1、 15.2 双曲线 高考数学 1.双曲线的定义 (1)定义 :平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数 (小于两定点 间距离 )的点的轨迹叫做双曲线 . (2)双曲线的定义用符号表示为 |MF1|-|MF2|=2a,其中 2a|F1F2|时 ,动点轨迹 不存在 . 知识清单 方法 1 求双曲线标准方程的方法 1.利用待定系数法求双曲线的标准方程 (1)如果明确了双曲线的中心在原点 ,焦点在 x轴上 ,则双曲线的标准方程 可设为 - =1(a0,b0),然后由条件求 a,b; (2)如果明确了双曲线的中心在原点 ,焦点在 y轴上 ,则双曲线的标准方程 可设为 - =1(a0,b0),然后由条件
2、求 a,b; (3)如果已知双曲线的中心在原点 ,但不知焦点所处的位置 ,则可把双曲 线方程设为 mx2+ny2=1(m,n异号 ),然后由条件求 m,n. 22xa22yb22ya22xb方法技巧 2.利用定义及性质求双曲线的标准方程 (1)定型 :确定双曲线的标准方程的类型 ,判断它的中心及焦点在坐标系 中的位置 ; (2)定量 :建立关于基本量 a,b,c的方程或方程组 ,解得参数 a,b的值 . 3.对于求共焦点、共离心率的双曲线方程的问题 ,可以根据 a,b,c,e的关 系 ,结合双曲线标准方程的形式灵活求解 .通常与椭圆 + =1(ab0) 有公共焦点的双曲线的方程可设为 - =1
3、(b2 0,b0),根据双曲线的定义 ,知 2a= =4,故 a=2.又 b2=32-a2=5,故所求 双曲线方程为 - =1. 2x272y3622ya22xb2 2 2 2( 1 5 0 ) ( 4 3 ) ( 1 5 0 ) ( 4 3 )? ? ? ? ? ? ?2y42x5答案 - =1 2y4 2x5求双曲线的离心率或离心率的取值范围 1.根据已知条件确定 a、 b、 c的关系 ,再求 e= . 2.双曲线离心率的范围 在解析几何中 ,求“范围”问题 ,一般可从以下几个方面考虑 :与已知 范围联系 ,通过求值域或解不等式来完成 ;利用判别式 求解 ;利用 点在曲线内部形成的不等关系
4、 ;利用解析式的结构特点 ,如 a2, ,|a|等 的非负性 . 例 2 (2017无锡高三上学期期末 ,9)设 P为有公共焦点 F1,F2的椭圆 C1与双 曲线 C2的一个交点 ,且 PF1 PF2,椭圆 C1的离心率为 e1,双曲线 C2的离心率 为 e2,若 3e1=e2,则 e1= . caa方法 2解析 设椭圆的长轴长为 2a1,双曲线的实轴长为 2a2,它们的焦距均为 2c, 不妨设 |PF1|PF2|,则由椭圆及双曲线的定义可得 解得 又 PF1 PF2,所以 |PF1|2+|PF2|2=4c2, 从而可得 + =2c2,所以 + =2, 因为 3e1=e2,所以 e1= . 1 2 11 2 2| PF | | F | 2 a ,| PF | | F | 2 a ,PP?1 1 22 1 2| PF | a a ,| PF | a a ,?21a 22a211e?221e?53答案 53
