1、一、导数的概念一般认为一般认为, 求变速运动的瞬时速度，求已知曲线求变速运动的瞬时速度，求已知曲线 别在研究瞬时速度和曲线的别在研究瞬时速度和曲线的牛顿牛顿 ( 16421727, 英国英国 ) 两个关于导数的经典例子两个关于导数的经典例子. .切线时发现导数的切线时发现导数的. . 下面是下面是微分学产生的三个源头微分学产生的三个源头. 牛顿和莱布尼茨就是分牛顿和莱布尼茨就是分上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是1. 瞬时速度瞬时速度 设一质点作直线运动设一质点作直线运动, 质点的位置质点的位置 s 是是 .00tttstsv 当当 t 越来越
2、接近越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近时，平均速度就越来越接近 t0时间时间 t 的函数的函数, 即其运动规律是即其运动规律是 则在某则在某, )(tss vtttststt 000lim(1)时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度. 严格地说严格地说, 当极限当极限时刻时刻 t0 及邻近时刻及邻近时刻 t 之间的平均速度是之间的平均速度是2. 切线的斜率切线的斜率 如图所示如图所示, .)()(00_xxxfxfk 存在时存在时, 这个极限就是质点在这个极限就是质点在 t0 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.其上一点其上一点 P( x0, y0 ) 处处的切线的切线点击上图动画演示点击上图动画演示
3、点点 Q , 作曲线的割线作曲线的割线 PQ ，这，这PT. 为此我们在为此我们在 P 的邻近取一的邻近取一需要需要寻找曲线寻找曲线 y = f (x) 在在 条割线的斜率为条割线的斜率为QT 0 xxOxyP ( )yf x 答答: : 它就是曲线在点它就是曲线在点 P 的切线的切线 PT 的斜率的斜率.的极限若存在，则这个极限的极限若存在，则这个极限会是什么呢？会是什么呢？设想一下设想一下, ,当动点当动点 Q 沿此曲线无限接近点沿此曲线无限接近点 P 时，时，k00)()(lim0 xxxfxfkxx (2)上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结
4、为同x0 处关于处关于 x 的瞬时变化率的瞬时变化率(或简称变化率或简称变化率).均变化率，增量比的极限均变化率，增量比的极限 (如果存在如果存在) 称为称为 f 在点在点的极限的极限. 这个增量比称为函数这个增量比称为函数 f 关于自变量的平关于自变量的平 D D y = = f (x) f (x0) 与自变量增量与自变量增量 D D x = = x xo 之比之比一类型的数学问题：一类型的数学问题： 求函数求函数 f 在点在点 x0 处处的增量的增量定义定义1 设函数设函数 y = =f (x) 在点在点 x0 的某邻域内的某邻域内有定有定义，如果极限义，如果极限000( )()lim(3
5、)xxf xf xxx 存在存在, , 则称函数则称函数 f 在点在点 x0 可导可导, , 该极限称为该极限称为 f 在在如果令如果令 D Dx = = x x0, D Dy = = f (x0 +D Dx) f (x0), 导数导数就就00000()()()limlim.(4)xxf xxf xyfxxxDDDDD DD DDDDD x0 的的导数导数，记作，记作. )(0 xf 可以写成可以写成二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyxDDD0lim)()(0 xfxfyD0 xxxD存在,)(xf并称此极限为)(x
6、fy 记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyxDDD0limxxfxxfxDDD)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导可导, 在点0 x的导数导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)(2lim4)2(lim)2()2(lim)2( .2)(202002DDDDDDDDDDxxxxxxfxffxxxfxxx的导数在求这说明导数是函数增量这说明导数是函数增量 D D y 与自变量增量与自变量增量 D D x之之比比的极限的极限, ,即即就是就是 f (x) 关于
7、关于 x 在在 x0 处的变化处的变化)(0 xf 点点 x0 不可导不可导.率率. 如果如果 (3) 或或 (4) 式的极限不存在式的极限不存在, 则称则称 在在( )f x在点0 x的某个右右 邻域内五、五、 单侧导数单侧导数)(xfy 若极限xxfxxfxyxxDDDDDD)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfxDDD)()(lim000(左)(左左)0(D x)0(D x)(0 xf0 xxyoxy 定义定义2 . 设函数有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 函数在点0 x)(
8、xfy ,)()(00存在与xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写为可导的充分必要条件是机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 证明函数证明函数 f (x) = | x | 在在 x = 0 处不可导处不可导. .证证 因为因为1,0,( )(0)01,0,xf xfxx 时它的极限不存在时它的极限不存在, , 所以所以 f (x) 在在 x = 0当当0 x处不可处不可导导. .例例4 证明函数证明函数1sin,0( )0,0 xxxf xx 在在 x = 0 处不可导处不可导.( )(0)1sin0f xfxx 不存在极限不存在极限, ,所
9、以所以 f 在在 x = 0 处不可导处不可导.证证 因为当因为当 时时,0 x.)(lim,00不存在xDRxxx.0)(. 0)(lim0)0()(lim)( .0),(002处不可导在但可导处是否可导判别xxxDyxxDxfxfxfxxDxyxx QxQxxD,0,1)(处可导在点xxf)(四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyxDDD存在 , 因此必有,)(DDxfxy其中0lim0Dx故xxxfyDDD)(0Dx0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .注意注意: 函数
10、在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 处连续 , 但不可导.即机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理5.1 如果函数如果函数 f 在点在点 x0 可导可导, , 则则 f 在点在点 x0连续连续. . 值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可其中其中 D(x) 是熟知的狄利克雷函数是熟知的狄利克雷函数.例例5 证明函数证明函数 仅在仅在 x 0 处可导处可导, , 2( )( )f xx D x 处连续，却不可导处连续，却不可导. 导的必要条件导的必要条件. 如例如例3、例、例4 中的函数均在中的函数均
11、在 x = 0不连续不连续, 由定理由定理 5.1, f (x) 在点在点 x0 不可导不可导.0)(lim0)0()(lim)0(00 xxDxfxffxx由于导数是一种极限由于导数是一种极限, 因此如同左、右极限那样因此如同左、右极限那样, 所以有所以有当当 x0 = 0 时时, , 因为因为，1)( xD证证 当时当时, ,用归结原理容易用归结原理容易证明证明 f (x) 在点在点 x0 00 x可以定义左、右导数可以定义左、右导数 ( 单侧导数单侧导数 ).二、导函数如果函数如果函数 f 在区间在区间 I 上的每一点都可导上的每一点都可导 (对于区间对于区间0()( )( )lim,.
12、xf xxf xfxxIxD DD DD D (7).dd)(xyxf或或 即即导函数，简称导数导函数，简称导数, 记作记作定义了一个在区间定义了一个在区间 I 上的函数，称为上的函数，称为 f 在在 I 上的上的则称则称 f 为区间为区间 I 上的可导函数上的可导函数. 此时此时, 对对 I 上的任上的任端点考虑相应的单侧导数端点考虑相应的单侧导数, 如左端点考虑右导数如左端点考虑右导数) ,仅为一个记号，学了微分之后就会知仅为一个记号，学了微分之后就会知注注 这里这里xydd意一点意一点 x 都有都有 f 的一个导数的一个导数 与之对应与之对应, 这就这就()0fx .dd,d)(d000
13、 xxxxxxxyyxxf 三、三、 导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求函数Cxf)(C 为
14、常数) 的导数. 解解:yxCCxDD0lim0即0)(C例例2. 求函数)N()(nxxfn.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxfDD)()(0limDx机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）机动 目录 上页 下页 返回 结束 hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函数xxfsin)(的导数. 解解:,xhD
15、令则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cosh机动 目录 上页 下页 返回 结束 xay 因此因此axaaaaxxxxln1elimln)(ln0D D D DD D.lnaax 特别有特别有.eelne)e (xxx ,ln1elnlnaxaaaxxD D D DxaaxaaxxxxxD D D D D DD D 1xaaxxD D D D1eln略xyalogDDDDDDDDDDDD0cos01)( 100lim)()0(lim10)0sin(lim)()0(lim,0; 1)( , 0;cos)( , 00,0,sin)(0000 xxxxfxxxxfxffxxxxfxffxxfxxxfxxxxxxfxxxx时导函数计算
