-nT) =a(1- e-(n+1)kT )/ (1- e-kT ) e-k(t-nT) =a(1- e-(n+1)kT )/ (1- e-kT ) e-k(t-nT) 由此看出，药的浓度在人体中呈上升趋势，且最后稳定在一定的水平。当T=8,k=0.1, a=0.1 时，数值计算的结果如下图所示：
