1、三峡大学三峡大学 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同面两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投投影用直线连接，就得到直线的同面投影影( (粗实线粗实线2b,b2b,b细线宽细线宽) )。 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 实形性实形性ab=ABab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短类似性类似性ab=Abcosab=Abc
2、osABabAMBabmaa a b b b三峡大学三峡大学 二、二、 各种位置直线的投影特性（三大类七种）各种位置直线的投影特性（三大类七种）投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线水平线（平行于面水平线（平行于面）正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线 （注意两者区别）
3、（注意两者区别）垂直于某一投影面而垂直于某一投影面而与其余两投影面平行与其余两投影面平行三峡大学三峡大学 如图如图, ,直线直线ABAB与三个投影面都倾斜。与三个投影面都倾斜。V V面投影面投影ab,Hab,H面投影面投影ab,Wab,W面投影面投影a”b”a”b”。 设直线段设直线段ABAB对对H H、V V、W W三个投影面的倾角分别为三个投影面的倾角分别为、，则，则ab=ABcos, ab=ABcos, a”b”=ABcos .ab=ABcos, ab=ABcos, a”b”=ABcos .三个投影都具有类似性三个投影都具有类似性. . 投影特征：投影特征：三斜无实长三斜无实长投影特性：
4、投影特性：1.1.三个投影长度都缩短，且与投影轴倾斜；三个投影长度都缩短，且与投影轴倾斜；2.2.其投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。其投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。VH W 1.1.一般位置直线一般位置直线b a ab ba A Baababb三峡大学三峡大学 2.2.投影面平行线投影面平行线与与H H面的倾角面的倾角: : 与与V V面的面的倾倾角角: : 与与W W面的面的倾倾角角: : H H面具有实形性面具有实形性,V,V、W W有类似性。有类似性。1.H1.H面面ab=AB,ab=AB,反映倾角反映倾角.；2.2.ab/OXab/OX,a”b”/Oy,a
5、”b”/Oyw w，长度缩，长度缩短。短。b1)1)水平线水平线(/H,(/H,直线上点的直线上点的Z Z坐标都相等坐标都相等) )实长实长b ba a a aa a b b b b =？三峡大学三峡大学 V V面具有实形性面具有实形性,H,H、W W有类似性有类似性. . 1.V1.V面面ab=AB,ab=AB,反映倾角反映倾角.；2.ab/OX,a”b”/OZ2.ab/OX,a”b”/OZ，长度缩短。，长度缩短。b b a a a ab ba a b b 2)2)正平线（正平线（/V,/V,所有点的所有点的Y Y坐标相等）坐标相等）实长实长三峡大学三峡大学 b b a aa a b b b
6、 ba a 在其平行的那个投影面上的投影在其平行的那个投影面上的投影反映实长，反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的大小。并反映直线与另两投影面倾角的大小。 另两个投影面上的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。平行于相应的投影轴。3)3)侧平线（侧平线（/W,/W,所有点所有点X X坐标坐标相等）相等）投影特性：投影特性：实长实长投影特征：投影特征：一斜两平行一斜两平行W W面具有实形性面具有实形性,H,H、V V有类似性有类似性. . 1.W1.W面面a”b”=AB,a”b”=AB,反映倾角反映倾角.；2.ab/OZ,ab/OY2.ab/OZ,ab/OYH H，长度缩短。长度缩短。三
7、峡大学三峡大学 1.ab1.ab积聚成一点；积聚成一点；2.abOX,a”b”OY2.abOX,a”b”OYw w, ,都反映都反映实长。实长。3.3.投影面垂直线投影面垂直线1)1)铅垂线（铅垂线（HH面面, ,所有点的所有点的X.YX.Y相等）相等）a a b b a(b)a(b)a a b b 问问、？三峡大学三峡大学 1. ab1. ab积聚成一点积聚成一点; ;2. abOX,a”b”OZ2. abOX,a”b”OZ, ,都反映实长。都反映实长。2)2)正垂线（正垂线（VV面面, ,所有点的所有点的X.ZX.Z相等）相等）a a ( (b b ) )a ab bb b a a 三峡大
8、学三峡大学 3)3)侧垂线（侧垂线（WW面面,Y,Y和和Z Z相等）相等） 另外两个投影另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，积聚为一点。积聚为一点。投影特性投影特性: :a a b b a ab ba a ( (b b ) )投影特征：投影特征：一点两垂直一点两垂直1.a”b”1.a”b”积聚成一点；积聚成一点；2. abOY2. abOYH H,abOZ,abOZ,都反映都反映实长。实长。三峡大学三峡大学 直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性：1. 1. 从属性从属性 若点在直线上，则点的各
9、个投影必在直线的各同面若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。直线上。ABbb aa XOcc Cc三、三、 直线与点的相对位置直线与点的相对位置2.2.定比性定比性 直线上的直线上的点点, ,分线段之比在投影中不变。分线段之比在投影中不变。 即即 A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 三峡大学三峡大学 点点C C不在直线不在直线ABAB上上例例1 1：判断点：判断点C C是否在线段是否在线段ABAB上。上。abca b
10、c c abca b 点点C C在直线在直线ABAB上上 根据点的从属性，若点的投影有根据点的从属性，若点的投影有一个不在直线的同名投影上，一个不在直线的同名投影上， 则该则该点必不在此直线上。对于一般位置直点必不在此直线上。对于一般位置直线两个投影就可以判断了。线两个投影就可以判断了。三峡大学三峡大学 例例2 2：判断点：判断点K K是否在线段是否在线段ABAB上。上。a b k 因因k k 不在不在a a b b 上，上， 故点故点K K不在不在ABAB上。上。方法二：应用定比性方法二：应用定比性abka b k 方法一：应用从属性方法一：应用从属性三峡大学三峡大学 例例3 3 已知点已知
11、点C C 在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHV应用定比性（相似应用定比性（相似）求）求三峡大学三峡大学 四、空间两直线的相对位置分为：四、空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉交叉 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性： 平行性平行性空间两直线平空间两直线平行，则其各行，则其各同面投影同面投影必相必相互平行，反之亦然。互平行，反之亦然。aVHc bcdA AB BC CD Db d a 等比性等比性空间两线段平空间两线段平行，其长度之比等于同面行，其长度之比等于同面投影长度之比。投影长度之比。 两两直
12、直线线平平行行即：即：AB/CDAB/CD，ab/cdab/cd，ab/cdab/cd，a”b”/c”d”.a”b”/c”d”.AB/CD=abAB/CD=ab/ /cd=abcd=ab/ /cd=a”b”cd=a”b”/ /c”d”c”d”三峡大学三峡大学 abcdc a b d 例例1 1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。 对于对于一般位置直线一般位置直线，只，只要有两个同面投影互相平行，要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。空间两直线就平行。AB/CDAB/CD三峡大学三峡大学 b d c a cbadd b a c 对于对于投影面平行线投影面平行线，只有两，
13、只有两个同名投影互相平行，不能判断空个同名投影互相平行，不能判断空间直线平行。间直线平行。方法方法1 1：求出侧面投影求出侧面投影ABAB与与CDCD不平行。不平行。例例2 2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。方法方法2：判断两线段是否同向且成比例。判断两线段是否同向且成比例。 方法方法3 3：判断两直线是否在同一平面。判断两直线是否在同一平面。判断四点同面即可。判断四点同面即可。三峡大学三峡大学 HVA AB BC CD DK Kabcdk ka b c k k d abcdb a c d kk 判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同面投影必相
14、交，且交点则其同面投影必相交，且交点的投影必符合点的投影特性，反之亦然。的投影必符合点的投影特性，反之亦然。（即两个垂直一（即两个垂直一个相等个相等交点的连线垂直于投影轴）。交点的连线垂直于投影轴）。 两直线相交两直线相交交点是两直线交点是两直线的共有点的共有点三峡大学三峡大学 d b a abcdc三峡大学三峡大学 cabb a c d k kd例：过例：过C C点点作水平线作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。水平线的点水平线的点Z Z坐标相等坐标相等, ,即正面投影即正面投影/OX/OX轴轴. .三峡大学三峡大学 2.作一正平线MN,使其与已知直线AB、CD和EF均相交。例：作一正平线
15、，使其与已知直线例：作一正平线，使其与已知直线ABAB、CDCD和和 EFEF均相交。均相交。123231正平线的点正平线的点Y Y坐坐标相等标相等, ,即水平即水平投影投影/OX/OX轴轴. .三峡大学三峡大学 3.作一直线L,与直线AB、GH相交,并与直线MN平行。eeff例例. . 作一直线作一直线EFEF与直线与直线ABAB、GHGH相交，并与直线相交，并与直线MNMN平行。平行。从特殊线从特殊线ABAB积聚点积聚点得得e e，作，作EF/MN.EF/MN.三峡大学三峡大学 d b a abcdc1 (2 )3(4 )投影特性：投影特性： 同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但 “交
16、点交点”不符合点的投影特性不符合点的投影特性。 所谓所谓“交点交点”是两直线上的是两直线上的一对一对重影点的投影重影点的投影。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H H面的重影点。面的重影点。3 4 两直线交叉（既不平行又不相交）两直线交叉（既不平行又不相交）12三峡大学三峡大学 例例: : 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置baacddcbX11d1c1利用利用定比性定比性判断判断CDCD上的点上的点1 1的水平投影是否在的水平投影是否在abab上。上。点点1 1不在水平投影的交点处，不在水平投影的交点处，点点1 1不是交点，所以两直线不是交点，所以两直线交叉。交叉。如果如果ABAB、
17、CDCD相交，则相交，则CDCD上的上的1 1点应是两直线的共有点，点应是两直线的共有点，即点即点1 1的水平投影应在的水平投影应在ABAB的的水平投影水平投影abab上。上。三峡大学三峡大学 1.判别直线AB和CD的相对位置（平行、相交、交叉）。平行平行交叉交叉交叉交叉相交相交kKk交叉交叉相交相交作作d=cd取取dK=dk作作KkCc本节到此三峡大学三峡大学 4 4、两直线垂直相交（或垂直交叉）、两直线垂直相交（或垂直交叉）1)1)两直线都两直线都/投影面投影面 投影反映直角。投影反映直角。3)3)其中一直线其中一直线/投影面的情况呢？投影面的情况呢？ca c b ab.b a c abc
18、a c b abc.？2)2)两直线都两直线都/投影面投影面 投影不反映直角。投影不反映直角。三峡大学三峡大学 4 4、两直线垂直相交（或垂直交叉）、两直线垂直相交（或垂直交叉）直角投影定理：直角投影定理：若直角有一边平行于投影面，则若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。它在该投影面上的投影仍为直角。已知：已知：BC/HBC/H面，则面，则BCBbBCBb， 又又BCAB BCAB 则则BCBC平面平面ABbaABba两直线在两直线在H H面上面上的投影相互垂的投影相互垂直直因此因此 bcabbcab即即abcabc为直角为直角又又BCbc BCbc 故故bcbc平面平面A
19、BbaABbaa c b abc.证明：证明：bacHV垂直交叉呢？垂直交叉呢？三峡大学三峡大学 d abca b c d例例1 1：过：过C C点作直线与点作直线与ABAB垂直相交垂直相交（即（即C C点到点到ABAB的垂线的垂线-距离投影）。距离投影）。ABAB为正平线为正平线, , 正面正面投影反映直角。投影反映直角。.三峡大学三峡大学 精品课件精品课件！三峡大学三峡大学 精品课件精品课件！三峡大学三峡大学 交于E、F，并标明AB、CD间的真实距离。 2.作交叉直线AB、CD的公垂线EF，分别与AB、CD(e)fef真实距离真实距离分析：分析：因因ABVABV，EFABEFAB，故故EF/VEF/V面，面，为正平线为正平线，e e在在a a（b b）的）的投影上投影上; ;又又EFCDEFCD，要在投影图上画出，要在投影图上画出来，来，EFEF只能为正平线或水平线只能为正平线或水平线，由以上得出，由以上得出，EFEF为正平线。所为正平线。所以，以，e ef fccd d;又又EFEF为正平线为正平线, ,efef反映实长。即反映实长。即为为ABAB、CDCD间的距离。间的距离。例例 作交叉两直线作交叉两直线ABAB、CDCD的公垂线的公垂线EFEF，分别与，分别与ABAB、CDCD交于交于E E、F F，并标明并标明ABAB、CDCD间的真实距离。间的真实距离。
