1、第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与线性方程组与线性方程组知识点回顾：克拉默法则知识点回顾：克拉默法则结论结论 1 1 如如果线性方程组果线性方程组(1)(1)的系数行列式不等于零，则的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解该线性方程组一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的. .（P. 22定理定理3）结论结论 1如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零系数行列式必为零. . 设设11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 用克拉默法则解线性
2、方程组的两个条件：用克拉默法则解线性方程组的两个条件： (1) (1) 方程个数等于未知量个数；方程个数等于未知量个数； (2) (2) 系数行列式不等于零系数行列式不等于零. . 线性方程组的线性方程组的解受哪些因素解受哪些因素的影响？的影响？11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb bAx1 1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换例例1：求解线性方程组求解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组三种变换：三种变换： 交换方程的次序，记作交换方程的次序，记作 ； 以非零常数以非零常数 k 乘某个方程，记作乘某个方
3、程，记作 ； 一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作倍，记作 . . 其逆变换是：其逆变换是：结论：结论： 由于对原线性方程组施行的变由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解的方程组同解. .1.1.在上述变换过程中，实际上只在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算算，未知数并未参与运算iji k i k jiji k i+k jijik ik j定义：定义：下列三种变换称为矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换：对调两行，记作对调两行，记作 ；ijr
4、r以非零常数以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作乘某一行的所有元素，记作 ； irk 某一行加上另一行的某一行加上另一行的 k 倍，记作倍，记作 . .ijrkr 其逆变换是：其逆变换是：ijrrirk ijrkr ;ijrr;irk .ijrkr 把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”，就得到矩阵的，就得到矩阵的初等列变换初等列变换的定的定义义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换 初等变换初等变换初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换增广矩增广矩阵阵结论：结论：对原线性方程组施行的变换可以对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩
5、阵的变换转化为对增广矩阵的变换.备注备注n带有运算符的矩阵运算，用带有运算符的矩阵运算，用“ = ”例如：例如：矩阵加法矩阵加法数乘矩阵、矩阵乘法数乘矩阵、矩阵乘法矩阵的转置矩阵的转置 T（上标）（上标）方阵的行列式方阵的行列式|n不带运算符的矩阵运算，用不带运算符的矩阵运算，用“”例如：例如：初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换AB有限次初等行变换有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等列变换rAB行等价行等价，记作，记作 cAB列等价列等价，记作，记作 二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换AB有限次初等变换有限次初等变换AB矩阵矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 等价等价，记作，记作矩阵之间
6、的等价关系具有下列性质：矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性反身性 ；对称性对称性 若若 ，则，则 ；传递性传递性 若若 ，则，则 AAAB, AB BCBAAC510104011030001300000B 411214011100001300000B 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的可画出一条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零； 每个台阶只有一行；每个台阶只有一行；1. 阶梯线的竖线后面是非零阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素行的第一个非零元素.行最简形矩阵行最简形矩阵： 非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;4. 这些非零元所在的列的其这些非零元所在的列
7、的其它元素都为零它元素都为零.12rr 23rr 510104011030001300000B 行最简形矩阵行最简形矩阵： 非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;4. 这些非零元所在的列的其这些非零元所在的列的其它元素都为零它元素都为零.10000010000010000000F 标准形矩阵标准形矩阵：6. 左上角是一个单位矩阵，其左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零它元素全为零.34cc412ccc5123433cccc 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵rm nOEFOO 标准形矩阵由标准形矩阵由m、n、r三个参三个参数完全确定，其中数完全确定，其中 r 就是行阶就是行阶梯形矩阵中非零行的
8、行数梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵行最简形矩阵标准形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系三者之间的包含关系 任何矩阵任何矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等行变换 有限次初等列变换有限次初等列变换 有限次初等变换有限次初等变换 结论结论有限次初等行变换有限次初等行变换 定义：定义：n阶单位矩阵阶单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为经过一次初等变换得到的方阵称为初等方阵初等方阵. .三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵. . 对调单位阵的两行（列）；对调单位阵的两行（列）；(2)(2)以常数以常数 k
9、0 乘单位阵的某一乘单位阵的某一 行（列）；行（列）；(3)(3)以以 k 乘单位阵单位阵的某一乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一行（列）加到另一 行（列）行（列） 三、初等方阵三、初等方阵0000000000000000000011111000000000000000000001111150000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 35rr001000000135cc0010000001(1) (1) 对调单位阵的第对调单位阵的第 i, j 行（列），行（列）， 记作记作 E5(3, 5)记作记作 Em( i, j )00
10、0000000000000001111000k000000000000000001111000k50000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 3rk 3ck 00001(2)(2)以常数以常数 k0 乘单位阵第乘单位阵第 i 行（列），行（列）， 记作记作 E5(3(k) 记作记作 Em(i(k) 000000000000000001111100k000000000000000000011111k50000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 35rrk35cck0
11、0001(3)(3)以以 k 乘单位阵乘单位阵第第 j 行行加到加到第第 i 行行, ,记作记作 E5(35(k) 记作记作 Em(ij(k) 以以 k 乘单位阵乘单位阵第第 i 列列加到加到第第 j 列列 53cck000000000000000000011111k?两种理解！两种理解！结论结论( , )mm nEi j A 把矩阵把矩阵A的第的第 i 行与第行与第 j 行对调，即行对调，即 . .ijrr( , )nnmAEi j 把矩阵把矩阵A的第的第 i 列与第列与第 j 列对调，即列对调，即 . .ijcc( ( )mm nEi kA 以非零常数以非零常数 k 乘矩阵乘矩阵A的第的第
12、 i 行，即行，即 . .irk ( ( )nnmAEi k 以非零常数以非零常数 k 乘矩阵乘矩阵A的第的第 i 列，即列，即 . .ick ( ( )mnmEij kA 把矩阵把矩阵A第第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行，即行，即 . .ijrkr ( ( )nnmAEij k 把矩阵把矩阵A第第 i 列的列的 k 倍加到第倍加到第 j 列，即列，即 . .jickc 定理定理3.2 设设A是一个是一个 mn 矩阵，矩阵，对对 A 施行一次施行一次初等行变换初等行变换，相当于在，相当于在 A 的左边的左边乘以相应的乘以相应的 m 阶初等矩阵；阶初等矩阵；对对 A 施行一次施行一
13、次初等列变换初等列变换，相当于在，相当于在 A 的右边的右边乘以相应的乘以相应的 n 阶初等矩阵阶初等矩阵. .口诀：左行右列口诀：左行右列. .定理定理3.3 方阵方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl，使，使 A = P1 P2 , Pl 这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵. . 其实，可逆矩阵的其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵行最简形矩阵也是单位阵推论推论2 方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 . .rAE推论推论1 方阵方阵 A 与与 B 等价的充要条件是存在等价的充要条
14、件是存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P 及及 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q ，使，使 PAQ = B . .，有有时时，由由当当lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例3 3 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23r
15、r 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换例例4 4.341352,343122321 , BABAXX，其其中中使使求求矩矩阵阵解解.1BAXA 可可逆逆，则则若若 343431312252321)(BA 1
16、226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr .1 CAY即即可可得得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA , 1作作初初等等列列变变换换，则则可可对对矩矩阵阵如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列变换列变换),)( ,(),1TTTTCAECA （行变换行变换TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y
17、即可求得即可求得2 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵秩的定义一、矩阵秩的定义定义：定义：在在 mn 矩阵矩阵 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列( k m，kn)，位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在个元素，不改变它们在 A中所处中所处的位置次序而得的的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵 A 的的 k 阶子式阶子式显然，显然，mn 矩阵矩阵 A 的的 k 阶子式共有阶子式共有 个个kkmnC C概念辨析：概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素与元素a12相对应的相对应的余子式余子式2
18、123123133aaMaa 相应的相应的代数余子式代数余子式矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子块阶子块12132223aaaa矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式阶子式12132223aaaa21231 212123133( 1)aaAMaa 111213212223313233aaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa定义：定义：设矩阵设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所有，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵称为矩阵A 的的最高阶非
19、零子式最高阶非零子式，数，数 r 称为称为矩阵矩阵 A 的秩的秩，记作，记作 R(A)规定：规定：零矩阵的秩等于零零矩阵的秩等于零222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa矩阵矩阵 A 的一个的一个 3 阶子式阶子式111213212223313233aaaaaaaaa矩阵矩阵 A 的的 2 阶子式阶子式 如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 2 阶子式都等于零，那么这个阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也阶子式也等于零等于零 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 定义：定义：设矩阵设矩阵 A 中有一个不等于
20、零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所有，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵称为矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数 r 称为称为矩阵矩阵 A 的秩的秩，记作，记作 R(A)l根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表阶子式来表示示l如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有阶子式都等于零，那么所有 r +2阶子式也都等于零
21、阶子式也都等于零 l事实上，所有高于事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都阶的子式（如果存在的话）也都等于零等于零 因此矩阵因此矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数规定：规定：零矩阵的秩等于零零矩阵的秩等于零矩阵矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数 显然，显然，n若矩阵若矩阵 A 中有某个中有某个 s 阶子式不等于零，则阶子式不等于零，则 R(A) s ；若矩阵若矩阵 A 中所有中所有 t 阶子式等于零，则阶子式等于零，则 R(A) t n若若 A 为为 n 阶矩阵，则阶矩阵，则 A 的的 n 阶子式只有
22、一个，即阶子式只有一个，即|A| 当当|A|0 时，时， R(A) = n ;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵满秩矩阵当当|A| = 0 时，时， R(A) n ;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵降秩矩阵n若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m, n) nR(AT) = R(A) 矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式阶子式TD 矩阵矩阵 AT 的一个的一个 2 阶子式阶子式111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 12132223aaaaD AT 的子式与的子式与 A 的子
23、式对应相等，从而的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) 112131122232132333142434TaaaaaaAaaaaaa 12221323aaaa例：例：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A21032031250004300000B 解：解：在在 A 中，中，2 阶子式阶子式 12023 A 的的 3 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A|，而且，而且|A| = 0，因此，因此 R(A) = 2 例：例：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A解（续）：解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有是一个行阶梯形
24、矩阵，其非零行有 3 行，因此行，因此其其 4 阶子式全为零阶子式全为零以非零行的第一个非零元为对角元的以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式阶子式 213032240004 ，因此，因此 R(B) = 3 还存在其还存在其它它3 阶非零阶非零子式吗？子式吗？21032031250004300000B 例：例：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A解（续）：解（续）：B 还有其它还有其它 3 阶非零子式，例如阶非零子式，例如203012800421203518003 2020156003 结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非
25、零行的行数21032031250004300000B 二、矩阵的秩的计算二、矩阵的秩的计算例：例：求矩阵求矩阵 A 的秩，其中的秩，其中 32050323612015316414A 分析：分析：在在 A 中，中，2 阶子式阶子式 2012016A 的的 3 阶子式共有阶子式共有 (个个)，要从要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的334540C C 一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的 . .行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数. .一个自然的想法是用初
26、等变换将一般的矩阵化为一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵. .两个等价的矩阵的秩是否相等？两个等价的矩阵的秩是否相等？定理：定理：若若 A B，则，则 R(A) = R(B) 应用：应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩该矩阵的秩例：例：求矩阵求矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式32050323612015316414A 解：解：第一步先用初等行变换把矩
27、阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A) = 3 第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列0161041004000B 0325326205161rA ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一、二、四列二、四列3205016414323610431120153000481641400000rA 00325161326041205004161000rAB R(A0) = 3，计算，计
28、算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式3253256113266011216025205205 因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式分析：分析：对对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯的行阶梯形矩阵为形矩阵为 ，则，则 就是就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出中同时看出R(A)及及 R(B) 例：例：设设 ，求矩阵，求矩阵 A 及矩阵及矩阵B = (A, b) 的秩的秩1221124802, 2423336064Ab ( , )BA b A 解：解：12211122112480
29、20021024233000013606400000rB R(A) = 2R(B) = 3矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质 若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若若 A B，则，则 R(A) = R(B) 若若 P、Q 可逆，则可逆，则 R(PAQ) = R(B) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特别地，当特别地，当 B = b 为非零列向量时，有为非零列向量时，有R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若若 Amn Bnl = O，则，则 R(A)R(
30、B)n 例：例：设设 A 为为 n 阶矩阵，阶矩阵， 证明证明 R(AE)R(AE)n 例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，则，则R(B) = R(C) 附注：附注：n当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩列满秩矩阵矩阵n特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵阵，也就是可逆矩阵n本题中，当本题中，当 C = O，这时结论为：，这时结论为：设设 AB = O，若，若 A 为列满秩矩阵，则为列满秩矩阵，则 B = O 101040110
31、30001300000 11214011100001300000 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的可画出一条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零； 每个台阶只有一行；每个台阶只有一行；1. 阶梯线的竖线后面是非零阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素行的第一个非零元素.行最简形矩阵行最简形矩阵： 非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;4. 这些非零元所在的列的其这些非零元所在的列的其它元素都为零它元素都为零.12rr 23rr 分析：分析：若若 R(A) = n，则，则 A 的行最简形矩阵应该的行最简形矩阵应该n有有 n 个非零行；个非零行；n每个非零行的第一个非零
32、元为每个非零行的第一个非零元为 1 ；n每个非零元所在的列的其它元素都为零每个非零元所在的列的其它元素都为零于是于是 A 的行最简形中应该包含以下的行最简形中应该包含以下 n 个列向量：个列向量：100010, , , 001000000 又因为又因为 A 是是 mn 矩阵，所以矩阵，所以 A 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 前前 n 行行后后 m - n 行行nEO例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，则，则R(B) = R(C) 例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，则，则R(B) = R(C) 附注：附注：n当一个矩阵的秩等于它的列数
33、时，这样的矩阵称为当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩列满秩矩阵矩阵n特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵阵，也就是可逆矩阵因此，本例的结论当因此，本例的结论当 A 为为方阵时，就是性质为为方阵时，就是性质 n本题中，当本题中，当 C = O，这时结论为：，这时结论为：设设 AB = O，若，若 A 为列满秩矩阵，则为列满秩矩阵，则 B = O 3 线性方程组的解线性方程组的解一、线性方程组的表达式一、线性方程组的表达式n一般形式一般形式n 向量方程的形式向量方程的形式方程组可简化为方程组可简化为
34、AX = b n增广矩阵的形式增广矩阵的形式n向量组线性组合的形式向量组线性组合的形式12312334521xxxxxx 34151121 12334151121xxx 12334151121xxx 二、线性方程组的解的判定二、线性方程组的解的判定设有设有 n 个未知数个未知数 m 个方程的线性方程组个方程的线性方程组11112211211222221122,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 定义：定义：线性方程组如果有解，就称它是线性方程组如果有解，就称它是相容的相容的；如果无解，；如果无解，就称它是就称它是不相容的不相容的问题问题1：方程组是否有解
35、？方程组是否有解？问题问题2：若方程组有解，则解是否唯一？若方程组有解，则解是否唯一？问题问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？ m、n 不一不一定相等！定相等！定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 Ax = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 分析：分析：只需证明条件的充分性，即只需证明条件的充分性，即 R(A) R(A, b
36、) 无解；无解； R(A) = R(A, b) = n 唯一解；唯一解； R(A) = R(A, b) n 无穷多解无穷多解那么那么 无解无解 R(A) R(A, b) ； 唯一解唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； 无穷多解无穷多解 R(A) = R(A, b) n 证明：证明：设设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设，为叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的的行最行最简形矩阵简形矩阵为为第一步：第一步：往证往证 R(A) R(A, b) 无解无解若若 R(A) R(A, b) ，即，即 R(A, b) = R(A)1，则，则 dr+1 = 1 于是于是 第第 r +1
37、行对应矛盾方程行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解111,1212,2,1,1(1)10001000100000000000000000n rn rrr n rrrmnbbdbbdbbdBd R(A) R(A, b) R(A)1 前前 r 列列 后后 n - r 列列 前前 n 列列前前 r 列列100010001000000000B 12(1)000nmnddd 第二步：第二步：往证往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解唯一解若若 R(A) = R(A, b) = n，故原线性方程组有唯一解故原线性方程组有唯一解后后 n - r 列列 则则 dr+1
38、 = 0 且且 r = n，对应的线性方程组为对应的线性方程组为1122,.nnxdxdxd B 从而从而 bij 都不出现都不出现. .111,212,1,000000n rn rrr n rbbbbbb 121(1)00rrmndddd 前前 r 列列111,212,1,000000n rn rrr n rbbbbbb 12(1)000nmnddd 121(1)00rrmndddd n 列列第二步：第二步：往证往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解唯一解若若 R(A) = R(A, b) = n，故原线性方程组有唯一解故原线性方程组有唯一解 则则 dr+1 = 0 且且 bij
39、 都不出现都不出现. . 即即 r = n，100010001000000000B 前前 r 行行后后 mr 行行后后 n - r 列列 n 行行12100010001nddd对应的线性方程组为对应的线性方程组为1122,.nnxdxdxd 后后 mn 行行第三步：第三步：往证往证 R(A) = R(A, b) n 无穷多解无穷多解若若 R(A) = R(A, b) n ， 对应的线性方程组为对应的线性方程组为前前 r 列列 则则 dr+1 = 0 . .后后 n - r 列列 即即 r n ， 111,1212,2,1,1(1)10001000100000000000000000n rn r
40、rr n rrrmnbbdbbdbbdBd 11111,122112,211,.rn rnrn rnrrrr n rnrxb xbxdxb xbxdxb xbxd B 11111,122112,211,.rn rnrn rnrrrr n rnrxb xbxdxb xbxdxb xbxd 11111,122112,211,.rn rnrn rnrrrr n rnrxb xbxdxb xbxdxb xbxd 令令 xr+1, , xn 作自由变量，则作自由变量，则 再令再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则，则 111 11,11 1,11n rn rrrr
41、 n rn rrrnn rxb cbcdxb cbcdxcxc 111,11,1100010n rrr n rrn rbbdbbdcc 线性方程组线性方程组的通解的通解例：例：求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组12341234123412342 2, 2 4,46224,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx 2111210104112140110346224000133697900000rB 解：解：R(A) = R(A, b) = 3 4，故原线性方程组有无穷多解，故原线性方程组有无穷多解2111210104112140110346224000133697900000rB 备注
42、：备注：111,1212,2,1,100010001000000000000000000n rn rrr n rrbbdbbdbbd 有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = r n ，这时，这时 还能根据还能根据R(A) = R(A, b) = r n判断该线性方程组有判断该线性方程组有无限多解吗？无限多解吗？10104011030001300000rB x1x2x3x43410014010130010300000cc 132344,3,3.xxxxx 132344,3,3.xxxxx x1x2x4x3同解同解211121010411214011
43、0346224000133697900000rB 解（续）：解（续）：即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组令令 x3 做自由变量，则做自由变量，则 方程组的通解可表示为方程组的通解可表示为 132344,3,3.xxxxx 132344,3,3.xxxxx 123414131003xxcxx 例：例：求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组12341234123423 1,3 532,2 223.xxxxxxxxxxxx 123111231131532 054012122300002rB 解：解：R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解
44、例：例：求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组12341234123422 0,2 220, 430.xxxxxxxxxxxx 提问：提问：为什么只对系数矩阵为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形进行初等行变换变为行最简形矩阵？矩阵？答：答：因为齐次线性方程组因为齐次线性方程组 AX = 0 的常数项都等于零，于是的常数项都等于零，于是必有必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组判断齐次线性方程组的解的情况的解的情况例：例：设有线性方程组设有线性方程组问问 l l 取何值时，此方程组有取何值时，此方程组有(1) 唯一解；唯一解；(2) 无
45、解；无解；(3) 有无有无限多个解？并在有无限多解时求其通解限多个解？并在有无限多解时求其通解123123123(1) 0,(1) 3, (1).xxxxxxxxxl ll lllll 定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 AX = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 11101113111Bl ll ll ll l 解法解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵对增广矩阵
46、作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵11101113111l ll lllll 1311111131110rrlllll ll l 2131(1)111030(2)(1)rrrrl ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll l 321110300(3)(1)(3)rrl ll ll ll ll ll ll ll ll l 附注：附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l l +1， l l +3 等因等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：式可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对如果作了这样的变换，则需对 l l +1 = 0
47、（或（或 l l +3 = 0）的情况另作讨论的情况另作讨论 2111rrl l 2(1)rl l 3(3)rl l11101111113 0311100(3)(1)(3)rBl ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll l 分析：分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l l 取何值时，取何值时，r2 、r3 是非零行是非零行在在 r2 、r3 中，有中，有 5 处地方出现了处地方出现了l l ，要使这，要使这 5 个元素等个元素等于零，于零， l l = 0，3，3，1 实际上没有必要对这实际上没有必要对这 4 个可能取值逐
48、一进行讨论，先从个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手方程组有唯一解入手11101111113 0311100(3)(1)(3)rBl ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll l 于是于是当当 l l 0 且且 l l 3 时，时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解，有唯一解当当 l l = 0 时，时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，无解，无解当当 l l = 3 时，时，R(A) = R(B) = 2 ，有无限多解，有无限多解11101113111Bl ll ll ll l 解法解法2：因为系数矩阵因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组
49、有唯一解的充是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是分必要条件是 |A| 0 2111|111(3)111Al lll lll ll l 于是当于是当 l l 0 且且 l l 3 时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解当当 l l = 0 时，时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程组无解，方程组无解111011101113 000111100000rB 当当 l l = 3 时，时，R(A) = R(B) = 2 ，方程组有无限多个解，其通解为，方程组有无限多个解，其通解为211010111213 011211230000rB123111210 xxcx 定理：定理：n 元线性方程
50、组元线性方程组 AX = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 分析：分析：因为对于因为对于 AX = 0 必有必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况判断齐次线性方程组的解的情况定理：定理：n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件是是 R(A) n 定理：定理：线性方程组线性
