1、Thomas Robert Malthus （1766-1834）是美国的一名牧师。1798年提出Malthus人口模型，此模型对17001961年这段时期的人口应用十分的精准。（指数增长模型）（指数增长模型） 在人口自然增长的过程中，经相对增长率（出生率在人口自然增长的过程中，经相对增长率（出生率和死亡率）是常数，即单位时间内人口增长量与人口成和死亡率）是常数，即单位时间内人口增长量与人口成正比，比例系数为正比，比例系数为r r。1、主要假设、主要假设Malthus模型模型 2、模型的建立、模型的建立()( )( )N ttN trN tt00( )dNrNdtN tN0()0( )r t
2、tN tN e由荷兰生物数学家Verhulst于1838年提出Logistic模型（阻滞增长模型）模型（阻滞增长模型）1、主要假设、主要假设 此模型修改了此模型修改了MalthusMalthus模型模型r r为常为常数的假设，认为数的假设，认为r r应为应为N N的函数。设自的函数。设自然资源和环境条件所能容纳的最大人然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量为口数量为N Nm m，并设定净增长率：，并设定净增长率：( )()(1)mN tr NrN当N(t)Nm时，r(N)？2、模型的建立、模型的建立00(1)( )mdNNrNdtNN tN由左式可知，可用分离变量法求解非线性微分方程，且Log
3、istic模型就是一个Bernoulli方程的初值问题。3、模型求解、模型求解0()0( )1 (1)mr t tmNN tNeN 本模型在1790-1930年间较为符合实际，但是在1940-1980年间，却与实际的偏差较大。为什么？1 1、人口数已经超出了所设的、人口数已经超出了所设的NmNm。2 2、大幅度的移民和战争等相关因素。、大幅度的移民和战争等相关因素。3 3、NmNm不易确定，随着生产力的发展，不易确定，随着生产力的发展，NmNm的值不断增大。的值不断增大。 前面的两种模型，都将总数看作是处于同等地位的成员组成。这简化了问题，但是严格来讲是不科学的，应该根据成员的年龄分组，并且将
4、性别分别考虑。人口发展方程人口发展方程1、主要假设、主要假设 只考虑自然的出生死亡，不考虑迁移等社会因素只考虑自然的出生死亡，不考虑迁移等社会因素的影响，考虑年龄结构。的影响，考虑年龄结构。2、模型的建立、模型的建立 在时刻在时刻t t，年龄小于，年龄小于r r的人口数记作的人口数记作F(r,t)F(r,t)，t t和和r r均为连续变量。设均为连续变量。设F F是连续可微函数，称为为是连续可微函数，称为为人口分布人口分布函数函数。时刻。时刻t t的人口总数为的人口总数为N(t)N(t)。最高年龄记作。最高年龄记作r rm m 。于是对于非负非降函数于是对于非负非降函数F(r,t)F(r,t)
5、有：有：)(),(, 0), 0(mtNtFtFmmF(t),0p rrrr 定义，理论上r将将p(r,t)p(r,t)定义为定义为年龄密度函数年龄密度函数。p(r,t)p(r,t)非负且非负且p(p(r rm m,t)=0,t)=0记记p(r,t)drp(r,t)dr为时刻为时刻t t年龄在区间年龄在区间r,r+dr)r,r+dr)内的人数。内的人数。 记记(r,t)(r,t)为时刻为时刻t t年龄年龄r r的人的的人的死亡率死亡率。其含义是：。其含义是：(r,t)p(r,t)dr(r,t)p(r,t)dr表示时刻表示时刻t t年龄在年龄在r,r+dr)r,r+dr)内单位时内单位时间死亡的
6、人数。间死亡的人数。 为了得到为了得到p(r,t)p(r,t)满足的方程，考察时刻满足的方程，考察时刻t t年龄在年龄在r,r+dr)r,r+dr)内的人到时刻内的人到时刻t+dtt+dt的情况。他们中活着的那的情况。他们中活着的那一部分人的年龄变为一部分人的年龄变为r+drr+dr1 1,r+dr+ dr,r+dr+ dr1 1) )。这里。这里drdr1 1=dt. =dt. 而在而在dtdt这段时间内死亡的人数为这段时间内死亡的人数为(r,t)p(r,t)drdt,(r,t)p(r,t)drdt,于是于是drdttrptrdrdttdrpdrtrp),(),(),(),(1也可写作也可写
7、作drdttrptrdrtrpdttrpdttrpdttdrrp),(),(),(),(),(),(1上式中，带入上式中，带入drdr1 1=dt=dt就可以得到：就可以得到：drdttrptrdrtrpdttrpdttrpdttdrrp),(),(),(),(),(),(1),(),(trptrtprp得到人口发展模型得到人口发展模型实际上，这是年龄密度函数实际上，这是年龄密度函数p(r,t)p(r,t)的一阶偏微分方程，的一阶偏微分方程，其中死亡率其中死亡率(r,t)(r,t)为已知函数。为已知函数。两个定解条件：两个定解条件：1）初始密度函数记作p(r,0)=p0(r)；2）单位时间内出
8、生的婴儿数记作p(0,t)=f(t),称为婴儿出生率。这里这里p p0 0(r)(r)可由人口调查资料得到，是已知函数；可由人口调查资料得到，是已知函数；f(t)f(t)则对预测和控制人口起着重要作用。则对预测和控制人口起着重要作用。于是得出连续型人口发展模型：于是得出连续型人口发展模型：）（，10),()(), 0()()0 ,(0 , 0),(),(0trptftprprprrttrptrtprpmm 此方程描述了人口的演变过程，从这个方程确此方程描述了人口的演变过程，从这个方程确定出密度函数定出密度函数p(r,t)p(r,t)以后，立即可以得到各个年龄以后，立即可以得到各个年龄的人口数，
9、即人口分布函数的人口数，即人口分布函数rdstsptrF0),(),(3、模型求解、模型求解 该方程的求解过程比较复杂，这里给出一种特该方程的求解过程比较复杂，这里给出一种特殊情况下的结果。在社会安定的局面下和不太长的殊情况下的结果。在社会安定的局面下和不太长的时间内，死亡率大致与时间无关，于是可以近似的时间内，死亡率大致与时间无关，于是可以近似的假设假设(r,t)=(r)(r,t)=(r)，这时的解为：，这时的解为：(*),)(0 ,)(),(0)()(0rtertfrtetrptrprrtrdssdss这个解在这个解在tr平面上有一个浅显的解释：平面上有一个浅显的解释：如何验证？如何验证？
10、( )0()rr ts dsp rt e0( )()rs dsf tr e右图中，对角线右图中，对角线r=tr=t（t t，r0r0）分为两个）分为两个部分。部分。 在在trtr的区域，的区域，p(r,t)p(r,t)完全由年龄为完全由年龄为r-tr-t的人口的人口初始密度初始密度p p0 0(r-t)(r-t)和这些人的死亡率和这些人的死亡率(s)(r-t(s)(r-tsrsrtr区域，区域，p(r,t)p(r,t)则由未来的生育状况则由未来的生育状况f(t-r)f(t-r)及死亡率及死亡率(s)(0(s)(0srsr) )决定。决定。4、讨论、讨论生育率和生育模式生育率和生育模式 在发展方
11、程及解中在发展方程及解中p p0 0(r)(r)和和(r)(r)可以从人口统计数可以从人口统计数据得到。据得到。 (r,t)(r,t)也可以由也可以由(r,0)(r,0)粗略估计，这样，粗略估计，这样，为了预测和控制人口的发展状况，人们主要关注的可为了预测和控制人口的发展状况，人们主要关注的可以用作控制手段的就是婴儿出生率以用作控制手段的就是婴儿出生率f(t)f(t)。对对f(t)进一步分解：进一步分解： 记女性性别比函数为记女性性别比函数为k(r,t)(r,t)，即时刻，即时刻t t年龄在年龄在r,r+drr,r+dr的女性人数为的女性人数为k(r,t)p(r,t)dr,k(r,t)p(r,
12、t)dr,将这些女性在将这些女性在单位时间内的平均每人的生育数记作单位时间内的平均每人的生育数记作b(r,t)b(r,t)，设育龄，设育龄区间为区间为rr1 1,r,r2 2,则：则：21212121( )( , ) ( , ) ( , )( , )( , )( ) ( , )( , )( , )1( )( , )( )( )( , ) ( , ) ( , )rrrrrrrrf tb r t k r t p r t drb r tb r tt h r th r th r t drtb r t drf tth r t k r t p r t dr再将定义为其中满足于是则其中其中(t)(t)的直的
13、直接含义是时刻接含义是时刻t t单位时间内平单位时间内平均每个育龄女均每个育龄女性的生育数。性的生育数。 如果所有育龄女性在她育龄期所有的时刻都保持这如果所有育龄女性在她育龄期所有的时刻都保持这个生育数，那么个生育数，那么(t)(t)也表示平均每个女性一生的总和也表示平均每个女性一生的总和生育数。所以生育数。所以(t)(t)称为称为总和生育率总和生育率（简称生育率或生（简称生育率或生育胎次）。育胎次）。h(r,t)h(r,t)是年龄为是年龄为r r的女性的生的女性的生育加权因子，称为育加权因子，称为生育模式生育模式。在稳定环境下可以近似的认在稳定环境下可以近似的认为它与为它与t t无关即无关即
14、h(r,t)=h(r)h(r,t)=h(r)。h(r)h(r)表示了在那些年龄生育表示了在那些年龄生育率高，那些年龄生育率低。率高，那些年龄生育率低。在在r=rr=rc c附近生育率最高附近生育率最高由人口统计资料可以知道当前实际的由人口统计资料可以知道当前实际的h(r,t)h(r,t)。作理论。作理论分析时，人们常采用的分析时，人们常采用的h(r)h(r)的一种形式是借用概率论的一种形式是借用概率论中的中的分布：分布：)()()(111rrerrrh取取=2=2，=n/2=n/2，这时有，这时有r rc c=r=r1 1+n-2+n-2可以看出，提高可以看出，提高r r1 1意味意味着晚婚，
15、而增加着晚婚，而增加n n意味意味着晚育。着晚育。 这样，人口发展方程和单位时间内出生的婴儿数这样，人口发展方程和单位时间内出生的婴儿数f(t)f(t)的表达式构成了连续型人口模型。的表达式构成了连续型人口模型。 模型中死亡率函数模型中死亡率函数W(r,t)W(r,t)，性别比函数，性别比函数k(r,t)k(r,t)和初和初始密度函数始密度函数P0(t)P0(t)可由人口统计资料直接得到，或在资可由人口统计资料直接得到，或在资料的基础上估计，而生育率料的基础上估计，而生育率(t)(t)和生育模式和生育模式h(r,t)h(r,t)，则是可以用于控制人口发展过程的两种手段，则是可以用于控制人口发展
16、过程的两种手段，(t)(t)可可以控制生育的多少，以控制生育的多少，h(r,t)h(r,t)可以控制生育的早晚和疏密，可以控制生育的早晚和疏密，我国的计划生育政策正是通过这两种手段实施的。我国的计划生育政策正是通过这两种手段实施的。 从控制论观点看，在方程描述的人口系统中从控制论观点看，在方程描述的人口系统中P(r,t)P(r,t)可视为状态变量，可视为状态变量，P(0,t)=f(t)P(0,t)=f(t)视为控制变量，是分布参视为控制变量，是分布参数系统的边界控制函数，式表明控制输入中含有状态变数系统的边界控制函数，式表明控制输入中含有状态变量，形成状态及馈，量，形成状态及馈，(t)(t)视
17、为及馈增益，并且这是一种视为及馈增益，并且这是一种正及馈，即人口密度函数正及馈，即人口密度函数P(r,t)P(r,t)的增加，通过婴儿出生率的增加，通过婴儿出生率f(t)f(t)又使又使P(r,t)P(r,t)进一步增长。进一步增长。 方程的解方程的解* *式中因子式中因子f(t-r)f(t-r)表明这种反馈还表明这种反馈还有相当大的滞后作用，所以一旦人口政策失误，有相当大的滞后作用，所以一旦人口政策失误，使使P(r,t)P(r,t)在一段时间内增长得过多过快，再想通在一段时间内增长得过多过快，再想通过控制手段过控制手段(t)(t)和和P(r,t)P(r,t)把人口增长的势头降把人口增长的势头
18、降下来，非常困难并且需要相当长（几代人）的时下来，非常困难并且需要相当长（几代人）的时间。间。 人口指数人口指数 在上面的模型中密度函数在上面的模型中密度函数P(r,t)P(r,t)或分布函数或分布函数f(r,t)f(r,t)固然是人口发展过程最完整的描述，但是固然是人口发展过程最完整的描述，但是使用起来并不方便，在人口统计学中常用一些所使用起来并不方便，在人口统计学中常用一些所谓的人口指数来简明扼要地表达一个国家或地区谓的人口指数来简明扼要地表达一个国家或地区的人口特征。的人口特征。 1人口总数N(t)0( )( , )mrN tP r t dr2 平均年龄R(t)01( )( , )( )
19、mrR trP r t drN t3 3 平均寿命平均寿命S(t)S(t) 它表示时刻它表示时刻t t出生的人不论活到什么时候，死出生的人不论活到什么时候，死亡率都是按时刻亡率都是按时刻t t的的W(r,t)W(r,t)计算，这些人的平均存计算，这些人的平均存活时间活时间0( , )( )tW r t drtS ted S(t)S(t)实际上是预估寿命，通常说目前平均寿实际上是预估寿命，通常说目前平均寿命已达到多少岁了，是指今年出生婴儿的预估寿命已达到多少岁了，是指今年出生婴儿的预估寿命，即命，即S(0)S(0)，根据统计资料得到当前的死亡率，根据统计资料得到当前的死亡率W(r,0)W(r,0
20、)后，就可以算出后，就可以算出S(0)S(0)。4老龄化指数老龄化指数W(tW(t)( )( )( )RtWtSt若若R(t)R(t)递增，则递增，则W(t)W(t)也是递增的也是递增的 5 5 依赖性指数依赖性指数(t)(t)( )( )( )( )N tL ttL t2211( )1( , ) ( , )( , ) ( , )llllL tR r t P r t drR r t P r t dr 其中其中L1,L2L1,L2和和L1,L2L1,L2分别是男性和女性分别是男性和女性有劳动能力的年龄区间，有劳动能力的年龄区间，L(t)L(t)是全体人口中有劳动能力的是全体人口中有劳动能力的年龄
21、区间，年龄区间，L(t)L(t)是全体人口中有劳动能力的人数，所以依是全体人口中有劳动能力的人数，所以依赖性指数赖性指数(t)(t)表示平均每个劳动者要供养的人数。表示平均每个劳动者要供养的人数。 4. 4. 人口发展方程的离散模型人口发展方程的离散模型 因在连续模型中，得了一些理论的分析结果，但因在连续模型中，得了一些理论的分析结果，但是在实际应用中不方便，需要建立相应的离散模型，是在实际应用中不方便，需要建立相应的离散模型，因为因为: : 第一，作为已知条件（输入）的统计数据都是第一，作为已知条件（输入）的统计数据都是离散的，如果某年各个年龄的女性生育率，死亡率，离散的，如果某年各个年龄的
22、女性生育率，死亡率，性别比例。性别比例。 第二，作为结果（输出）人们希望得到的数据第二，作为结果（输出）人们希望得到的数据也是离散如也是离散如20002000年，年，20202020年，年，20502050年年.的人口总的人口总数，各个人口指数人口的年龄分布等：数，各个人口指数人口的年龄分布等： 第三，连续模型解的表达式中包含了未知函数，第三，连续模型解的表达式中包含了未知函数，用解析方程迭代求解是非常困难的，与其用数值方法用解析方程迭代求解是非常困难的，与其用数值方法解连续模型，不如直接建立离散模型。解连续模型，不如直接建立离散模型。 一般时间以年为单位，年龄按周计算，设最年龄一般时间以年为
23、单位，年龄按周计算，设最年龄为为m m发，现发，现Xi(t)Xi(t)为第为第t t年年i i岁（满岁（满i i周岁而不到周岁而不到i+1i+1）的）的人数。人数。t=0,1,2,i=0,1,2m.t=0,1,2,i=0,1,2m. 只考虑由于生育，老在和死亡引起的人口演变，只考虑由于生育，老在和死亡引起的人口演变，而不计迁移等社会因素的影响，记而不计迁移等社会因素的影响，记di(t)di(t)为第为第t t年年i i岁岁人口的死亡率，即人口的死亡率，即1( )(1)( )( )iiiixtxtdtxt1 (1)= 1- ( )( ) iiixtd tx t于是（）i=0，1，2m-1， t=
24、0,1,2 但但bi(t)bi(t)为第为第t t年年i i发女性生育率，即每位发女性生育率，即每位女性平均生育婴儿数，女性平均生育婴儿数，i1,i2i1,i2为育龄区间，为育龄区间，Ri(t)Ri(t)为第为第t t年年i i岁人口的女性比，则第岁人口的女性比，则第t t年的出年的出生人数为生人数为 21( )( )( )( )iiiiiiftbt Rt xt 记记d00(t)d00(t)为第为第t t年婴儿死亡率，即第年婴儿死亡率，即第t t年年出生但未活到人口统计时刻的婴儿比例：出生但未活到人口统计时刻的婴儿比例：000( )( )( )( )ftxtdtft0000 () (1() (
25、)x td t f t 于 是 对于对于i=0i=0将，带入得将，带入得211000(1)(1( )(1( )( )( )( )iiiiiixtdtdtb t kt xt ( )( )( )( )iiib tb tt h t将分 解 为 21( )1iiiiht 利用式对式求和得到利用式对式求和得到21( )( )iiiitbt 可知可知(t)(t)表示第表示第t t年每个育龄妇女平均生育年每个育龄妇女平均生育的婴儿数，若设在的婴儿数，若设在t t年后的一个育龄时期内各个年后的一个育龄时期内各个年龄的女性生育率年龄的女性生育率bi(t)bi(t)都不变，那么都不变，那么(t)(t)又又可表为可
26、表为11 1221( )( )(1)() iiitb tbtb tii 则则(t)(t)是第是第t t年年i1i1岁的每位妇女一生平岁的每位妇女一生平均生育的婴儿数，称总和生育率，或生育胎均生育的婴儿数，称总和生育率，或生育胎次，是控制人口数量的主要参数。次，是控制人口数量的主要参数。将式带入式，并记将式带入式，并记000( )(1( )(1( ) ( ) ( )iiib tdtd t h t k t 则式写作则式写作 21(1)( )( )( )iiiiiix ttbt x t 引入变量，矩阵记号引入变量，矩阵记号123( )( ),( ),( )( )mx tx tx tx txt 110
27、001( )00( )01( )0mdtA tdt 1200( )( )0( )000iib tb tt 那么和式（那么和式（i=1,2m-1i=1,2m-1）可以换作）可以换作(1)( ) ( )( ) ( ) ( )x tA t x tt B t x t 这个向量形成的一阶差分方程就是人口发展方程，这个向量形成的一阶差分方程就是人口发展方程，当初始人口分布当初始人口分布x(0)x(0)已知，又由统计资料确定了已知，又由统计资料确定了A(t),B(t),A(t),B(t),并且给定了总和生育并且给定了总和生育(t)(t)以后，用这个方以后，用这个方程不难预测人口的发展过程。程不难预测人口的发
28、展过程。 在控制理论中在控制理论中X(t)X(t)称状态变量，可将称状态变量，可将(t)(t)作为作为控制变量，因为对于控制变量，因为对于(t)(t)和和X(t)X(t)分别是线性的，所以分别是线性的，所以是双线性方程，有控制可得出其性质和解法，在此不加是双线性方程，有控制可得出其性质和解法，在此不加以讨论。在稳定的社会环境下可以认为死亡率，生育模以讨论。在稳定的社会环境下可以认为死亡率，生育模式和女性比不随时间变换，于是式和女性比不随时间变换，于是A(t),B(t)A(t),B(t)为常数矩阵，为常数矩阵，化为化为(1)( )( )( ) x tAx tt Bx t 人口指数人口指数 1 1
29、 人口指数人口指数N(t)N(t)0()()miiNtxt2 2 平均年龄平均年龄 R(t)R(t) 01( )( )( )miiR tixtN t3 3 平均寿命平均寿命 S(t)S(t)0() 0( )jjimdtjSte4 4 老龄化指数老龄化指数W(t)W(t)()()()RtWtSt W(t)0.5W(t)0.5时属于青壮年型社会。时属于青壮年型社会。5 5 依赖性指数依赖性指数(t)(t)( )( )( )( )N tL ttL t2211 ( )1( ) ( )( )( )lliiiii li lL tk tx tk t x t其中 L1,L2 L1,L2和和L1,L2L1,L2
30、是男性和女性劳动是男性和女性劳动力的年龄区间，力的年龄区间，L(t)L(t)是有劳动能力的人口数，于是有劳动能力的人口数，于是是(t)(t)表示每个劳动力需供养的人口数。表示每个劳动力需供养的人口数。 我国我国e=0.985e=0.985（19781978）. .世界平均世界平均=0.695=0.6955 5 随机人口模型随机人口模型背景背景 一个人的出生和死亡是随机事件一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区一个国家或地区平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率确定性模型确定性模型一个家族或村落一个家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率随机性模型随机性模型对象对象X(t) 时刻时刻 t
31、 的人口的人口, 随机变量随机变量.Pn(t) 概率概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究研究Pn(t)的变化规律；得到的变化规律；得到X(t)的期望和方差的期望和方差若若X(t)=n, 对对t到到t+ t的出生和死亡概率作以下假设的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与出生一人的概率与 t成正比，记成正比，记bn t ;出生二人及二人以上的概率为出生二人及二人以上的概率为o( t).2)死亡一人的概率与死亡一人的概率与 t成正比，记成正比，记dn t ;死亡二人及二人以上的概率为死亡二人及二人以上的概率为o( t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。出生和死亡是相互独立的随机
32、事件。 bn与与n成正比，记成正比，记bn= n , 出生概率出生概率；dn与与n成正比，记成正比，记dn= n， 死亡概率死亡概率。进一步假设进一步假设模型假设模型假设)()1)()()()(1111totdtbtPtdtPtbtPttPnnnnnnnn建模建模为得到为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，的变化规律，考察考察Pn(t+ t) =P(X(t + t)=n).事件事件X(t + t)=n的分解的分解X(t)=n-1, t内出生一人内出生一人X(t)=n+1, t内死亡一人内死亡一人X(t)=n, t内没有出生和死亡内没有出生和死亡其它其它(出生或死亡二人，出生或死亡二
33、人，出生且死亡一人，出生且死亡一人， )概率概率Pn(t+ t) Pn-1(t), bn-1 t Pn+1(t), dn+1 t Pn(t), 1-bn t -dn t o( t)()()() 1()() 1(11tnPtPntPndtdPnnnn)()()()(1111tPdbtPdtPbdtdPnnnnnnnn一组递推微分方程一组递推微分方程求解的困难和不必要求解的困难和不必要00, 0, 1)0(nnnnPn(t=0时已知人口为时已知人口为n0)转而考察转而考察X(t)的期望和方差的期望和方差bn= n，dn= n微分方程微分方程建模建模1)()()()(nntEtnPdtdE)()()
34、()1()()1(121111tPntPnntPnndtdEnnnnnn1)()(nntnPtEX(t)的期望的期望求解求解)()()() 1()() 1(11tnPtPntPndtdPnnnn基本方程基本方程1)()1(kktPkkn-1=k1nndtdPndtdEn+1=k)()1(1tPkkkk精品课件精品课件！精品课件精品课件！求解求解0)0()()(nEtEdtdErtextx0)( 比较：确定性指数增长模型比较：确定性指数增长模型)()()(212tEtPntDnnX(t)的方差的方差E(t)- (t) - = r D(t) rentErt,)(0E(t)+ (t)Et0n0 , D(t) 1)()()(0tteentDX(t)大致在大致在 E(t) 2 (t) 范围内（范围内（ (t) 均方差）均方差）r 增长概率增长概率r 平均增长率平均增长率
