1、1 统计量既然是依赖于样本的，而后者又是统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽抽样分布样分布” . 确定统计量的抽样分布是确定统计量的抽样分布是数理统计的基本问题之一数理统计的基本问题之一 正态总体是最常见的总体正态总体是最常见的总体, 本节介绍的几个本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言抽样分布均对正态总体而言.25.4.1 统计中常用分布统计中常用分布(1)(1) 正态分布正态分布则则niiiniiiniiiaaNXa12211,特别地特别地,
2、,nNXnXnii21,1则则nXXX,21),(2NXi若若i.i.d.若若nXXX,21),(2iiN3标准正态分布的 分位数分布的分布的上上 分位数分位数.定义定义正态分布的正态分布的双侧双侧 分位数分位数.若若 ，则称，则称u 为标准正态为标准正态uXP若若 , 则称则称 为标准为标准2uXP2u4标准正态分布的标准正态分布的 分位数图形分位数图形 575. 296. 1645. 1005. 0025. 005. 0uuu-2-1120.10.20.30.4u 常用数字-2-1120.10.20.30.4/2 -u/2=u1-/2/2 u/2-u/2 uXP2uXP5分位数分位数请看演
3、示请看演示6(2)(2)(2n分布分布( n为自由度为自由度 )(22n记为记为定义定义 设设 相互独立相互独立, 都服从正态都服从正态分布分布N(0,1), 则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. .7n = 1 时时,其密度函数其密度函数为为0, 00,21)(221xxexxfx2468100.20.40.60.811.28n = 2 时时,其密度函数其密度函数为为0, 00,21)(2xxexfx为参数为为参数为1/2的指
4、数分布的指数分布.2468100.10.20.30.49222121,02( )( )0,0 xnnne xxf xx一般地一般地其中，其中，01)(dtetxtx在在x 0时收敛，称为时收敛，称为 函数，具有性质函数，具有性质)(!) 1()2/1 (, 1) 1 (),() 1(Nnnnxxx)(2n的密度函数的密度函数为为 自由度为自由度为 n 的的105101520250.10.20.30.4n=2n = 3n = 5n = 10n = 15 2 2 分布分布11nnDnnE2122)(,)(例如例如)(,),(),(21221212221212nnXXXXnXnX则则相互独立，相互独
5、立，若若正态分布正态分布时，时，)(nn23分位数有表可查分位数有表可查分布的上分布的上)(n24分布的性质分布的性质)(2n51015200.020.040.060.080.1n = 1005. 0307.18)10(307.18)10(2205. 0P20.05(10)12nXXX,21相互独立相互独立, ,证证 1设设niiiniNXXn122, 2 , 1) 1 , 0()(则则1)(, 1)(, 0)(2iiiXEXDXEnXEnEnii122)(3d21)(2244xexXExi2)()()(2242iiiXEXEXDnXDnDnii2)(12213(3) (3) t 分布分布 (
6、Student 分布分布)定义定义则称则称 T 服从自由度为服从自由度为 n 的的 t 分布分布. 记为记为T t (n)其其密度函数密度函数为为nYXT tntnnntfn2121221)(),(, ) 1 , 0 (2nYNXX ,Y相互独立相互独立,设设14t 分布的图形分布的图形(红色的是标准正态分布红色的是标准正态分布)n = 1n=20-3-2-11230.10.20.30.4t 分布分布15t 分布的性质分布的性质1f n(t)是偶函数是偶函数,2221)()(,tnettfn2t分布的上分布的上 分位数分位数 t 与双测与双测 分位分位数数 t /2 均均 有表可查有表可查.1
7、6-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35n = 101tttTP0.051.81250.05(10)1.8125P Ttt-t1.81250.05,1.81250.95P TP T 8125. 1)10(95. 0t172/2/2)(tTPtTP-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t/2-t/22281. 2)10(05. 02281. 2025. 02281. 2025. 0tTPTP/2/218(4) F 分布分布则称则称 F 服从为服从为第一自由度为第一自由度为n ,第二自由度为第二自由度为 m 的的F 分布分布. 记为记为F
8、 F(n, m) 0, 001222),(2122tttmntmnmnmnmntfmnnn其密度函数为其密度函数为定义定义),(),(22mYnX X, Y 相互独立，相互独立，设设mYnXF/令令191234560.20.40.60.8m = 10, n = 4m = 10, n = 10m = 10, n = 15F分布分布20F 分布的性质分布的性质1( ,) ,1/( , )FF n mFF m n若则1234560.10.20.30.40.50.6例如例如),(1),(1nmFmnF事实上事实上,19. 51) 5 , 4(1)4 , 5(05. 095. 0FF故故),(:),()
9、,(2mnFFPmnFmnF有表可查分位数的上求求F(n,m)19. 5)5 , 4(05. 0F?)4 , 5(95. 0F213),(),(nmFmnF 11),(1mnFFP),(111mnFFP故),(1nmFF由于),(1111mnFFP1证证),(),(11nmFmnF因而225.4.2 几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分布定理 当总体为当总体为正态分布正态分布时，有几个重要时，有几个重要的抽样分布定理的抽样分布定理. .这里我们不加证明这里我们不加证明地叙述地叙述. . 23 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布)设设X1, X2, , Xn是取自正态总体是取自正态总
10、体),(2 N的样本，则有的样本，则有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 24n取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布X25 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布) 1() 1() 1 (222nSn 设设X1, X2, , Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有.)(相互独立相互独立和和22SX26n取不同值时取不同值时 的分布的分布22) 1(Sn 27 定理定理 3 设设X1, X2, Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和 分别为样本均值和样本方差
11、分别为样本均值和样本方差,则有则有) 1(ntnSX 28 定理定理 4 (两总体样本均值差的分布两总体样本均值差的分布) )2(112) 1() 1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX ，设),(),(2221 NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值均值,2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本29 定理定理 5 (两总体样本方差比的分布两总体样本方差比的分布) ) 1, 1(212222212
12、1nnFSS ，设),(),(222211NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1, X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值，均值，2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本例例5),8,68. 1 (2NX161,XX X某地区高中男生身高 为来自总体的)168,168() 1 (2NX)4,168( NX1711171)2(XPXP216817121681XP)5 . 1 (1 0668. 0样本，求：（1） 的分 布；（2）解：.171XP例例6),100,
13、62( NX)100,62(nNX60160XPXP设总体 为使样本均值大于60的概率不小于0.95，问样本容量n至少多大？解：10626010621nnXP)2 . 0(1n95. 0)2 . 0(n95. 0)64. 1 (64. 12 . 0n24.67n68n例例7) 3,20( NX)3,20(,NYX3 . 013 . 0YXPYXP求总体 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率？解：)153103,0(NYX)21,0( NYX 5 . 03 . 05 . 01YXP 1)23 . 0(216744. 0)23 . 0(22 我们已介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，小结小结 正态分布 抽样定理 来自一个总体 来自两个总体 ; ),()1(2nNX . ) 1()(1)2(2122 nXXnii )1(1)3( ntnSXnSXn ; ) 1,0 ()(222121NnmYX 不同方差 同 方 差，) 1, 1(222212 nmFSSYX ,)2(11)(21 nmtnmSYX . )1, 1(22 nmFSSYX Th1&Th2 34上述上述5个抽样分布定理很重要，个抽样分布定理很重要， 要牢固掌握要牢固掌握.作业作业: P157 3; 5
