1、l圆的方程和直线与圆的位置关系学习目标学习目标1 熟练掌握圆的标准方程和一般方程熟练掌握圆的标准方程和一般方程2 掌握直线与圆的位置关系判断方法掌握直线与圆的位置关系判断方法3掌握圆的切线方程求法掌握圆的切线方程求法4 掌握弦长公式、切线长公式掌握弦长公式、切线长公式圆的方程复习圆的方程复习1 1、圆的标准方程、圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r22 2、圆的一般方程、圆的一般方程022 FEyDxyx 0422 FED()2DE 圆圆心心，- -2 2特例：特例：x2+y2=r222142DEF半径的长为:r=例例1求以点C(2，0)为圆心，r=3为半径的圆的标准方程解解因为2,0,
2、3abr, 故所求圆的标准方程为 22(2)9xy 例例2写出圆22( 2 ) ( 1 ) 5xy 的圆心的坐标及半径 解解 方程 22(2)(1)5xy可化为 222(2)( 1)( 5)xy 所以 2,1,5abr (2, 1)C5r 故，圆心的坐标为，半径为使用公式求圆 心的坐标时，要 注意公式中两个 括号内都是“” 号 8 84 4 圆圆例例3：根据下面所给的条件，分别求出圆的方程： 以点(2，5)为圆心，并且过点(3， 7) ；(2) 设点A(4，3)、B (6， 1)，以线段AB为直径；(3) 过点P(2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上；解解 由于点（2，5）与点
3、（3， ）间的距离就是半径，所以半径为22(32)( 75)13r 故所求方程为 22(2)(5)169xy 分析分析 根据已知条件求出圆心的坐标和半径，从而确定字母系数a、b、r，得到圆的标准方程这是求圆的方程的常用方法 (4)求 过 三 点 A(0,0),B(2,4),C(3,1)的 圆 的 方 程并 求 出 这 个 圆 的 半 径 圆 心 坐 标8 84 4 圆圆例例3 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程： 以点(2，5)为圆心，并且过点(3， 7) ；(2) 设点A(4，3)、B (6， 1)，以线段AB为直径；(3) 过点P(2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上；
4、设所求圆的圆心为C，则C为线段AB的中点，半径为线段AB的长度的一半，即 46 31,22C，即2211(46)(31)20522r 故所求圆的方程为 22(5)(1)5xy 例例3 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程： 以点(2，5)为圆心，并且过点(3， 7) ；(2) 设点A(4，3)、B (6， 1)，以线段AB为直径；(3) 过点P(2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上；0 xy00(,)C xx 由于圆心在直线上，故设圆心为，于是有 CPCQ，22220000(2)(4)(0)(2)xxxx ，02x 解得 因此，圆心为(2，2)半径为 22( 20)(22)2r
5、 ，故所求方程为 22(2)(2)4xy 2222220, ,02420:2,4,03102401( 2)( 4)52yDxEyFA B CFDEFDEFDEFyxy (4)解:设所求圆的方程为x因为三点都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的方程,将它们依次代入,得解得所求圆的方程是:x半径r=,圆心为(1,2)(4)求过三点A(0,0),B(2,4),C(3,1)的圆的方程并求出这个圆的半径圆心坐标例例4：判断方程224 6 3 0 x yx y 是否为圆的方程，如果是，求出圆心的坐标和半径 解解1将原方程左边配方，有 22222242263330 xxyy222(2)(3)4xy所以方程表示圆
6、心为(2，3)，半径为4的一个圆解解2 与圆的一般方程相比较，知D=4,E=6,F= 3,故22416364( 3)640DEF 所以方程为圆的一般方程，由 2242,3,4222DEDEF 知圆心坐标为(2，3)，半径为42252.687 03.(6, 1)4.( 2,1), (1, 4), (3,4),5.(2,3), ( 4,5)xyxyMABCABCABAB 练 习 :1.圆 心 在 点 P(-3,4),半 径 为 的 圆 的 方 程求的 圆 心 坐 标 与 半 径经 过 点 P(-3,4),圆 心 在 点的 圆 的 方 程求 已 知 点求的 外 接 圆 的 方 程求 以 为 直 径
7、,其 中的 圆 的 方 程22222222(4)52.(3, 4),423.(1)1064.41305.(4)10yryxyxy1.(x+3)圆心坐标为半径(x-6)(x+1)X -习题课习题课1 1、直线和圆相离、直线和圆相离rd 02 2、直线和圆相切、直线和圆相切rd3 3、直线和圆相交、直线和圆相交rd002C2C2C直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系图形圆心到直线距离圆心到直线距离 d 与圆半径与圆半径r之间关系之间关系几何方法几何方法代数方法代数方法无交点时无交点时有一个一个交点时有两个两个交点时值情况方法一：几何法方法一：几何法 直线：直线：Ax+By+C=0;圆圆: (x-a
8、)2 + (y-b)2 =r2，圆心（圆心（a,b)到直线到直线Ax+By+C=0的距离的距离 d=直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系：方法二：判别式法方法二：判别式法 直线：直线：Ax+By+C=0;圆：圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0 一元二次方程一元二次方程 直线与圆位置关系的判定直线与圆位置关系的判定_7) 1(04222的位置关系和圆判断直线yxyx灵活应用灵活应用:对任意实数对任意实数k,圆圆C: x2+y2-6x-8y+12=0与与直线直线L:kx-y-4k+3=0的位置关系是的位置关系是( )A 相交相交 B相切相切 C相离相离 D与与k值有关值有关A相离相离224
9、20yxy练 习 :直 线 y-2x+5=0与 圆 x之 间 的 位 置 关 系 为 ( )A.相 切 B.相 离C.相 交 但 直 线 过 圆 心 D.相 交 但 直 线 不 过 圆 心222420(2, 1)|4 1 5|021yxydC 解:圆x的圆心坐标为它到直线2x-y-5=0的距离为所以圆心在直线上,即直线与圆相交且过圆心故答案为229,y例6:k为何值时,直线y=kx+4与圆x相交 相切,相离22222222224499(4 )9,)870(8)4 ()74 (37 )(37 )77337377,33ykxykxxyxyxkxxkxkkk 解 : 解 方 程 组将代 入得整 理
10、得 ( 1 + k1 + k故 当 k 或 k 0 , 直 线 与 圆 相 交 ;当 k =时 ,0 , 直 线 与 圆 相 切 ;当 k 时0 直 线 与 圆 相 离l与弦或弦长相关的问题1、用几何方法解有关弦长问题、用几何方法解有关弦长问题:1个重要的直角三角形个重要的直角三角形涉及圆的弦长时：涉及圆的弦长时：ABCD特例：特例：2221(|)2rdAB2.用代数方法求弦长问题：用代数方法求弦长问题：直线直线y=kx+b与圆与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于相交于A、BAB =(x2-x1)2+(y2-y1)2=1+K2(x1+x2)2-4x1x2=1+K2x1-x2ABOD22
11、:(1)5,:10(1),17Cxyl mxymmRllAB 2.已知圆直线证明：对直线与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线与圆C交于A,B两点，若=求m的值22(1)510 xymxym （1）由得2222)250*mxm xm(1+422244(1)(5) 1620mmmm 则,0mR 总有因此所证命题成立因此所证命题成立解法解法1：代代 数数 方方 法法圆的弦长圆的弦长ABl解法解法2:(1)由圆方程可知，圆心为（由圆方程可知，圆心为（0，1），），半径为半径为 r = 则则 圆心到直线圆心到直线 l 的距离为的距离为 222211111mmdmmm,5mR总有d因此所证命题成立因此所
12、证命题成立rd几何方法lAB22:(1)5,:10(1),17CxylmxymmRllAB2.已 知 圆直 线证 明 ： 对直 线 与 圆 C总 有 两 个 不 同 的 交 点 ；（ 2） 设 直 线 与 圆 C交 于 A,B两 点 ， 若=求 m的 值5(2)由平面解析几何的垂径定理可知由平面解析几何的垂径定理可知22217335,4414mdm 即2333mmm得则的 值 为22217()2rdrdlAB22:(1)5,:10(1),17Cxyl mxymmRllAB2.已知圆直线证明：对直线 与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线 与圆C交于A,B两点，若=求m的值22205mxymxy
13、为 何 值 时 ， 直 线与 圆（ 1） 无 公 共 点 ； （ 2） 截 得 弦 长 为 2；(1)(0,0),5,Or 由已知，圆心为半径解：2220,2( 1)5mmxymd 圆心到直线的距离55mm 或,55mdr因为直线与圆无公共点，即55mm 故当或时，直线与圆无公共点。2 5m故当时，直线被圆截得的弦长为222221 ,512 55mrdm 即得（2）如图，有平面几何垂径定理知）如图，有平面几何垂径定理知变式演练变式演练1rrrrd2练习:1.以点(1,1)为圆心且截直线y=x-4所得弦长为2的圆的方程rd22102260 xyxyxy 例:求直线被圆所截得的线段中点坐标1122
14、22212121212,)10122602270212(1)(1)2()11 1, )2 2yxyxyxyxyyyyyy 解设直线与圆的两交点分别为A(x ,y ),B(x由得把它代入方程得yxxyy所求中点坐标为(l有关圆的切线问题 圆的切线方程求法：圆的切线方程求法：通过圆通过圆x2 +y2=r2上一点上一点(x0,y0)的切线方程是的切线方程是x0 x+y0y=r2（过圆上一点能作一条且只能作一条直线与圆相切）（过圆上一点能作一条且只能作一条直线与圆相切）通过圆外一点通过圆外一点(x0,y0)的切线方程若斜率存在可设为的切线方程若斜率存在可设为 y-y0=k(x-x0)已知圆的切线方程的
15、斜率已知圆的切线方程的斜率K时时，切线方程可设为切线方程可设为： y=Kx+b求求K或或b的途径：的途径：=0或或d=r（过圆外一点能作两条直线与圆相切）（过圆外一点能作两条直线与圆相切）1、1个重要的直角三角形：个重要的直角三角形：涉及圆的切线长时：涉及圆的切线长时：MPC特例：特例：（1）几何法：几何法： 设切线的方程为：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径，可求得由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切，切线斜率即可求出。线斜率即可求出。（2）代数法：代数法：设切线的方程为：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0),代入圆方程得代入圆方程得 一个关于一个关
16、于x的一元二次方程，的一元二次方程， 由由.0求过圆外一点的（求过圆外一点的（x0,y0）的切线方程：）的切线方程：(若斜率不存在或斜率为若斜率不存在或斜率为0,则可以直则可以直接判定过定点的直线是否与圆相切接判定过定点的直线是否与圆相切,进而确定进而确定 k的取值的取值.)求K 直线与圆相切问题直线与圆相切问题22(1).(3,4)25xy例3、 求经过点与圆相切的切线方程224(1,3)_yM练习:过圆x上一点的切线方程为例4：已知圆C和直线x-y=0相切，圆心坐标为（1，3），则圆C的方程为_分析分析 ：知道圆心坐标，只要求出半径即：知道圆心坐标，只要求出半径即可。据题意，半径为圆心到直
17、线的距离。可。据题意，半径为圆心到直线的距离。2225y例5:如果直线y=x+b与圆x相切,则b的值为_相切的直线的方程平行且与圆求与直线8)3()2(222yxxy直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系例例6 6直线直线l过点过点(2,2)(2,2)且与圆且与圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0相切相切, ,求直线求直线l的方程的方程. . 22Oxy(2,2)(2)当当k不存在时，过不存在时，过(2,2)的直线的直线x=2也与也与 圆相切。圆相切。解解(1)当直线的斜率存在时，设直线当直线的斜率存在时，设直线l l的方程的方程y-2=ky-2=k（x-2x-2），所以），所以kx
18、-y+2-2k=0kx-y+2-2k=0由已知得圆心的坐标为（由已知得圆心的坐标为（1 1，0 0），半径），半径r=1r=1因为因为 直线直线l l与圆相切，所以有：与圆相切，所以有：1121220122kkkkykd解得：解得：所以直线方程为：所以直线方程为：)2(432xy43k0分析:点M在圆外,而过圆外一点求圆的切线方程应该有两条,如果解方程只有一条则另一条切线的倾斜角为90 其斜率不存在应把它找回即：即：3x-4y+2=0综上所求直线方程为3x-4y+2=0或x=2222 .(1, 7)25xy（ ） 求经过点与圆相切的切线方程并求切线长MPC(2, 1),12Axyyx 求经过和
19、直线相切，且圆心在直线上的圆的方程。222)()(rbyax解：设圆的方程为上圆心在直线xy2) 1 ( 2ab) 1, 2( A又经过点)2( )1()2(222rba相切因为圆与直线1 yx)3( 2| 1|rba2, 2, 1)3)(2)(1 (rba得：由2)2() 1(22yx所求圆的方程是 变式演练+求经过求经过A（2，-1）与直线）与直线x+y=1相切且圆心在直线相切且圆心在直线y=-2x上的圆的方程上的圆的方程22221. (3)(4)4_2.443120_xyOxyxy圆上的点到原点 的最短距离为圆上的点到直线的最大距离（1）圆上的点到圆外的点的最大或最小的距离）圆上的点到圆外的点的最大或最小的距离（2）圆上的点到直线的最大或最小距离）圆上的点到直线的最大或最小距离
