1、2019-2021年郴州中考数学压轴题真题汇编二次函数压轴题1. （2021郴州）将抛物线yax2（a0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：ya（xh）2+k抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C已知A（3，0），点P是抛物线H上的一个动点（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PDAB，垂足为D，PD交AC于点E作PFAC，垂足为F，求PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条
2、件的点P的坐标；若不存在，说明理由2. （2020郴州）如图1，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C已知直线ykx+n过B，C两点（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D设PDC的面积为S1，ADC的面积为S2，求的最大值；如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EFBC，垂足为F点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由3. （2019郴州）已知抛物线yax2+bx+3与x
3、轴分别交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点如图1，设k，当k为何值时，CFAD？如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由几何压轴题4. （2021郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90得到AG，连接GC，HB（1）证明：AHBAGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q证明：在点H的运动过程中，总有HFG90；若ABAC4，当
4、EH的长度为多少时AQG为等腰三角形？5. （2020郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，ADC90，AD4点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为（090）（1）如图2，在旋转过程中，判断AGD与CED是否全等，并说明理由；当CECD时，AG与EF交于点H，求GH的长（2）如图3，延长CE交直线AG于点P求证：AGCP；在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由6. （2019郴州）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，
5、延长EA1交直线DC于点F，再把BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H（1）求证：A1DEB1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为DEF内一点，且DGF150，试探究DG，EG，FG的数量关系阅读理解及函数图像压轴题7. （2021郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位元）之间有如下表所示关系：x4.05.05.56.57.5y8.06.05.03.01.0（1）根据表中的数据
6、，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），写出P关于x的函数表达式；该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？8. （2020郴州）为了探索函数yx+（x0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法列表：x12345y2描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑
7、曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0x1x21，则y1 y2；若1x1x2，则y1 y2；若x1x21，则y1 y2（填“”，“”或“”）（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元请写出y与x的函数关系式；若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？9. （2019郴州）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数
8、为分段函数下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y的图象与性质列表：x3210123y121012描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：点A（5，y1），B（，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 y2，x1 x2；（填“”，“”或“”）当函数值y2时，求自变量x的值；在直线x1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3y4，求x3+x4的值；若直线ya与函数
9、图象有三个不同的交点，求a的取值范围参考答案与试题解析1. （2021郴州）将抛物线yax2（a0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：ya（xh）2+k抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C已知A（3，0），点P是抛物线H上的一个动点（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PDAB，垂足为D，PD交AC于点E作PFAC，垂足为F，求PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点
10、P的坐标；若不存在，说明理由解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（1，4），抛物线H：ya（x+1）2+4，将A（3，0）代入，得：a（3+1）2+40，解得：a1，抛物线H的表达式为y（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：yx22x+3，令x0，得y3，C（0，3），设直线AC的解析式为ymx+n，A（3，0），C（0，3），解得：，直线AC的解析式为yx+3，设P（m，m22m+3），则E（m，m+3），PEm22m+3（m+3）m23m（m+）2+，10，当m时，PE有最大值，OAOC3，AOC90，AOC是等腰直角三角形，ACO45，PDAB，ADP90，ADPAOC，PDOC，
11、PEFACO45，PFAC，PEF是等腰直角三角形，PFEFPE，SPEFPEEFPE2，当m时，SPEF最大值（）2；（3）当AC为平行四边形的边时，则有PQAC，且PQAC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则AHGACOPQG，在PQG和ACO中，PQGACO（AAS），PGAO3，点P到对称轴的距离为3，又y（x+1）2+4，抛物线对称轴为直线x1，设点P（x，y），则|x+1|3，解得：x2或x4，当x2时，y5，当x4时，y5，点P坐标为（2，5）或（4，5）；当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，A（3，0），C（0，3），M（，），
12、点Q在对称轴上，点Q的横坐标为1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（1）2（）3，x2，此时y3，P（2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，5）或（4，5）或（2，3）2. （2020郴州）如图1，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C已知直线ykx+n过B，C两点（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D设PDC的面积为S1，ADC的面积为S2，求的最大值；如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EFBC，垂足为F点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E
13、，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）把A（1，0），B（3，0）代入yax2+bx+3得：，解得抛物线的表达式为yx2+2x+3，点C坐标为（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入ykx+n得：，解得直线BC的表达式为yx+3（2）PA交直线BC于点D，设点D的坐标为（m，m+3），设直线AD的表达式为yk1x+b1，解得，直线AD的表达式，yx+，x+x2+2x+3，整理得，（x）（x+1）0解得x或1（不合题意，舍去），点D的横坐标为m，点P的横坐标为，分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：DMPN，OMm
14、，ON，OA1，设t，则t整理得，（t+1）m2+（2t3）m+t0，0，（2t3）24t（t+1）0，解得t有最大值，最大值为存在，理由如下：过点F作FGOB于G，如图2中，yx2+2x+3的对称轴为x1，OE1，B（3，0），C（0，3）OCOB3，COB90，OCB是等腰直角三角形，EFB90，BEOBOE2，EFB是等腰直角三角形，FGGBEG1，点F的坐标为（2，1），当EF为边时，四边形EFPQ为平行四边形，QEPF，QEPFy轴，点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x2时，y22+22+33，点P的坐标为（2，3），QEPF312，点Q的坐标为（1，2），根据对称性当P（0，3）
15、时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形当EF为对角线时，如图3中，四边形PEQF为平行四边形，QEPF，QEPFx轴，同理求得：点P的坐标为（2，3），QEPF312，点Q的坐标为（1，2）；综上，点P的坐标为（2，3），点Q的坐标为（1，2）或（1，2），P（0，3）时，Q（1，4）3. （2019郴州）已知抛物线yax2+bx+3与x轴分别交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点如图1，设k，当k为何值时，CFAD？如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，
16、请说明理由解：（1）抛物线yax2+bx+3过点A（3，0），B（1，0），解得：，抛物线解析式为yx22x+3；yx22x+3（x+1）2+4顶点D的坐标为（1，4）；（2）在RtAOC中，OA3，OC3，AC2OA2+OC218，D（1，4），C（0，3），A（3，0），CD212+122AD222+4220AC2+CD2AD2ACD为直角三角形，且ACD90，F为AD的中点，在RtACD中，tan，在RtOBC中，tan，ACDOCB，OAOC，OACOCA45，FAOACB，若以A，F，O为顶点的三角形与ABC相似，则可分两种情况考虑：当AOFABC时，AOFCBA，OFBC，设直线B
17、C的解析式为ykx+b，解得：，直线BC的解析式为y3x+3，直线OF的解析式为y3x，设直线AD的解析式为ymx+n，解得：，直线AD的解析式为y2x+6，解得：，F（）当AOFCAB45时，AOFCAB，CAB45，OFAC，直线OF的解析式为yx，解得：，F（2，2）综合以上可得F点的坐标为（）或（2，2）4. （2021郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90得到AG，连接GC，HB（1）证明：AHBAGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q证明：在点H的
18、运动过程中，总有HFG90；若ABAC4，当EH的长度为多少时AQG为等腰三角形？【解答过程】（1）证明：如图1，由旋转得：AHAG，HAG90，BAC90，BAHCAG，ABAC，ABHACG（SAS）；（2）证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABCACB45，点E，F分别为AB，AC的中点，EF是ABC的中位线，EFBC，AEAB，AFAC，AEAF，AEFABC45，AFEACB45，EAHFAG，AHAG，AEHAFG（SAS），AFGAEH45，HFG45+4590；分两种情况：i）如图3，AQQG时，AQQG，QAGAGQ，HAGHAQ+QAGAHG+AGH90，
19、QAHAHQ，AQQHQG，AHAG，AQGH，AFGAFH45，FGQFHQ45，HFGAGFAHF90，四边形AHFG是正方形，AC4，AF2，FGEH，当EH的长度为时，AQG为等腰三角形；ii）如图4，当AGQG时，GAQAQG，AEHAGQ45，EAHGAQ，AHEAQGEAH，EHAE2，当EH的长度为2时，AQG为等腰三角形；综上，当EH的长度为或2时，AQG为等腰三角形5. （2020郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，ADC90，AD4点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为（090）（1）如图2，在旋转过程中
20、，判断AGD与CED是否全等，并说明理由；当CECD时，AG与EF交于点H，求GH的长（2）如图3，延长CE交直线AG于点P求证：AGCP；在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由解：（1）如图2中，结论：AGDCED理由：四边形EFGD是正方形，DGDE，GDE90，DADC，ADC90，GDEADC，ADGCDE，AGDCED（SAS）如图2中，过点A作ATGD于TAGDCED，CDCE，ADAG4，ATGD，TGTD1，AT，EFDG，GHFAGT，FATG90，GFHATG，GH（2）如图3中，设AD交PC于OAGDCED，DAGDCE，DC
21、E+COD90，CODAOP，AOP+DAG90，APO90，CPAGCPA90，AC是定值，当ACP最小时，PC的值最大，当DEPC时，ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），CED90，CD4，DE2，EC2，EFDE2，CPCE+EF2+2，PC的最大值为2+26. （2019郴州）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H（1）求证：A1DEB1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1
22、恰好落在直线MN上，试判断DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为DEF内一点，且DGF150，试探究DG，EG，FG的数量关系解：（1）证明：由折叠的性质可知：DAEDA1E90，EBHEB1H90，AEDA1ED，BEHB1EH，DEA1+HEB190又HEB1+EHB190，DEA1EHB1，A1DEB1EH；（2）结论：DEF是等边三角形；理由如下：直线MN是矩形ABCD的对称轴，点A1是EF的中点，即A1EA1F，在A1DE和A1DF中，A1DEA1DF（SAS），DEDF，FDA1EDA1，又ADEA1DE，ADF90ADEEDA1FDA130，EDF60，
23、DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2GE2，理由如下：由（2）可知DEF是等边三角形；将DGE逆时针旋转60到DGF位置，如解图（1），GFGE，DGDG，GDG60，DGG是等边三角形，GGDG，DGG60，DGF150，GGF90，GG2+GF2GF2，DG2+GF2GE2，7. 某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位元）之间有如下表所示关系：x4.05.05.56.57.5y8.06.05.03.01.0（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数
24、图象；（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），写出P关于x的函数表达式；该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？解：（1）（2）根据图象设ykx+b，把（4.0，8.0）和（5.0，6.0）代入上式，得，解得，y2x+16，y0，2x+160，解得x8，y关于x的函数表达式为y2x+16（x8）；（3）P（x2）y（x2）（2x+16）2x2+20x32，即P与x的函数表达式为：P2x2+20x32（x8）；物价局限定商品的销售单
25、价不得超过进价的200%，x2200%，即x4，由题意得P10，2x+20x3210，解得x13，x27，x4，此时销售单价为3元8. 解：（1）函数图象如图所示：（2）若0x1x21，则y1y2；若1x1x2，则y1y2，若x1x21，则y1y2故答案为，（3）由题意，y1+（2x+）0.51+x+（x0）由题意1+x+3.5，x0，可得2x25x+20，解得：x2，长x应控制在x2的范围内9. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y的图象与性质列表：x3210123y121012描点：在平面直角坐标系
26、中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：点A（5，y1），B（，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“”，“”或“”）当函数值y2时，求自变量x的值；在直线x1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3y4，求x3+x4的值；若直线ya与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围解：（1）如图所示：（2）A（5，y1），B（，y2），A与B在y上，y随x的增大而增大，y1y2；C（x1，），D（x2，6），C与D在y|x1|上，观察图象可得x1x2；故答案为，；当y2时，2，x（不符合）；当y2时，2|x1|，x3或x1；P（x3，y3），Q（x4，y4）在x1的右侧，1x3时，点关于x1对称，y3y4，x3+x42；由图象可知，0a2；
