1、22.1.4用待定系数法求二次函数解析式回顾：用待定系数法求解析式回顾：用待定系数法求解析式 已知一次函数经过点（已知一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），求），求这个一次函数的解析式。这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 因为一次函数经过点因为一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），）， 所以所以k+b=3-2k+b=-12解得解得 k=3，b=-6一次函数的解析式为一次函数的解析式为y=3x-6.解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由已知得：由已知得：a-b+c=10a+b+c=44
2、a+2b+c=7解方程得：解方程得：因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是：a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5例例1 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1，10）、）、（1，4）、（）、（2，7）三点，求这个函数的解析式）三点，求这个函数的解析式.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是的解析式，关键是求出待定系数求出待定系数a，b，c的值。的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出的方
3、程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。就可以写出二次函数的解析式。用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式解：因为抛物线的顶点为（解：因为抛物线的顶点为（-1，-3），），所以，设所求的二次函数的解析式为所以，设所求的二次函数的解析式为 y=a(x1)2-3例例2 已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1，3），与），与y轴的轴的交点为（交点为（0，5），求抛物线的解析式。），求抛物线的解析式。因为点（因为点（0，-5 ）在这个抛物线上，）在这个抛物线上，所以所以a-3=-5， 解得解得a=-2故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-
4、3即：即：y=2x2-4x5用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k练习练习：已知抛物线的顶点是（：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（）且过点（2，3)，求出对应的二次函数解析式求出对应的二次函数解析式练习：练习： 已知二次函数的图象经过点（已知二次函数的图象经过点（4，3），并且），并且当当x=3时有最大值时有最大值4，求出对应的二次函数解析式；，求出对应的二次函数解析式；又过点（又过点（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1解：设所求的二次函数为解：设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k顶点是（顶点是（1，2
5、）y=a(x-1)2+2， y=(x-1)2+2，即，即y=x2-2x+3已知抛物线的顶点与已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，抛物线上另一点时，通常设为顶点式通常设为顶点式已知条件中的当已知条件中的当x=3x=3时有最大值时有最大值4 4也就是抛物线的顶点坐标为（也就是抛物线的顶点坐标为（3,43,4），），所以设为顶点式较方便所以设为顶点式较方便y=-7(x-3)y=-7(x-3)2 2+4+4也就也就y=-7xy=-7x2 2+42x-59+42x-59顶点式顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数为常数a0). 1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另若已知抛物线的顶点坐标和抛物
6、线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k. 2. 特别地，当抛物线的顶点为原点是，特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设函数的解析式为可设函数的解析式为y=ax2. 3.当抛物线的对称轴为当抛物线的对称轴为y轴时，轴时，h=0,可设函可设函数的解析式为数的解析式为y=ax2+k. 4.当抛物线的顶点在当抛物线的顶点在x轴上时，轴上时，k=0，可设函，可设函数的解析式为数的解析式为y=a(x-h)2.所以设所求的二次函数为所以设所求的二次函数为y=a(x1)(x1)例例3 已知抛物线与已知抛物线与X轴交于轴交
7、于A（1，0），），B（1,0）并经过点并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？又又 点点M( 0,1 )在抛物线上在抛物线上 a(0+1)(0-1)=1解得：解得： a=-1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=- (x1)(x-1)即：即：y=x2+1用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式解：因为抛物线与解：因为抛物线与x轴的交点为轴的交点为A(1，0)，B(1，0) ，交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数为常数a0） 当抛物线与当抛物线与x轴有两个交点为（轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，时，
8、二次函数二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与因此当抛物线与x轴有两个交点为轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中，即，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得可解得a，求出抛物线的解析式。，求出抛物线的解析式。 交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2). x1和和x2分别是抛物分别是抛物线与线与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线抛物线的对称轴对称，则直线 就是
9、抛就是抛物线的对称轴物线的对称轴.221xxx 课堂小结课堂小结求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式通常选择一般式y=ax2+bx+c;已知图象的顶点坐标对称轴和最值）已知图象的顶点坐标对称轴和最值） 通常选择顶点式通常选择顶点式y=a(x-h)2+k，已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横轴的两个交点的横x1、x2， 通常选择交点式（两根式）通常选择交点式（两根式）y=a(x-x1)(x-x2) 。yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种
10、函数表达式，的特点，恰当地选用一种函数表达式， 充分利用条件充分利用条件 合理选用以上三式合理选用以上三式例例4 已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它与，又知它与x 轴轴的两个交点的两个交点B、C间的距离间的距离为为4，求其解析式。，求其解析式。yxo-321 1 2ABC5-3-4分析：先求出分析：先求出B B、C C两点两点的坐标，然后选用顶点的坐标，然后选用顶点式或交点式求解。式或交点式求解。应应 用用例例5 5有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系
11、里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 解：设抛物线的解析式为解：设抛物线的解析式为y=ax2bxc，根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过程较繁杂， 设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216 解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上， 通过利用条件通过利用条
12、件中的顶点和过中的顶点和过原点选用顶点原点选用顶点式求解，式求解，方法比较灵活方法比较灵活 评价评价 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 例例5 5 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 应应 用用设抛物线为设抛物线为y=ax(x-40 ）解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(20，16)在抛物线上，在抛物线上， 选用两根式求解，选用两根式求解，方法灵活巧妙，过方法灵活巧妙，过程也较简
13、捷程也较简捷 评价评价例例5 5 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 应应 用用练习：如图，已知二次函数练习：如图，已知二次函数 的图像经过点的图像经过点A A和和点点B B（1 1）求该二次函数的表达式；）求该二次函数的表达式；（2 2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3 3）点）点P P（m m，m m）与点）与点Q Q均在该函数图像上（其中均在该
14、函数图像上（其中m m0 0），且这两），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求点关于抛物线的对称轴对称，求m m的值及点的值及点Q Q 到到x x轴的距离轴的距离24y axx c xyO3 911AB图13解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 得cxaxy42.3439,) 1(4) 1(122caca解得.6,1ca二次函数的表达式为642xxy（2）对称轴为直线x2 ；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入 ，得 ，642xxy642mmm解得 ，121,6mmm0， 不合题意，舍去11m m=6点P与点Q关于对称轴 x2 对称，点Q到x轴的距离为6课堂练习课堂
15、练习数的解析式。）三点，求这个二次函，（），），（，经过（、一个二次函数的图象式。求这个二次函数的解析时，与当，时，函数值变量、一个二次函数，当自9111002. 0212101yxyx课堂小结课堂小结求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式通常选择一般式已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标 通常选择顶点式通常选择顶点式 已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横轴的两个交点的横x1、x2和另一个点的坐标和另一个点的坐标 通常选择交点式通常选择交点
16、式 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，恰当地选用一种函数表达式， 一般式：一般式：cbxaxy2例例1求经过有三点求经过有三点A（-2，-3），），B（1，0），C（2，5）的）的二次函数的解析二次函数的解析式式.xyo-321 1 2ABC5-3 分析分析 ：已知一般三点，：已知一般三点，用待定系数法设为一般用待定系数法设为一般式求其解析式式求其解析式. .顶点式顶点式：khxay2)(例例2 已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为D(-1，-4)，又经过点，又经过点C(2，5)，求其解析式。，求其解析式。xyo-
17、321 1 2ABC5-3-4分析：设分析：设抛物线的解析式为抛物线的解析式为 ，再根据，再根据C点坐标求出点坐标求出a的值。的值。顶点式：顶点式：4)1(2xay交点式交点式：)(21xxxxay例例3 已知抛物线与已知抛物线与x轴的两个交轴的两个交点为点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过，又经过点点C(2，5)，求其解析式。，求其解析式。xyo-321 1 2BC5-3A分析：设抛物线的解析式为分析：设抛物线的解析式为 ，再根据，再根据C点坐标求出点坐标求出a的值。的值。交点式：交点式：)1)(3(xxay充分利用条件充分利用条件 合理选用以上三式合理选用以上三式例例4 已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它与，又知它与x 轴轴的两个交点的两个交点B、C间的距离间的距离为为4，求其解析式。，求其解析式。yxo-321 1 2ABC5-3-4分析：先求出分析：先求出B B、C C两点两点的坐标，然后选用顶点的坐标，然后选用顶点式或交点式求解。式或交点式求解。（南通市）已知抛物线（南通市）已知抛物线y=ax2+bx+c经过经过A，B，C三点，当时，其图象如图所示。求抛三点，当时，其图象如图所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。物线的解析式，写出顶点坐标。245-3ABCxy
