1、材料力学材料力学（）单辉祖单辉祖 编著编著第第 7 章章 应力、应变状态分析应力、应变状态分析 本章主要研究：本章主要研究： 应力状态分析基本理论应力状态分析基本理论 应变状态分析基本理论应变状态分析基本理论 应力应变一般关系应力应变一般关系 应变能分析计算应变能分析计算第第 7 章章 应力、应变状态分析应力、应变状态分析 1 引言引言 2 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 3 应力圆应力圆4 平面应力状态的极值应力与主应力平面应力状态的极值应力与主应力5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力6 平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析 7 各向同性材料的应力应变关系各向同性材
2、料的应力应变关系 8 复杂应力状态下的应变能复杂应力状态下的应变能 9 复合材料的应力应变关系简介复合材料的应力应变关系简介1 引言引言 实例实例 应力与应变状态应力与应变状态 平面与空间应力状态平面与空间应力状态 实例实例微体微体A微体微体abcd微体微体A 应力与应变状态应力与应变状态通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态该点处的应力状态 应力状态应力状态应变状态应变状态构件内一点在各个不同方位的的应变状况，称为该构件内一点在各个不同方位的的应变状况，称为该点处的应变状态点处的应变状态研究方法研究方法环绕研究点切取微体，因微
3、体边长趋于零，微体趋环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态力与应变状态研究目的研究目的研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础 平面与空间应力状态平面与空间应力状态仅在微体四侧面作用应力，且仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不应力作用线均平行于微体的不受力表面受力表面平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态的一般形式的一般形式微体各
4、侧面均作用有微体各侧面均作用有应力应力空间应力状态空间应力状态空间应力状态一般形式空间应力状态一般形式2 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 斜截面应力分析斜截面应力分析 例题例题 斜截面应力分析斜截面应力分析问题：问题：试建立试建立 s sa a, , t ta a 与与 s sx, , t tx, s sy, , t ty 间的关系间的关系问题问题符号规定：符号规定： 方位用方位用 a a 以以 x 轴为始边、轴为始边、 者为正者为正 切应力切应力 t t 以企图使微体沿以企图使微体沿 旋转者为正旋转者为正方位用方位用 a a 表示；表示；应力为应力为 s sa a, , t ta
5、a斜截面：斜截面：/ z 轴；轴；0)sinsind(-)cossind( )coscosd(-)sincosd(d 0n a aa as sa aa at ta aa as sa aa at ts sa aAAAAAFyyxx， 0)cossind()sinsind( )sincosd(-)coscosd(d 0t a aa as sa aa at ta aa as sa aa at tt ta aAAAAAFyyxx，a aa at tt ta as sa as ss sa acos)sin(sincos22yxyx a at ta at ta aa as ss st ta a22sinc
6、oscos)sin(yxyx 斜截面应力公式斜截面应力公式a aa at tt ta as sa as ss sa acos)sin(sincos22yxyx a at ta at ta aa as ss st ta a22sincoscos)sin(yxyx 由于由于t tx 与与 t tx 数值相等数值相等,并利用三角函数的变换关系并利用三角函数的变换关系,得得a at ta as ss ss ss ss sa asin2cos222xyxyx a at ta as ss st ta acos2sin22xyx 上述关系式是建立在静力学基础上，因而所得结上述关系式是建立在静力学基础上，因而
7、所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题性、非线弹性与非弹性问题 例题例题例例 2-1 试计算截面试计算截面 m-m 上的应力上的应力解：解：MPa 100 xs sMPa 50 ys sMPa 60 xt t30 a aMPa -114.5)0MPa)sin(-6 (-60 )cos(-602MPa )50(-1002MPa )50(-100 ms sMPa 35.0)60MPa)cos( 60()60sin(2MPa )50100( mt ta at ta as ss ss ss ss sa asin2cos
8、222xyxyx a at ta as ss st ta acos2sin22xyx 3 应力圆应力圆 应力圆应力圆 应力圆的绘制与应用应力圆的绘制与应用 例题例题 应力圆应力圆a at ta as ss ss ss ss sa asin2cos222xyxyx a at ta as ss st ta acos2sin22xyx a at ta as ss ss ss ss sa asin2cos222xyxyx a at ta as ss st ta acos2sin220 xyx 2222202xyxyxt ts ss st ts ss ss sa aa a 2yxCs ss ss s 2
9、22xyxRt ts ss s 应力圆应力圆 应力圆的绘制与应用应力圆的绘制与应用绘制应力圆绘制应力圆2yxCs ss ss s 圆心横坐标圆心横坐标图解法求斜截面应力图解法求斜截面应力)2cos(2 0a aa as s CDOCHa aa aa aa as ssin2sin2 cos2cos2 00CDCDOCH a at ta as ss ss ss ss ssin2cos2 22xyxyxH a as s a at ta as ss ss ss ss sa asin2cos222xyxyx a at tt t H同理可证：同理可证：点、面对应关系点、面对应关系 转向相同，转角加倍转向相
10、同，转角加倍 互垂截面，对应同一直径两端互垂截面，对应同一直径两端 例题例题例例 3-1 利用应力圆求截面利用应力圆求截面 m-m 上的应力上的应力解：解：MPa 115 ms sMPa 35 mt t4 平面应力状态的极值应力与主应力平面应力状态的极值应力与主应力 平面应力状态的极值应力平面应力状态的极值应力 主平面与主平面与主应力主应力 纯剪切应力与扭转破坏纯剪切应力与扭转破坏 例题例题 平面应力状态的极值应力平面应力状态的极值应力2minmax2xyxt ts ss st tt t 2minmax22xyxyxt ts ss ss ss ss ss s yxxs ss st ta a 2
11、tan20yxxxs ss st ts ss st ta a maxmin0tan 主平面与主应力主平面与主应力主平面主平面切应力为零的截面切应力为零的截面主应力主应力主平面上的正应力主平面上的正应力主应力符号与规定主应力符号与规定 321s ss ss s 相邻主平面相互垂直，构成一正六相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体面形微体主平面微体主平面微体（按代数值排列）（按代数值排列）s s1 1s s2 2s s3 3s s i ? ?应力状态分类应力状态分类 单向应力状态：单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态：二向应力状态：两个主应力不为零的
12、应力状态两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态三个主应力均不为零的应力状态二向与三向应力状态，统称二向与三向应力状态，统称复杂应力状态复杂应力状态 纯剪切应力与扭转破坏纯剪切应力与扭转破坏t ts ss s Cmaxt,t ts ss s Dmaxc,t tt tt t minmax0 231 s st ts ss s,纯剪切状态的最大应力纯剪切状态的最大应力圆轴扭转破坏分析圆轴扭转破坏分析 例题例题解：解：1. 解析法解析法 MPa 70 xs s MPa 50 xt t MPa 261 s s 02 s s MPa 963 s sMPa 96-
13、MPa 26 502070207022minmax s ss s56202650arctan0. a a例例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位 0 ys s2minmax22xyxyxt ts ss ss ss ss ss s yxs ss st ta a max0tan MPa 261 s s 02 s s MPa 963 s s5620. a a2. 图解法图解法5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 三向应力圆三向应力圆 最大应力最大应力 例题例题 三向应力圆三向应力圆与任一截面相对与任一截面相对应的点，或位于应的点，或位
14、于应力圆上，或位应力圆上，或位于由应力圆所构于由应力圆所构成的阴影区域内成的阴影区域内 最大应力最大应力1maxs ss s 231maxs ss st t 3mins ss s 最大切应力位于与最大切应力位于与 s s1 1 及及 s s3 3 均成均成4545 的截面的截面 例题例题例例 5-1 已知已知 s sx = 80 MPa，t tx = 35 MPa，s sy = 20 MPa，s sz = -40 MPa， 求主应力、最大正应力与最大切应力求主应力、最大正应力与最大切应力解：解： 画三向应力圆画三向应力圆MPa 1961.C s ss sMPa 1961max. s ss sM
15、Pa 0932.D s ss sMPa 403 Es ss sMPa 168231max. s ss st t6 平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析 任意方位的应变任意方位的应变 应变圆应变圆 最大应变与主应变最大应变与主应变 例题例题 任意方位的应变任意方位的应变平面应变状态特点平面应变状态特点0 yzxzz 微体内各点的位移均平行于某一平面微体内各点的位移均平行于某一平面平面应变状态任意方位应变平面应变状态任意方位应变问题：问题：已知应变已知应变 x , y与与 xy，求求 a a 方位的应变方位的应变 a a 与与 a a 使左下直角增大之使左下直角增大之 为正为正规定：规定： 方
16、位角方位角 a 以以 x 轴为始边轴为始边，为正为正分析方法要点：叠加法，切线代圆弧分析方法要点：叠加法，切线代圆弧分析分析lxxdcosda a a a lxxdsinda a a a a a 2cosx a aa a sincosx a a a a a a2sindsindyyly a aa a a a a acossindcosdyyly 2sin2dcosda a a a a axyxyly a a a a a a2sindsindxyxyly a aa aa aa a a aa a a a a a a asincossincos22xyyx a aa aa a aa a a aa a
17、 a a2sinsin)cos(xyxy a a a aa a a a290cosin)cos(sxyyx a aa aa a 90a a a a a acos22)sin(xyyx 综合综合a a a a a acos22sin222xyyx a a a a a asin22-cos222xyyxyx 上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关结论结论90 a aa a 任一方位应变：任一方位应变： 垂直方位切应变：垂直方位切应变：互垂方位的切应变数互垂方位的切应变数值相
18、等，符号相反值相等，符号相反 应变圆应变圆a a a a a asin22-cos222xyyxyx a a a a a acos22sin222xyyx 222222022 xyyxyx a aa a2222 xyyxR 最大应变与主应变最大应变与主应变 22minmax212xyyxyx 22maxxyyx minmin022tan a a xxyxxy/切应变为零方位的正应变切应变为零方位的正应变主应变主应变主应变位于互垂方位主应变位于互垂方位主应变表示：主应变表示： 1 1 2 2 3 3 例题例题例例 6-1 图示应变花，由实验测得图示应变花，由实验测得0, 45与与 90方位的应变
19、方位的应变分别为分别为 0 0 , , 45 45 与与 90 90 ，求，求 x , , y 与与 xy解：解：0sin220cos2220 xyyxyx a a a a a asin22-cos222xyyxyx 54sin2254cos22254 xyyxyx 09sin2209cos22290 xyyxyx 0sin220cos2220 xyyxyx 0 x90 y)(290054 xy7 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系 广义胡克定律广义胡克定律 主应力与主应变的关系主应力与主应变的关系 例题例题 广义胡克定律广义胡克定律Exxs s Exyss Gxxyt t
20、Eyys s Eyxss )-(1yxxEsss s )-(1xyyEsss s )(12yxxE s s )(12xyyE s s xyxyG t t 广义胡克定律（平面应力状态）广义胡克定律（平面应力状态）适用范围：各向同性材料，线弹性范围内适用范围：各向同性材料，线弹性范围内广义胡克定律（三向应力状态）广义胡克定律（三向应力状态）)(-1zyxxEs ss s s s )(-1xzyyEs ss s s s )(-1yxzzEs ss s s s 适用范围：各向同性材料，线弹性范围内适用范围：各向同性材料，线弹性范围内 主应力与主应变的关系主应力与主应变的关系 主应变与主应力的方位重合主
21、应变与主应力的方位重合 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位)(-13211s ss s s s E)(-11322s ss s s s E)(-12133s ss s s s E)(-)(113211s ss ss s s s E)(-)(113212s ss ss s s s E)(-)(113213s ss ss s s s E321 最大拉应变发生在最大拉应力方位最大拉应变发生在最大拉应力方位如果如果 s s1 1 0 0，且因，且因 1/2 1/2，则，则0)(-13211max s ss s s s E 例题例题例例 7-1
22、对于各向同性材料，试证明：对于各向同性材料，试证明：)(12 EG证：证：0 yx G/xyt t 245xy a a a a a asin22-cos222xyyxyx 根据几何关系求根据几何关系求 4545。 根据广义胡克定律求根据广义胡克定律求 4545。)-(11345sss s E 比较比较)(12 EGEt t )(1- G2t t 例例 7-2 边长为边长为a =10 mm的正方形钢块，放置在槽形刚体的正方形钢块，放置在槽形刚体内，内，F = 8 kN， 0.30.3，求钢块的主应力，求钢块的主应力 解：MPa 802 aFys s0 x yxsss s MPa 24 EEyxx
23、sss s 0 EEyxsss sMPa 80 MPa 24 0321 s ss ss s,8 复杂应力状态下的应变能复杂应力状态下的应变能 应变能密度一般表达式应变能密度一般表达式 体应变体应变 畸变能密度畸变能密度 应变能密度一般表达式应变能密度一般表达式2ddd2ddd2ddddd332211zyxyxzxzyVW s s s s s s 单位体积内的应变能单位体积内的应变能应变能密度应变能密度 33221121 s s s s s s v 1332212322212-21s ss ss ss ss ss s s ss ss s Ev zyxVddd21d332211 s s s s s
24、 s 体应变体应变zyxVdd)d)(1)(1(1d321 o321)d(1dVV 原原体体积积zyxVddddo 微体的体积变化率微体的体积变化率体应变体应变321ooddd VVVEav)21 (3s s 平均应力平均应力 31321avs ss ss ss s 32121s ss ss s E 畸变能密度畸变能密度体积改变体积改变形状不变形状不变形状改变形状改变体积不变体积不变相应的应变能密度相应的应变能密度畸变能密度畸变能密度 vd 1332212322212-21s ss ss ss ss ss s s ss ss s Ev 213232221d61s ss ss ss ss ss
25、s Ev9 复合材料应力应变关系简介复合材料应力应变关系简介 正轴应力应变关系正轴应力应变关系 偏轴力学特性偏轴力学特性 正轴应力应变关系正轴应力应变关系1111E,s s s s 111221E,s s s s 2222E,s s s s 222112E,s s s s 121212G 2221111EEs s s s 1112222EEs s s s E1纵向弹性模量纵向弹性模量 12纵向泊松比纵向泊松比E2横向弹性模量横向弹性模量 21横向泊松比横向泊松比G12纵向切变模量纵向切变模量121212 10 EE 章）：章）：可以证明（见第可以证明（见第 偏轴力学特性偏轴力学特性 拉伸与剪切之间存在耦合效应拉伸与剪切之间存在耦合效应 应力主轴与应变主轴不重合应力主轴与应变主轴不重合 弹性常数弹性常数具有方向性具有方向性)(a a s sa axxE )(a a t ta axyxyG )(a aa aE )(a aa aG 谢谢 谢谢
