1、在横截面上，法向内力元素在横截面上，法向内力元素dA合成弯矩合成弯矩M，切向内力元素切向内力元素dA合成剪力合成剪力FsdAdAMdAdAsFAd MsF第六章第六章 弯曲应力弯曲应力6-1 概概 述述CL8TU1PPsFMaalconst=0=MFs，1.纯弯曲纯弯曲：（CD段）00，MFs2.横力弯曲横力弯曲：（AC和DB段）PPCDABPPPa横截面上只有正应力横截面上只有正应力而无切应力而无切应力横截面上既有正应力横截面上既有正应力又有切应力又有切应力6-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：从三方面考虑：一、变形几何关系一、变形几何关系 用较易变形的材
2、料制成的矩形截面等直梁用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验作纯弯曲试验:变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系aabbmnmnmmmm观察到以下变形现象观察到以下变形现象:(1)aa、bb弯成弧线，弯成弧线，aa缩短，缩短，bb伸长伸长(2)mm 和和 nn 仍为直线仍为直线, 并且仍然与已经成为弧并且仍然与已经成为弧线的线的 aa和和 bb 垂直垂直, 只是相对转过了一个角度只是相对转过了一个角度梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一并仍
3、垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。轴旋转了一个角度。 再作再作单向受力假设单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。的状态。推论：推论： 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤保持原来的长度，这一纵向纤维层称为维层称为中性层中性层。 中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴中性层
4、中性层中性轴中性轴中性层中性层 ()y dddCL8TU3-2yzdxydyy一、变形几何关系：一、变形几何关系：二、物理关系二、物理关系 E Ey横截面上的正应力分布规律横截面上的正应力分布规律1 沿高度方向线性分布2 以中性轴为界，一侧为拉应力，另一侧为压应力3 中性轴上的点（y=0）正应力为零4 距离中性轴最远的点上有最大的正应力值M三三、静力学关系、静力学关系dAMzAyAdMyAzAd 0 M0ANdAFEyAAd0y AAd0=0zCSy A=中性轴过形心MzAyAd0 z EyAAd0Iyz0MyAMzAdy EyAMAd1MEIzzEI 抗弯刚度0ANdAF1MEIzM yIz
5、中性轴过截面形心中性轴过截面形心中性层的曲率公式：中性层的曲率公式：正应力计算公式：正应力计算公式： 公式适用条件：公式适用条件：1）平面弯曲）平面弯曲时的时的纯弯曲纯弯曲 （平面假设平面假设: 横截面横截面具有一根具有一根对称轴对称轴）2） p ( 材料材料服从服从胡克定律胡克定律 略去略去横向挤压应力横向挤压应力）正应力计算公式：正应力计算公式：M yIzzIMy对沿沿y方向，线性分布方向，线性分布中性轴上中性轴上0中性轴两侧中性轴两侧00离中性轴最远点离中性轴最远点maxmaxyIMzM、y绝对值代入，由变形判断绝对值代入，由变形判断 符号符号下压上拉上压下拉, 0, 0MM00m00m
6、(M0)(M0)横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力：tZM yI1yyy12max当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时：,cZM yI2tcmaxMWZmaxmaxM yIZWz 称为抗弯截面模量称为抗弯截面模量WIyzzmaxIbhZ312IdZ464IDdDZ()()444464641,WbhZ26,WdZ332WDZ34321 ()6-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 正应力强度计算正应力强度计算 上式是在上式是在和和的基础上推的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产
7、生对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。面。M yIz 弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高度5倍(即l5h)时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中。纯弯曲的正应力公式可以推广适用于：纯弯曲的正应力公式可以推广适用于：（1）小变形；）小变形；（2）材料处于比例极限范围内；）材料处于比例极限范围内；（3）纯弯曲的梁或的）纯弯曲的梁或的l5h横力平面弯曲的梁；横力平面弯曲的梁；（4）直梁或小曲率的梁（）直梁或小曲率的
8、梁（ ）5hr二、梁的正应力强度条件二、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：利用上式可以进行三方面的强度计算：已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度梁的强度已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸截面尺寸已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷maxmax MWZ例例5：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力许用应力=160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。 10kN / m2m4m100200解：由弯矩图
9、可见解：由弯矩图可见Mmax20kN m10kN / m2m4m10020045kN15kN)kN(sF202515M()kN m201125.zWMmaxmax20100102632. 30MPa 该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全例例8：图示铸铁梁，许用拉应力：图示铸铁梁，许用拉应力t =30MPa，许用压应力许用压应力c =60MPa,z=7.6310-6m4，试，试校核此梁的强度。校核此梁的强度。9kN4kNCz52881m1m1mABCDtzI2588.9kN4kNCz52881m1m1mM(kN m)25 . kN105 . kN25 .4ABCDczI2552.tzI452czI488C截面截面：B截面截面： 288 . MPa 170 . MPa 273 . MPa 461 . MPa 强度满足要求
