1、结构优化设计的准则法结构优化设计的准则法 第第2 2章章 结构优化设计的准则法结构优化设计的准则法 最优化方法是最先发展起来的一种结构优最优化方法是最先发展起来的一种结构优化设计方法，从上一世纪化设计方法，从上一世纪50年代开始应用于工年代开始应用于工程结构设计。程结构设计。准则优化法的基本概念：准则优化法的基本概念： 从结构力学原理出发，规定一些优化必须满从结构力学原理出发，规定一些优化必须满足的准则，然后根据这些准则建立达到优化设足的准则，然后根据这些准则建立达到优化设计的迭代公式的方法。计的迭代公式的方法。 满应力准则法、齿形法、能量准则法等满应力准则法、齿形法、能量准则法等 优点：收敛
2、速度快，与优化问题的规模关优点：收敛速度快，与优化问题的规模关系不大系不大,重分析次数与设计变量数目没有直重分析次数与设计变量数目没有直接关系接关系 缺点：有局限性，适用于结构布局及几何缺点：有局限性，适用于结构布局及几何形状已定的情况，设计是接近最优。形状已定的情况，设计是接近最优。2-12-1结构优化设计的满应力准则法结构优化设计的满应力准则法1.1.满应力设计基本思想满应力设计基本思想从结构力学的原理出发，以满应力为其准则，使杆件从结构力学的原理出发，以满应力为其准则，使杆件的材料能够得到充分利用的一种方法。的材料能够得到充分利用的一种方法。其设计思想就是对一个既定的结构布局，通过调整构
3、其设计思想就是对一个既定的结构布局，通过调整构件的断面尺寸，使各构件承受荷载的能力得以充分发件的断面尺寸，使各构件承受荷载的能力得以充分发挥。具体地，对布局已定的结构在多种荷载作用下，挥。具体地，对布局已定的结构在多种荷载作用下，使结构的每个构件至少在一种荷载情况下的应力达到使结构的每个构件至少在一种荷载情况下的应力达到容许应力，此时就认为结构重量是最轻的。容许应力，此时就认为结构重量是最轻的。 满应力设计地解法不是按事后的结果来判满应力设计地解法不是按事后的结果来判断是否达到最优，而是先行确定所谓优的断是否达到最优，而是先行确定所谓优的准则，严格来讲，它并不是最优设计。准则，严格来讲，它并不
4、是最优设计。 一般来说，只有静定结构在单一荷载作用一般来说，只有静定结构在单一荷载作用下，满应力设计才可能是最轻设计（由于下，满应力设计才可能是最轻设计（由于静定结构的的特点决定）；而超静定结构静定结构的的特点决定）；而超静定结构的情况就完全不同了，由于超静定结构各的情况就完全不同了，由于超静定结构各构件的内力与构件截面尺寸有关，每次调构件的内力与构件截面尺寸有关，每次调整截面后，将产生内力重分布。近似解。整截面后，将产生内力重分布。近似解。2.2.满应力准则法中一些概念满应力准则法中一些概念1 1）满应力）满应力 结构元件的应力达到容许应力或临界应力。结构元件的应力达到容许应力或临界应力。2
5、 2）工况）工况 结构是在多种荷载作用下，每一种荷载我们称为结构是在多种荷载作用下，每一种荷载我们称为一种工况。一种工况。3 3）应力比）应力比 元件的工作应力与容许应力之比。/iii3.3.满应力计算（应力比法）满应力计算（应力比法）下面我们以桁架为例，介绍满应力准则法。下面我们以桁架为例，介绍满应力准则法。 设桁架是由设桁架是由n个杆件组成的，受到个杆件组成的，受到L种工况种工况的荷载作用：的荷载作用：设第设第i i 杆在第杆在第j j 工况下的内力为工况下的内力为N Nijij( (i i= =1,21,2,，n n; ; j j=1,2,=1,2,l l),),第第i i杆在各种工杆在
6、各种工况下的最大内力为况下的最大内力为 N Nimaximax，最小重量设计可归结，最小重量设计可归结为：求设计变量为：求设计变量使桁架重量使桁架重量 最小最小21TnAA AA1nii iiWA l1）假设桁架各杆初始截面积为：）假设桁架各杆初始截面积为：1212 ,TTnnXx xxA AA 2）进行结构分析，计算各杆轴力，得到）进行结构分析，计算各杆轴力，得到 应力矩阵。应力矩阵。11121212221212,LLLijnnnLNNNNNNNN NNNNNN式中：式中： 为在第为在第j种工况的作用下，第种工况的作用下，第i根杆件的轴力。根杆件的轴力。进而求得各杆应力：进而求得各杆应力：i
7、jN11112111212222221212/,/,/,/,/, /,/,/LLLijnnnnnLnNA NANANA NANANA NANA 3）计算应力比矩阵）计算应力比矩阵11112111212222221212/,/,/,/,/, /,/,/LLLijnnnnnLn 式中：式中： 为在第为在第j种工况的作用下，第种工况的作用下，第i根杆件的应力比。根杆件的应力比。ij 我们来分析应力比取值情况：我们来分析应力比取值情况：1ij说明此杆的应力大于许用应力，需要增加说明此杆的应力大于许用应力，需要增加此杆的截面积；此杆的截面积；1ij说明此杆的应力小于许用应力，需要减小说明此杆的应力小于许
8、用应力，需要减小此杆的截面积；此杆的截面积；可见可以选择可见可以选择 作为调整各杆截面积的作为调整各杆截面积的依据。依据。ij4）形成应力比列阵）形成应力比列阵5）调整方案及收敛判别）调整方案及收敛判别12 n1 maxiijj L 若若否则否则1i*AAiiiAA6）把调整方案作为初始方案）把调整方案作为初始方案 重新重新迭代。转迭代。转2）继续迭代。）继续迭代。12 TnAA AA12 n1 maxiijj L 图中图中是事先指定是事先指定的小正数。的小正数。对于静定桁架，对于静定桁架，各杆的内力与杆各杆的内力与杆件的截面积无关，件的截面积无关，因此，上面的迭因此，上面的迭代公式只要一次代
9、公式只要一次迭代。迭代。对于超静定结构，对于超静定结构，是一个重复迭代是一个重复迭代的过程。的过程。例例1.1 以以5杆桁架为例。杆桁架为例。 外力外力 许用拉应力许用拉应力 许用压应力许用压应力 杆断面最小尺寸杆断面最小尺寸 求各截面最小尺寸并使求各截面最小尺寸并使结构最轻结构最轻10000P aa10000P 70003500min0.8A 首先假定一个初始设计（静定结构可以首先假定一个初始设计（静定结构可以不必这样做，但为了和静不定结构设计不必这样做，但为了和静不定结构设计统一，假定初始断面面积为统一，假定初始断面面积为1），设初），设初始向量为：始向量为：(0)1(0)2(0)(0)3
10、(0)4(0)5111 ;11AAAAAA 根据平衡条件，求出各杆内力：根据平衡条件，求出各杆内力：(0)111(0)222(0)333(0)444(0)555100001000010000100000;0;10000100001414014140NANNANNNNANNANNA 计算应力比计算应力比 需根据需根据 计算的应力为拉应力或压应力取计算的应力为拉应力或压应力取相应的许用应力相应的许用应力 。 和和 两者两者符号要一致，可取绝对值进行计算。符号要一致，可取绝对值进行计算。 (0)(0)iii123451.431.430;1.434.04ii(0)i 修正初始设计向量修正初始设计向量
11、其中第三元件的断面面积按计算为其中第三元件的断面面积按计算为0，小，小于规定的最小尺寸于规定的最小尺寸 ，因此应，因此应取取 。(0)(0)(0)(0)*iiiiiiAAA12(0)(0)3451.431.431.431.43*00.81.431.434.044.04AAAAAAAmin0.8Amin0.8A 对于静定结构，由于其内力不随元件断对于静定结构，由于其内力不随元件断面尺寸的改变而改变，故只需进行一次面尺寸的改变而改变，故只需进行一次修正设计修正设计 ，各元件的工作应力便都达到，各元件的工作应力便都达到许用应力值，或元件的尺寸取为规定的许用应力值，或元件的尺寸取为规定的最小尺寸。各杆
12、的断面尺寸不能取得比最小尺寸。各杆的断面尺寸不能取得比上述尺寸小，否则将不满足强度要求或上述尺寸小，否则将不满足强度要求或几何约束条件。因此，满应力设计对静几何约束条件。因此，满应力设计对静定结构而言，就是最轻质量设计。定结构而言，就是最轻质量设计。4. .超静定结构超静定结构例例1.21.2：三杆桁架如图，进行最轻重量设计。两种工况：三杆桁架如图，进行最轻重量设计。两种工况： （1 1） （2 2） 1220000N 0NPP120N 20000NPP15000Pa 20000Pa解：解：1 1）分析由于对称性及工况的对）分析由于对称性及工况的对称，优化结果显然称，优化结果显然 ； 2 2）
13、结构重量作为目标函数；）结构重量作为目标函数； 13AA12,TAA A12(2 2)WlAA2121121121212112121211222222222A AAPAA AA ANPAA AA APAA A结构分析：结构分析：211211211211221211222222222AAPAA AAPAA AAPAA A211211221111221121122212112222221222224322AAPAA AAAAPAAA AAA AAAPAA A应力比矩阵：应力比矩阵：初始方案为：初始方案为：1,1TA211211222122243AAAAA AA0.13 3）迭代计算）迭代计算(0)
14、(0)21(0)(0)1(0)2(0)(0)112(0)222212212242(22)33AAAAAAA(1)(0)(0)11222 1 21 2TTAAA 收敛判别收敛判别 迭代计算迭代计算10.1i设计变量设计变量2cm1()Wl(0)11A 0.7070.4140.7070.414满足精度要求的设计：满足精度要求的设计：(96)0.98980.0144A2.8141Wl3.82842.4140.0940.227(1)0.7070.414A1.0940.7742.50810.05410.1847(2)0.77350.3204A1.05410.81532.81410.00010.01011
15、.00010.9898(96)0.98980.0144A如果继续一直迭代下去：如果继续一直迭代下去： 可见退化为静定结构。可见退化为静定结构。()10A 本题的数学模型：本题的数学模型：12min( )(2 2)W AlAA21121121121122121121222222. . 222,0,AAPAA AAPAA As tAPAA AA A我们可以利用图解法求解：我们可以利用图解法求解：212 2WAAl 这是一族平行线，其斜率：这是一族平行线，其斜率：212 2dAdA ( )a第第1 1个约束方程的约束界面：个约束方程的约束界面：2111211222PAAAPA其斜率：其斜率：2111
16、111122111(2 22)(2)(2 22 2)(2)PPPAAAAdAPdAA( )b求（求（a a）、）、(b)(b)方程组：方程组：221111211*1*2*66()066100.7890.4082.639PPAAAAAAWl 通过以上例子，我们可以发现：通过以上例子，我们可以发现：1 1）单工况满应力解将退化为原结构的基本结构；）单工况满应力解将退化为原结构的基本结构；2 2）单工况满应力解不唯一；）单工况满应力解不唯一；3 3）满应力解不是最优解，只有近似解。）满应力解不是最优解，只有近似解。例例1.3 同样考虑上述例子，结构布局、外载方向也同样考虑上述例子，结构布局、外载方向
17、也相同，但数值改为相同，但数值改为 ，此时需，此时需取取 、 、 3个设计变量。个设计变量。 1240000N 20000NPP1A2A3A对应于外载对应于外载P1情况的应力为情况的应力为23111213131223312222AAPAA AA AA AA对应于外载对应于外载P2情况的应力为情况的应力为21212211312233221222APAA AA AA AAA代入具体数据后，可写出不等式约束条件为代入具体数据后，可写出不等式约束条件为31221231212312212312212312112312121222 22( )22 2( )42( )1.522( )1.522( )22(
18、)AAAAA AaAAAA AbAAAAA AcAAAAA AdAAAAA AeAAAAAA Af 前前3式对应于外载式对应于外载P1，后，后3式对应式对应P2通过对于主动约束与被动约束的分析可知当通过对于主动约束与被动约束的分析可知当 时，约束为：时，约束为：1222 20AA2123122123121212312222 241.5222AA AAAAAA AAAAAAA AAAA当当 时时1222 20AA2123121222123121212312222 22041.5222AA AAAAA AAAA AAAAAAA AAAA且需 目标函数为目标函数为12322WAAA231121331
19、11213122312213221222 212.66721.33322AAAAA AA AA AAAAA各元件应力比各元件应力比 1）是否就是最轻质量设计）是否就是最轻质量设计 满应力设计中，目标函数与最优化条件没有任何满应力设计中，目标函数与最优化条件没有任何直接的联系。因此，对于一个满应力设计，其约直接的联系。因此，对于一个满应力设计，其约束方程必须全部满足。束方程必须全部满足。 对于静定结构，内力与元件剖面无关，因此进行对于静定结构，内力与元件剖面无关，因此进行一次迭代循环元件就全部达到满应力，所以自然一次迭代循环元件就全部达到满应力，所以自然是收敛的，而且满应力设计就是最轻设计。是收
20、敛的，而且满应力设计就是最轻设计。 可以看出，可以看出，n个约束条件都是等式，可以唯一决个约束条件都是等式，可以唯一决定定n个变量个变量Aj,因而这时因而这时Aj实际上和最小重量并无实际上和最小重量并无数学上的联系，也就是说满应力设计并不保证使数学上的联系，也就是说满应力设计并不保证使结构质量最轻。除非将其约束方程变为不等式和结构质量最轻。除非将其约束方程变为不等式和使使f(A)为最小，联系起来求解为最小，联系起来求解Aj, 才能保证结构重才能保证结构重量为最轻。这就是数学规划的设计。量为最轻。这就是数学规划的设计。 所以除静定结构外，满应力设计并不一定具有最所以除静定结构外，满应力设计并不一
21、定具有最小重量的。就其几何意义来说，每一约束方程就小重量的。就其几何意义来说，每一约束方程就相当于相当于n维空间的一个超曲面，所以满应力设计维空间的一个超曲面，所以满应力设计点就落在点就落在n个超曲面的交点上。个超曲面的交点上。 2)收敛性收敛性 对于静定结构，内力与设计变量无关，只要运行对于静定结构，内力与设计变量无关，只要运行一次设计运算就可以达到满应力设计，所以自然一次设计运算就可以达到满应力设计，所以自然是收敛的。是收敛的。 对于静不定结构，可以知道，如果对设计变量没对于静不定结构，可以知道，如果对设计变量没有几何约束要求，那么利用满应力设计时，结构有几何约束要求，那么利用满应力设计时
22、，结构可能退化成若干种静定结构，它们仍能承受原来可能退化成若干种静定结构，它们仍能承受原来的几种情况的载荷，因此，满应力设计的结果就的几种情况的载荷，因此，满应力设计的结果就不是唯一的。这就引起人们对满应力设计收敛性不是唯一的。这就引起人们对满应力设计收敛性的疑问。的疑问。 从实用上看，如果在开始几次设计迭代中就收敛从实用上看，如果在开始几次设计迭代中就收敛较快，那么它一般会收敛到某个确定的点上去。较快，那么它一般会收敛到某个确定的点上去。如果一开始就收敛的慢或反复无常，那就可能是如果一开始就收敛的慢或反复无常，那就可能是不收敛的。对于这种情况，可以考虑改变起始设不收敛的。对于这种情况，可以考
23、虑改变起始设计点而重新进行设计。计点而重新进行设计。 为了避免过多的迭代次数以节省计算时间，一个为了避免过多的迭代次数以节省计算时间，一个方法是对收敛条件中规定的设计允许误差值不要方法是对收敛条件中规定的设计允许误差值不要取得过小，或者可以采用把满应力设计方法与射取得过小，或者可以采用把满应力设计方法与射线调参方法结合的措施。线调参方法结合的措施。为了加快迭代，我们引入松弛因子为了加快迭代，我们引入松弛因子 ：(1)( )()kkiiiAA松弛因子初始时取松弛因子初始时取1.051.05至至1.11.1，逐步减少到，逐步减少到1 1。尽管满应力设计存在着上述一些问题，但是它的若干显著特尽管满应
24、力设计存在着上述一些问题，但是它的若干显著特点，使得这个方法还很重要。具体有：点，使得这个方法还很重要。具体有：a)从前面讨论可以看出，在一定条件下满应力设计可以是最从前面讨论可以看出，在一定条件下满应力设计可以是最轻设计。轻设计。b)虽然不同初始点的满应力设计经常会收敛到不同的结果，虽然不同初始点的满应力设计经常会收敛到不同的结果，其中重要的差异可能很大。但是对于大多数实际结构来说，其中重要的差异可能很大。但是对于大多数实际结构来说，其差异是很小的，有的甚至很接近于最优解。其差异是很小的，有的甚至很接近于最优解。C)为达到收敛所需要的，迭代数往往很小，加上当前进行几为达到收敛所需要的，迭代数
25、往往很小，加上当前进行几万阶矩阵分析已不成问题，因此满应力设计受问题规模影万阶矩阵分析已不成问题，因此满应力设计受问题规模影响很小，是目前进行大型结构最轻设计的有效而又经济手响很小，是目前进行大型结构最轻设计的有效而又经济手法。法。d)满应力设计通常是近优设计，因此可以为数学规划法进行满应力设计通常是近优设计，因此可以为数学规划法进行优化设计提供所需的较理想的初始点，以节省时间。优化设计提供所需的较理想的初始点，以节省时间。2-2 2-2 齿形法齿形法 满应力法唯一的准则是满应力法唯一的准则是各杆应力比为各杆应力比为1，最后的迭，最后的迭代点是在约束条件交点上代点是在约束条件交点上取得的！但是
26、实际的最优取得的！但是实际的最优点是位于起作用约束的界点是位于起作用约束的界面上的。为了设法使搜索面上的。为了设法使搜索点落到约束的界面上，引点落到约束的界面上，引出了齿形法出了齿形法可以使迭代可以使迭代点在约束界面上。点在约束界面上。 最优解满应力解 从概念上讲满应力法，有一缺点，即它与质从概念上讲满应力法，有一缺点，即它与质量目标函数无直接关系，而齿形法则把满应力法量目标函数无直接关系，而齿形法则把满应力法与质量的大小联系起来，通过交替进行满应力步与质量的大小联系起来，通过交替进行满应力步与射线步来达到寻求最优解的目的。与射线步来达到寻求最优解的目的。1.1.齿形法的概念齿形法的概念1）一
27、次迭代过程）一次迭代过程 结构优化的过程是由最小循环重复迭代完结构优化的过程是由最小循环重复迭代完成的，我们称这个最小循环为一次迭代过程。完成的，我们称这个最小循环为一次迭代过程。完成一次迭代过程得到的点才能作为原问题的最优成一次迭代过程得到的点才能作为原问题的最优点近似。点近似。 2 2）齿形法思路齿形法思路 由于满应力法收敛到非最优点，为了改变这由于满应力法收敛到非最优点，为了改变这一结果，在满应力迭代过程后增加一种移动，我一结果，在满应力迭代过程后增加一种移动，我们称为射线步，构成一次迭代过程。实际上一次们称为射线步，构成一次迭代过程。实际上一次迭代过程包含两种移动：满应力步；射线步。迭
28、代过程包含两种移动：满应力步；射线步。 齿行法的特点是每进行一次满应力步之后进齿行法的特点是每进行一次满应力步之后进行一次射线步。即从坐标原点出发经过满应力步行一次射线步。即从坐标原点出发经过满应力步的设计点，沿此射线方向回到约束曲线上。由于的设计点，沿此射线方向回到约束曲线上。由于移动的轨迹类似于齿形。故称齿形法，所以齿行移动的轨迹类似于齿形。故称齿形法，所以齿行法与满应力法的主要区别只是偶数步在确定新的法与满应力法的主要区别只是偶数步在确定新的截面面积时有所不同而巳。截面面积时有所不同而巳。齿形法迭代过程图解齿形法迭代过程图解2.2.满应力步：满应力步：从初始点到满从初始点到满应力设计点的
29、应力设计点的移动。移动。 3. 3.射线步：射线步：使迭代点沿坐使迭代点沿坐标原点与满应标原点与满应力设计点连线力设计点连线的方向回到主的方向回到主约束曲面的移约束曲面的移动。动。满应力步满应力步射线步射线步4.4.如何实现射线步如何实现射线步 从满应力步所得到各杆应力比列阵中，选择最从满应力步所得到各杆应力比列阵中，选择最大的大的 作为射线步的变更依据：作为射线步的变更依据：(21)maxk(21)(21)maxmaxkkii(2 )(21)(21)maxkkkiiAA其中：其中：5.5.射线步有下述射线步有下述3 3个特点个特点： 1)1)在走射线步时，由于各元件变量都乘同一常数在走射线步
30、时，由于各元件变量都乘同一常数（用（用 表示之，表示之， ），故元件内力不），故元件内力不变，而应力则为原应力的变，而应力则为原应力的 倍。倍。 证明：证明： 结构位移与载荷之间的关系有：结构位移与载荷之间的关系有： 在由在由k k点到（点到（k+1k+1）点时，各元件面积都同乘一常）点时，各元件面积都同乘一常数数 ，故两刚度矩阵间有下述关系：，故两刚度矩阵间有下述关系： 因此，可得因此，可得 1( )( )kkkP(1)( )kkkk11(1)()1kkkk1(21)maxkii在（在（k+1k+1）点有）点有 其物理意义为若各元件面积增至其物理意义为若各元件面积增至 倍，则位移倍，则位移减
31、少至减少至 倍。倍。1 11kk 11kkPk 11111kkkkPkP 再列出元件内力与位移的关系式再列出元件内力与位移的关系式 其物理意义为各元件内力不变。其物理意义为各元件内力不变。 其物理意义为若各元件面积增至其物理意义为若各元件面积增至 倍，则应力倍，则应力减少至减少至 倍。倍。 kkkFh 1111kkkkkkkkFhhhF kkkFA 1111kkkkkkFFAA1 2 2）当）当 时，这一步所走至时，这一步所走至2k2k点恰好点恰好位于主动约束边界上。位于主动约束边界上。 令令i i元件为此时的主动约束，则有元件为此时的主动约束，则有 3 3）由于各元件截面积同乘常数）由于各元
32、件截面积同乘常数 ，则有，则有关系式关系式 或或 (21)maxkii 21211max1kikkiii21maxkii221221kkiikKjJAAAA222121kkjikKiJAAAA上式物理意义为上式物理意义为 必在沿空间上的射线方向（即必在沿空间上的射线方向（即通过原点与通过原点与 点连线），故我们称之为射线点连线），故我们称之为射线步（也有称作比例步，因乘同一比例常数），如步（也有称作比例步，因乘同一比例常数），如下图所示。此时有下图所示。此时有2kA21kA22121maxkkkWW0.20.80.40.61.00.20.40.60.81.00216543射线步满应力法射线步满
33、应力法2A1A(21)(2 )(21)maxkkiik 每步移动都需要计算应力比列阵，偶数步移动是由有每步移动都需要计算应力比列阵，偶数步移动是由有限元获得；奇数步是通过上述公式获得。这样就减少了限元获得；奇数步是通过上述公式获得。这样就减少了有限元分析次数。有限元分析次数。(0)(1)(1)(21)(21)(21)(2 )(21)max(0)(1)(21)(2 )(21)1maxmaxkkkkiiiiiiikkkkAAAAA应力步射线步射线步应力步5.5.齿行法的计算步骤齿行法的计算步骤1)1)奇数步：选择初始截面奇数步：选择初始截面A A，利用式，利用式 计算应力比列阵。计算应力比列阵。2
34、)2)偶数步：选出奇数步中应力比的最大值，利用式偶数步：选出奇数步中应力比的最大值，利用式确定各杆截面积，计算结构重量，然后利用式确定各杆截面积，计算结构重量，然后利用式 求各杆的应力比。求各杆的应力比。3)3)收敛判别：若收敛判别：若 则则 作为设计点，作为设计点， 否则转否则转1 1）继续迭代。）继续迭代。(2 )(22)kkWW(22)kA12 n 1 maxiijj L (21)(21)maxmaxkkii(2 )(21)(21)maxkkkiiAA(21)(2 )(21)maxkkiik例例2-1 2-1 三杆桁架如例三杆桁架如例2-12-1211211222122243AAAAA
35、AA解：解：1 1）由例）由例2-12-1： 2 2）满应力步，由上式代入初始截面积）满应力步，由上式代入初始截面积A=1,1A=1,1计算应力比计算应力比(1)max2max, 21max0.707,0.4140.70723 3）射线步，计算最大应力比，各杆截面积以及新的应力比，）射线步，计算最大应力比，各杆截面积以及新的应力比，计算结构重量计算结构重量(2)(1)(1)maxiiAA(2)(2)120.707AA(1)2212T(1)(2)(1)maxii(2)(2)121 0.58584 4）重新迭代）重新迭代(3)(2)(2)iiiAA(3)(2)(2)(3)(2)(2)1112220
36、.707 0.414AAAA(3)1.09390.7735(2)2.7071W齿形法设计点为第齿形法设计点为第4 4步得到的结果。步得到的结果。6.6.修改的齿行法修改的齿行法 齿行法避免了收敛到非最优点齿行法避免了收敛到非最优点, ,但是由于精度无法但是由于精度无法控制控制, ,影响了其应用。由于射线步步距取决于满应力步，影响了其应用。由于射线步步距取决于满应力步，因此为了提高计算精度，应当修改满应力步的步距。因此为了提高计算精度，应当修改满应力步的步距。(2 )(2 )1(1)01kkii 其中：其中： 为步长修改因子，为步长修改因子， 的取值取决于对最优解要的取值取决于对最优解要求的精度
37、，求的精度， 取值越小，精度越高，但需迭代的次数也取值越小，精度越高，但需迭代的次数也就越多，通常就越多，通常 取取0.50.5，即，即 当当 时，时， ，步长为零；，步长为零； 当当 时，时， ，步长为原步长。，步长为原步长。0(2 )1ki1(2 )(2 )kkii(21)(2 )(2 )kkkiiiAA(2 )(2 )(2 )11 0.5(1)2kkkiii 例例2-22-2用齿形法计算三杆桁架（例用齿形法计算三杆桁架（例2-22-2）。）。解：初始点同例解：初始点同例2-22-2，进行结构分析：，进行结构分析： 21211212112221122222224322AAAA AAAA A
38、AAA A(1)11A (1)(1)(1)(1)121max(1)2(1)(1)(1)2(1)(1)11211222max,2()22()2max0.7071,0.41420.7071AAAAA AAA A奇数步偶数步（射线步）(2 )(21)(21)maxkkkiiAA(2)(1)(1)(2)(2)max12 0.7071 0.7071iiAAAA(21)(2 )(21)maxkkiik(1)(2)(2)(2)12(1)max0.4142 1 0.58580.7071ii修改满应力步长(2 )(2 )12kkii(2)(2)(2)(2)12121110.58581 0.7929222(21)
39、(2 )(2 )kkkiiiAA满应力步(3)(2)(2)(3)(2)(2)1112220.7071 0.5607AAAA计算结构重量(2)(2)(2)122 22.7071WAA结构分析，计算应力比(3)(3)(3)(3)121max(3)2(3)(3)(3)2(3)(3)11211222max,2()22()2max1.0404,0.66671.0404AAAAAAAAA射线步(4)(3)(3)(4)(4)max12 0.7357 0.5834iiAAAA收敛判别(4)(2)2.66432.7071WW(3)(4)(4)(4)12(3)max0.6667 1 0.64081.0404ii修
40、改满应力步长(4)(4)(4)212110.64081 0.820422(21)(2 )(2 )kkkiiiAA满应力步(5)(4)(4)(5)(4)(4)1112220.7357 0.4786AAAA结构分析，计算应力比(5)(5)(5)(5)121max(5)2(5)(5)(5)2(5)(5)11211222max,2()22()2max1.0336,0.70791.0336AAAAAAAAA射线步(6)(5)(5)(6)(6)max12 0.7604 0.4947iiAAAA收敛判别(6)(4)2.64542.6643WW(5)(6)(6)(6)12(5)max0.7079 1 0.68
41、491.0336ii修改满应力步长(6)(6)(6)212110.68491 0.842522(21)(2 )(2 )kkkiiiAA满应力步(7)(6)(6)(7)(6)(6)1112220.7604 0.4168AAAA结构分析，计算应力比(7)(7)(7)(7)121max(7)2(7)(7)(7)2(7)(7)11211222max,2()22()2max1.0280,0.74081.0280AAAAAAAAA射线步(8)(7)(7)(8)(8)max12 0.7817 0.4285iiAAAA收敛判别(8)(6)2.63952.6454WW(7)(8)(8)(8)12(7)max0.
42、7408 1 0.72061.0280ii修改满应力步长(8)(8)(8)212110.72061 0.860322(21)(2 )(2 )kkkiiiAA满应力步(9)(8)(8)(9)(8)(8)1112220.7817 0.3686AAAA结构分析，计算应力比(9)(9)(9)(9)121max(9)2(9)(9)(9)2(9)(9)11211222max,2()22()2max1.0234,0.76751.0234AAAAAAAAA射线步(10)(9)(9)(10)(10)max12 0.8000 0.3772iiAAAA收敛判别(10)(8)2.63992.6395WW修正的齿形法设
43、计点为第8步得到的结果。迭代k奇数步偶数步1110.70710.414220.70710.707110.585810.79292.707130.70710.56071.04040.666740.73570.583410.640810.82042.664350.73570.47861.03360.707960.76040.494710.684810.84252.645470.76040.41681.0280.740880.78170.428510.720610.86032.639590.78170.36861.02340.7675100.80000.37722.63991A2A1A2A12W修正
44、的齿形法迭代过程修正的齿形法迭代过程第第8 8步得到的是最后结果。步得到的是最后结果。21 齿形法齿形法 a) 迭代算法本质不变，为应力比列因子迭代。迭代算法本质不变，为应力比列因子迭代。 b) 迭代过程的每一步考虑是否满足约束条件。迭代过程的每一步考虑是否满足约束条件。 c) 用目标函数值检验最优性，判断是否停止迭代，用目标函数值检验最优性，判断是否停止迭代，是较严格的（有数学基础的）优化方法，目标函是较严格的（有数学基础的）优化方法，目标函数是导出迭代方向的重要因素，即目标函数既是数是导出迭代方向的重要因素，即目标函数既是构造优化算法的一部分，又是判断最优性的条件构造优化算法的一部分，又是
45、判断最优性的条件之一。之一。有满应力设计法相比较，有一定的改善，但在迭代有满应力设计法相比较，有一定的改善，但在迭代算法的没有质的差别。算法的没有质的差别。 我们前面讨论了满应力设计，考虑了应力我们前面讨论了满应力设计，考虑了应力约束和几何约束（设计变量非负）。也就约束和几何约束（设计变量非负）。也就是考虑了强度条件，对于结构设计还需要是考虑了强度条件，对于结构设计还需要考虑其它条件，例如刚度条件。由满应力考虑其它条件，例如刚度条件。由满应力设计的思想，提出了满位移设计。设计的思想，提出了满位移设计。2-3 2-3 桁架的满位移设计桁架的满位移设计1.1.满位移的概念满位移的概念 结构位移控制
46、点位移达到容许的最大值时，我们结构位移控制点位移达到容许的最大值时，我们称为满位移。称为满位移。2.2.满位移准则满位移准则 在满应力约束的优化基础上，达到满位移的结构在满应力约束的优化基础上，达到满位移的结构设计认为是最轻的结构。设计认为是最轻的结构。3.3.满位移获得有两种情况：满位移获得有两种情况： 1）经满应力设计或者其它优化设计之后，满位移自经满应力设计或者其它优化设计之后，满位移自然满足；然满足； 2）经满应力设计或者其它优化设计之后，没有达经满应力设计或者其它优化设计之后，没有达到满位移设计，还需要经过改进设计。到满位移设计，还需要经过改进设计。 0 分部优化与整体优化分部优化与
47、整体优化主要取决于约束条件的性质主要取决于约束条件的性质（1）局部性约束：）局部性约束： 只涉及结构的各个部分。如截面尺寸约束、应力约束、只涉及结构的各个部分。如截面尺寸约束、应力约束、局部稳定约束、局部相对变形约束等。局部稳定约束、局部相对变形约束等。（2）整体性约束：）整体性约束： 牵涉到整体结构。如结点位移约束、结构整体稳定性牵涉到整体结构。如结点位移约束、结构整体稳定性约束、频率约束。约束、频率约束。只考虑局部约束的问题可用分部优化求解只考虑局部约束的问题可用分部优化求解需要考虑全局约束的问题需要进行整体优化需要考虑全局约束的问题需要进行整体优化 满应力设计是一种分部优化设计，各杆件应
48、力约满应力设计是一种分部优化设计，各杆件应力约束之间的相互影响比较弱束之间的相互影响比较弱 各杆的刚度对于桁架结构节点位移都有不可忽略各杆的刚度对于桁架结构节点位移都有不可忽略的影响，位移约束不能采用分部优化的影响，位移约束不能采用分部优化 满位移设计是在满应力设计的基础上，通过调整满位移设计是在满应力设计的基础上，通过调整主动杆件的截面积，使位移约束达到满位移的一主动杆件的截面积，使位移约束达到满位移的一种整体优化策略种整体优化策略 如果满应力设计的优化结果满足位移约束，则无需再如果满应力设计的优化结果满足位移约束，则无需再进行满位移设计。进行满位移设计。满位移设计的基本问题满位移设计的基本
49、问题 主动杆件与被动杆件的划分主动杆件与被动杆件的划分凡在当前满位移设计中，截面不作调整的杆件凡在当前满位移设计中，截面不作调整的杆件称为被动杆件；截面要作调整的杆件称为主动称为被动杆件；截面要作调整的杆件称为主动杆件。杆件。 主动杆件面积的确定主动杆件面积的确定如何调整主动杆件的面积，使得满足满位移条如何调整主动杆件的面积，使得满足满位移条件，同时又使结构最轻。件，同时又使结构最轻。被动杆件的确定被动杆件的确定设桁架在荷载的作用下各杆轴力为：设桁架在荷载的作用下各杆轴力为：12,TnNN NN为了用虚功原理求解桁架控制点位移，虚设相应单位为了用虚功原理求解桁架控制点位移，虚设相应单位荷载。设
50、由此引起的各杆轴力为：荷载。设由此引起的各杆轴力为：12,TnNN NN由虚功原理：由虚功原理：1nii iiiiN N lE A (1)1）对于静定结构，轴力与截面积无关：）对于静定结构，轴力与截面积无关：2jj jjjjN N lddAE A (2)由由(2)式可知：式可知： 如果如果 即此杆的实虚轴即此杆的实虚轴力异号时，截面积增加，位移也增加，这个杆为被动力异号时，截面积增加，位移也增加，这个杆为被动杆杆20 0jj jjjjjjN N ldN NdAE A 如果如果 即某杆的实虚即某杆的实虚轴力同号时，截面积增加，位移减小，这个杆为可轴力同号时，截面积增加，位移减小，这个杆为可能是主
