1、第28讲平面向量基本定理及坐标运算,考试要求1.平面向量的基本定理及其意义(A级要求)；2.平面向量的正交分解及其坐标表示(B级要求)；3.用坐标表示平面向量的线性运算及平面向量共线的条件(B级要求).,1.思考辨析(在括号内打“”或“”),(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.(),诊 断 自 测,解析(1)共线向量不可以作为基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.,答案(1)(2)(3)(4),2.(2017苏州期末)已知向量a(2，4)
2、，b(1，1)，则2ab_.,解析2ab2(2，4)(1，1)(3，9).答案(3，9),3.(2015江苏卷)已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.,答案3,4.(2017山东卷)已知向量a(2，6)，b(1，)，若ab，则_.,解析由ab可得162，故3.答案3,5.(必修4P82习题6改编)已知 ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_.,答案(1，5),1.平面向量的基本定理,如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a _.其中，不共线的向量e1，
3、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.,知 识 梳 理,不共线,1e12e2,2.平面向量的正交分解,把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解.,互相垂直,3.平面向量的坐标运算,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x1，y1),4.平面向量共线的坐标表示,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab?_.,(x2x1，y2y1),x1y2x2y10,考点一平面向量基本定理,规律方法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表
4、示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.,考点二平面向量的坐标运算与向量共线的坐标表示,【例2】 (1)(2018苏州暑假测试)设x，yR，向量a(x，1)，b(2，y)，且a2b(5，3)，则xy_.,(2)(2018南京学情调研)已知向量a(1，2)，b(m，4)，且a(2ab)，则实数m的值为_.,(2)由题意得a(1，2)，2ab(2m，8)，因为a(2ab)，所以18(2m)20，故m2.答案(1)1(2)2,规律方法(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐
5、标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.,(2)已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_.,(2)由a(1，2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)0，即m4.从而b(2，4)，那么2a3b2(1，2)3(2，4)(4，8).答案(1)(5，14)(2)(4，8),考点三平面向量基本定理及向量共线定理的应用(多维探究)命题角度1求坐标【例31】 若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_.,命题角度2解析法,又BOC45，cosAOBcos(45)cos cos 45sin sin 45,答案3,命题角度
6、3求范围(最值),规律方法1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式.2.向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2x2y10.,【训练3】 (1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.,解析(1)如图，取单位向量i，j，则ai2j，b2ij，c3i4j.,cxaybx(i2j)y(2ij)(x2y)i(2xy)j，,(2)设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，,所以点P的坐标为(8，15).,
