1、 第五章 圆轴的扭转5.1 圆轴扭转时所受外力的分析与计算扭转的概念n工程实例当用改锥起螺钉时，在改锥柄当用改锥起螺钉时，在改锥柄处受到一个力偶处受到一个力偶m的作用，改的作用，改锥下端则受到一个由螺钉给它锥下端则受到一个由螺钉给它的等值反向力偶的作用。的等值反向力偶的作用。这两这两个力偶所在的平面均与杆的轴个力偶所在的平面均与杆的轴线垂直，线垂直，改锥的这种受力形式改锥的这种受力形式称为扭转。称为扭转。 改改 锥锥扭转的概念反应釜搅拌轴反应釜搅拌轴化工生产设备反应釜中的搅拌轴，轴的上端受到由减速机输出的转动力矩mC，下端搅拌桨上受到物料的阻力形成的阻力矩mA，当轴匀速转动时，这两个力偶矩大小
2、相等、方向相反、都作用在与轴线垂直的平面内。搅拌轴的这种受力形式也是扭转。扭转的概念n扭转的特点受力特点受力特点 在垂直杆轴的横截面上作用着大小相等、方向相反的力偶。变形特点变形特点 当构件受扭时，直杆上纵向直线变成螺旋线，各横截面绕轴线产生相对转动（错动），这种变形即被称为扭转变形。扭转角j B端面相对于A端面的转角。纵向线的倾斜角。扭转的概念n圆轴的扭转工程上，多数轴是等截面直轴。本章也只讨论圆截面直轴的扭转问题。以扭转变形为主要变形的构件通称为轴。圆轴扭转时的外力n扭转时外力偶矩的计算P、 nmAoFR95502/60kPPmnnkwr/minNm圆轴扭转时的外力n关系式的物理意义955
3、02/60kPPmnn当轴传递的功率一定时，n越大，m越小，即：转速越大，轴传递的扭转力矩越小；反之，转数越低则外力矩越大。 减速机：高速轴细轴，低速轴粗轴化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减低滚轴的转数n来增大力矩M。 圆轴扭转时的外力当轴的转速一定时，轴所传递的功率将随所受扭转力矩的增大而增大；增大机器转速，往往会使整个传动装置所传递的功率加大，并使电机过载，所以不能随意提高机器的转速；在选择减速机型号或确定电动机的额定功率时，应考虑整个操作周期中的最大阻力矩，以免烧坏电动机。95502/60kPPmnn扭转时横截面上的内力扭转时横截
4、面上的内力( (扭矩扭矩) )的计算的计算n实例：搅拌轴扭转时横截面上的内力扭转时横截面上的内力( (扭矩扭矩) )的计算的计算n扭矩的概念扭矩是伴随圆轴的扭转变形而产生的，它的作用是抵抗外力矩对该截面的破坏，因此扭矩应该与截面一侧所受的外力矩平衡。在扭转时，圆轴横截面上必有内力偶矩存在，这个内力偶矩叫做扭矩 ，用MT表示。扭转时横截面上的内力扭转时横截面上的内力( (扭矩扭矩) )的计算的计算n扭矩的计算法则TiMm扭矩的大小 等于截面一侧所有外力偶矩的代数和。扭矩正、负的规定：按右手螺旋法则，大拇指的指向与截面的外法线方向一致为正；反之为负。扭转时横截面上的内力扭转时横截面上的内力( (扭
5、矩扭矩) )的计算的计算用右手的四指沿着外力偶矩的旋转方向弯曲，如果大拇指的指向背离所讨论的截面，则认为该外力偶在该截面上所引起的扭矩为正，反之取负。TiMm例题分析例题例题1：如如图所示的传动轴，转速为n200rmin，由主动轮A输入功率PA=15kW，由从动轮B和C输出的功率分别为PB=9kW和PC=6kW。试求1-1截面和2-2截面的扭矩。例题分析解：解：首先求外力偶矩的大小：mA =9550 PA/n =9550(15/200)= 716 NmmB =9550 PB/n =9550(9/200)= 430 NmmC =9550 PC/n =9550(6/200)= 287 Nm2-2
6、截面 MT2 =mC =287 Nm 1-1 截面 MT1 =mBmC =716 Nm+287 Nm716 NmxMT扭矩图扭矩图例题分析2-2 截面 MT2 =mC =287 Nm 1-1 截面 MT1 =mB=430Nm-+287 Nm430 NmxMT扭矩图扭矩图结论：结论：当一根轴上作用有多个阻力偶矩时，驱动力偶矩施加的位置以及各阻力偶矩的位置安排，均会影响轴的最大扭矩。5.3 圆轴在外力偶作用下的变形与内力角应变m x ()tgx 很小衡量剪切变形程度的角，称为角应变xyzxyz两截面间的相对错动量剪切虎克定理试验证明：在纯剪切应力状态下，当剪应力不超过材料的剪切比例极限P时， 与之
7、间成正比关系，即：=G，此为剪切虎克定律剪切虎克定律。G材料的剪切弹性模量（MPa)反映材料抵抗剪切变形的能力。例如：钢的G=8104MPa三个有关材料弹性的常数：E、G，对于各向同性材料：2(1)EGoP变形分析n实验现象变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变；只是n-n、m-m都绕各自形心产生了相对转动。表面上纵向线变形后仍为直线，只是都倾斜了同一角度 ，原来的矩形变成平行四边形。变形分析各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正
8、应力产生； 圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力； 变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。 n推理结果剪应变在横截面上的分布规律ddxj 表示圆轴在n-n截面处的扭转变形程度ccR dj ccR ddxdxjb点的角应变：c cddxdxj结论：结论：横截面上各点的剪应变（角应变）与该点到圆心的距离成正比，即剪应变随半径按线性规律变化。剪应力的分布当剪应力不超过材料剪切比例极限时，由剪切虎克定律=G 得横截面剪应力分布规律：dGd
9、xj结论：结论：剪应力沿横截面的半径方向按线性规律分布；同一半径的圆周上各点处的剪应力 相同，且 的方向垂直于半径；maxdG Rdxj截面中心处 ，边缘处 最大剪应力的分布maxR剪应力的计算（静力平衡关系）dGdxj轴的转速n和功率P外力偶矩m截面上的扭矩M Tddxj ?剪应力的计算（静力平衡关系） 横截面上的扭矩横截面上的扭矩M T与与 的关系的关系o maxM TdA dATAMdA 横截面上的扭矩横截面上的扭矩M T与与 的关系的关系ddxjTAMdA dGdxj22TAAddMGdAGdAdxdxjjI剪应力的计算（静力平衡关系）TTdMG IdxMddxG Ijj极惯性矩，与截
10、面尺寸有关的几何量单位：m4或mm4 扭转剪应力的计算式扭转剪应力的计算式TTMMdGGdxG IIj横截面上距轴心为处的扭转剪应力 为：剪应力的计算（静力平衡关系）最大扭转剪应力 max 出现在圆轴横截面的外圆周上，其值为：maxTTMRMIIRWmaxTMW抗扭截面模量，与截面尺寸有关的几何量单位：m3或mm3极惯性矩I和抗扭截面模量W的计算极惯性矩I与抗扭截面模量W是与截面尺寸和形状有关的几何量，可以按下述方法计算。 oRdD 实心圆轴 如图，可以取一圆环形的微面积dA，则dA=2d，因此 2204/2334002220.132RARDIdAdDddD 330.2/216IIDWDRD极
11、惯性矩I和抗扭截面模量W的计算外径为外径为D D，内径为，内径为d d的空心圆轴的空心圆轴4444443434()(1)0.1(1)3232(1)0.2(1)16DIDdDDWDdD例题分析例例1.设搅拌轴的转速为n50r/min，搅拌功率为P=2kW，搅拌轴的直径d=40mm，求轴内的最大应力。 解：轴的外力偶矩为抗扭截面模量为杆在扭转时的最大剪应力为 29550955038250PmN mn333330.20.2 4012.8 1016dWdmmmax3932829.8412.8 1010TMMPaW例题分析例例2. 有一实心圆轴，直径为d=81mm；另一空心轴的内径为d=62mm，外径为
12、D=102mm，这两根轴的截面积相同，等于51.5cm2。试比较这两根轴的抗扭截面模量。 解:实心轴333381104.3 101616dWmm空心轴33443310262(1)1 () 183.3 101616102DWmm结论结论: :在材料相同、截面积相等的情况下，空心轴比实心轴的抗扭能力强，能够承受较大的外力矩。在相同的外力矩情况下，选用空心轴要比实心轴省材料。扭转角的计算()TlPMldradGIjj轴受扭转作用时所产生的变形，是用两横截面之间的相对扭转角j表示的，如图： 若在长为l的一段圆轴内，各横截面上的扭矩相同，则这段轴两端的相对扭转角为：圆轴的抗扭刚度，反映圆轴抵抗扭转变形的
13、能力扭转角的计算为了便于比较，工程上一般都用单位轴长上的扭转角q表示扭转变形的大小： (/)TPMrad mlGIjqNmm4Pa180( /)TPMmGIq工程实际中规定的许用扭转角q是以/m为单位的，因此可将扭转角改为: 5.4 圆轴扭转的强度条件与刚度条件圆轴扭转时的强度条件为保证轴正常安全工作,必须使轴的危险截面上的最大剪应力不超过材料的扭转许用剪应力，即轴扭转的强度条件为： max TMW在确定轴的危险截面时，既要考虑扭矩的大小，也要注意轴的薄弱截面。圆轴扭转时的强度条件扭转许用剪应力，其确定方法：）根据扭转试验得到： s（塑性材料），b（脆性材料），除以适当的安全系数： sbsbo
14、rnn）在静载荷作用下： 与之间的关系：: (0.5 0.6) : (0.8 1.0) 塑性材料脆性材料）对传动轴，承受动载荷，发生弯曲和扭转的组合变形，因此许用剪应力应低于静载荷下的，具体根据有关规定选取。圆轴扭转时的刚度条件圆轴受扭转时，除了考虑强度条件外，有时还要满足刚度条件。例如机床的主轴，若扭转变形太大，就会引起剧烈的振动，影响加工工件的质量。因此还需对轴的扭转变形有所限制。180 TPMGIqq q的规定：精密机械的轴q(0.150.5)/m 一般传动轴q(0.51.0)/m 较低精度的轴q(24)/m圆轴强度和刚度条件的应用max TMW180 TPMGIqq校核轴的强度、刚度。
15、（已知载荷和轴的尺寸）设计轴的尺寸大小。（已知载荷）计算许可载荷。（已知轴尺寸）一般按 计算d，用校核刚度条件。 TMW ljq一般按 计算载荷，用校核刚度条件。max TMW ljq例题分析例例3. 某搅拌反应器的搅拌轴传递的功率P=5kW，空心圆轴的材料为45号钢，a=d/D=0.8，转速n60r/min，=40MPa，q=0.5/m，G=8.1104MPa，试计算轴的内、外径尺寸d与D各为多少?解：解：（1）计算外力矩59550955079660PmN mn轴的横截面上的扭矩796TMmN m例题分析（）由强度条件max TMW343430.2(1)0.2(1 0.8 )0.118WDD
16、D3679655.250.118 40 10Dmm得：（3）由刚度条件410796 18055.598.1 100.059Dmm得：180 TPMG Iqq4440.1(1)0.059IDD例题分析故选D =56mm，d=0.8D=44.8mm。如用无缝钢管作轴，则按管径规格，可选D=60mm，d=46mm，即用f607的无缝钢管。材料力学部分小结材料力学的主要任务是解决构件的强度、刚度和稳定问题。通过计算，合理的选择材料以及截面的形状和尺寸，保证构件的安全和经济。基本变形小结 对一个实际的受力杆件，先要进行受力分析：根据外力的特点，判断它产生哪种基本变形。五种基本变形又可归纳为两类：拉压弯曲
17、是尺寸变化的线应变；剪切和扭转是形状变化的角应变。 材料力学部分小结 通常根据已知的载荷求得支座反力后，才能用截面法求得杆件横截面上的内力；轴力沿杆轴线方向、剪力垂直于杆轴线、扭矩作用面垂直于轴线、弯矩作用在轴线平面内。 通过观察实验现象，作出杆件横截面的平面假设，找到变形规律后，结合虎克定律，确定横截面上应力的分布规律。有均匀分布和线性分布两种。 材料力学部分小结 强度计算强度计算是材料力学的主要问题之一，应用强度条件可以解决杆件的三类强度问题，校核强度、设计截面、确定许可载荷。强度条件可归纳为：危险截面上最大内力最大工作应力许用应力相应的截面几何性质解决杆件扭转或弯曲强度问题时，必须先求出
18、各截面的扭矩值和弯矩值，以确定危险截面及其最大扭矩或最大弯矩。计算铆钉类的剪切强度问题时，注意区别单剪和双剪。 材料力学部分小结 截面几何量截面几何量 杆件在拉压和剪切时，截面对强度和刚度的影响是以面积A来反映的；杆件在弯曲和扭转时，截面对强度和刚度的影响则是以抗弯截面模量Wz、抗扭截面模量W、轴惯性矩Jz、极惯性矩J来反映的。这些都是截面的几何量的性质，决定于截面的形状、尺寸和中性轴的位置。空心轴比实心轴经济合理；工字钢截面比矩形截面经济合理；直立的矩形截面比正方形截面经济合理；正方形截面比横放的矩形截面经济合理。 材料力学部分小结 许用应力许用应力是杆件安全工作应力的最大值。它等于极限应力除以安全系数。在静应力时，取强度极限或屈服极限为极限应力；塑性材料的许用拉应力与许用压应力相等；脆性材料的许用拉应力远远低于许用压应力。 虎克定律虎克定律是材料力学基础，它表示材料受载时应力与应变成正比的关系。应该注意它的适用范围是应力未超过弹性极限。 材料力学部分小结 材料试验材料试验 是材料力学中的重要组成部分，通过试验可以验证理论和测定材料的机械性能。材料的机械性能有强度、塑性、弹性、硬度和冲击韧性等。 刚度条件刚度条件 刚度条件归纳为：( )()()llfEGjqZ载荷(P、q、M) 长度变形、 、 、常数弹性模量 、截面几何性质(A、I、I ）
