1、宜宾市普通高中宜宾市普通高中2020级第二次诊断性测试级第二次诊断性测试数学数学(理工类理工类)注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=x|-2x1,则x+4x-1的最小值是5B.若x1yC.若x(0
2、,),则sinx+2sinx的最小值是2 2D.若xy，则x2y28下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中 T是房梁与该截面的交点，A,B分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子c1与c2之间的距离是3L(L为测量单位),柱子 c2与 c3之间的距离是2 3L.如果把 AT,BT视作线段，记 P1,P2,P3是 AT 的四等分点，Q1,Q2,Q3是BT的四等分点，若BQ2=2L,则线段P3Q2的长度为A.7LB.3LC.5LD.2 2L9已知长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,E为 A
3、1B1的中点，则下列判断不正确的是A.A1C/平面EBC1B.点B1到平面EBC1的距离是33C.B1D平面EBC1D.异面直线EC与BD所成角的余弦值为151510已知双曲线x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左，右焦点分别为 F1,F2，点 P 在双曲线的右支上，I 为PF1F2的内心，记PF1I,PF2I,IF1F2的面积分别为S1,S2,S3,且满足S1=S2+S33,则双曲线的离心率是A.2B.3C.2D.311已知函数 y=ex的图象在点P(a,b)(其中a0),给出下列4个结论：f(x)的最小值是-3；若=1,则 f(x)在区间(-12,512)上单调递增；将 y=sinx
4、的函数图象横坐标缩短为原来的14倍，再向右平移12个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数 y=f(x)的图象，则=2;若存在互不相同的x1,x2,x30,使得 f(x1)+f(x2)+f(x3)=3,则2912其中所有正确结论的序号是A.B.C.D.ABP1P2P3Q1Q2Q3Tc1c2c3高2020级二诊数学（理工类）第2页共4页二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13在ABC中，D是BC的中点，AD=4，点P为 AD的中点，则 AP PB+PC=_14当生物死亡后，它机体内碳 14 会按照确定的规律衰减，大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生
5、物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式 k(t)=k012t5730，其中k0为生物死亡之初体内的碳14含量，t为死亡时间(单位：年)，通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为18k0，则该生物的死亡时间大约是_年前15已知抛物线 y2=4x的焦点为 F，过 F的直线交抛物线于 A,B两点，则 AF+4 BF的最小值是_.16已知三棱锥 A-BCD 的四个面都是边长为 2 的正三角形，M 是 ABC 外接圆 O1上的一点，P为线段O1D上一点，PO1=66,N是球心为P,半径为63的球面上一点，则MN的最小值是_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必
6、考题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一一)必做题：共必做题：共60分分.17（12分）2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为 2022年全球新能源汽车市场销量冠军，在中国新能源车的销量中更是一骑绝尘，占比约为30%.为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间5,35)(单位：万元)的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数；(2)若从中国新能源车中随机地抽出 3 辆，设
7、这 3 辆新能源车中比亚迪汽车的数量为 X，求 X的分布列与数学期望.18（12分）已知数列an，bn,a1=2,记Sn为数列an的前n项和，an=b1b2b3bn.条件：2Snn+n 是公差为2的等差数列;条件：1bn+1an=1.从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知.(1)求数列an的通项公式；(2)若cn=2nan，求数列cn的前n项和Tn.高2020级二诊数学（理工类）第3页共4页19（12分）圆柱O1O2中，四边形 DEFG为过轴O1O2的截面，DG=4 2，DE=16，ABC为底面圆O1的内接正三角形，ABDE.(1)证明：CO2平面 ABFG；(2)求平面FCD与平面 ABF
8、G所成角的正弦值.20（12分）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，右焦点为F(1,0).(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆 E的上顶点 A在以点 F为圆心的圆外，过 A作圆 F的两条切线l1,l2分别与 x轴交于点 B，点 C，l1,l2分别与椭圆交于点 P，点 Q(都不同于点 A)，记 ABC 面积为 S1，APQ 的面积为S2，若S1S2=3316，求圆F的方程.21（12分）已知a0,函数 f(x=ex-ax2,g(x=lnx.1若0g(x)+b对于任意的x0成立，求最大的整数b的值.(二二)选做题：共选做题：共10分分.请考生在第请考生在第22、23题中任选
9、一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分如果多做，则按所做的第一题记分.22(10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中,以坐标原点为极点,以 x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2 2sin+4.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线l过点 P(1,0),l与曲线C交于 A,B两点,Q为弦 AB的中点,且PQPA+PB=13,求l的斜率.23（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数 f(x)=x1+x+3.(1)求不等式 f(x)6的解集；(2)x 0，2,f(x)a 2x+1,求实数a的取值范围.高2020级二诊数学（理工类）第4页共4
10、页宜宾市2020级高三第二次诊断性试题数学(理工类)参考答案一、选择题题号123456789101112答案CBDBCDAACDBA9.取AB中点为F，连接FA,FC，A1F面EBC1,CF面EBC1，面A1FC面EBC1，A1C面EBC1，A正确；设点B1到EBC1距离为h，VB1-EBC1=VC1-EB1B，13SEBC1h=13SEB1BB1C1，1334(2)2h=1312111，h=13=33，B正确；取A1D1中点为H，连接HE,HC，HE BD，异面直线EC与BD所成角大小等于EC与HE所成角大小,HE=52,EC=3,HC=212，cosHEC=-1515，异面直线EC与BD所
11、成角的余弦值为1515，D正确.10.设PF1=m,PF2=n，内切圆半径为r，S1=S2+S33，12mr=12nr+122cr3，12m=12n+c3，3m=3n+2c，3(m-n)=2c，m-n=2a，6a=2c,ca=3,e=311.切点P(a,ea)，y=ex，k=ea，切线y-ea=ea(x-a),eax-y+(1-a)ea=0，切线与圆相切，d=r，d=(2-a)eae2a+1=(2-a)eae2a+1，r=(2-a)eae2a+1令f(x)=(2-x)exe2x+1(x0，当x(0,2)时，f(x)0.f(x)在(-,0)上单调递增，在(0,+)上单调递减，f(x)max=f(
12、0)=22=2rmax=2，Smax=(rmax)2=212.f(x)=3 1-cos2x2+sin2x-3 1+cos2x2-1=-3cos2x+sin2x-1=212sin2x-32cos2x-1=2sin 2x-3-1当sin 2x-3=-1时，f(x)min=-3，正确；若=1时，f(x)=2sin 2x-3-1，f(x)在-12,512上单调递增，正确；y=sinx无法通过上述变换得到y=2sin 2x-3-1，错误；存在互不相同的x1,x2,x30,，使得f(x1)+f(x2)+f(x3)=3，f(x)在0,上至少有3个最大值点，2912，2912，正确.二、填空题13.8；14.
13、17190；15.9；16.66.13.AP(PB+PC)=AP 2PD=12AD AD=12AD 2=1242=8.14.18k0=k012t5730，12t5730=18=123，t5730=3，t=17190.15.2p=4,p=2，1AF+1BF=2p=1，1AF+1BF=1AF+44 BF(1+2)2AF+4 BF=9AF+4 BF，当且仅当1AF=24 BF时，取“=”，又1AF+1BF=119AF+4 BF，AF+4 BF9.16.要使MN取最小值，点N必须与M,O1,D三点共面，设ABC外接圆半径为r，球P的半径为R，2sin60=232=43=2r，r=23，O1M=23，O
14、1P=66，PM=O1M2+O1P2=43+16=96=3 66，MNmin=PM-R=3 66-63=66三、解答题17.(1)一辆中国新能源车的销售价格位于区间5,35)的概率：0.22+0.4+0.17=0.79，2分中国新能源车的销售价格的众数为204分(2)随机变量X的分布列X0123P34310004411000189100027100010分E(X)=3310=91012分18.(1)选数列2Snn+n 的首项为2S11+1=2a1+1=5，2Snn+n=5+2(n-1)=2n+3，2Sn=n2+3n2分若n=1时，2S1=4,S1=2,a1=2；3分若n2时，2Sn=n2+3n
15、2Sn-1=(n-1)2+3(n-1)=n2-2n+1+3n-3=n2+n-2 4分由-得，2an=2n+2,an=n+1(n2)，a1=2符合an=n+1，an=n+1(n1).6分选bn=anan-1(n2)，1bn+1an=an-1an+1an=1，2分an-1+1=an，an-an-1=1，4分an是一个以2为首项，1为公差的等差数列，an=2+(n-1)1=n+16分(2)cn=2nan=2n(n+1)，Tn=221+322+(n+1)2n2Tn=222+n2n+(n+1)2n+1由-9分得，Tn=(n+1)2n+1-4-(22+23+2n)=(n+1)2n+1-4-4(1-2n-1
16、)1-2=(n+1)2n+1-4+4(1-2n-1)=n2n+112分19(1)证明：连接CO1并延长交AB于H，连接O2H，O2CABC为底面圆O1的内接正三角形，CHAB,AB/DE，CHDE，四边形DEFG为圆柱O1O2的轴截面，O1O2圆面O1，DE圆面O1，O1O2DEO1O2CH=O1,DE平面CHO2,DE/FG,FG平面CHO2，FGCO2，2分DG=4 2，DE=16，O1C=8,O1H=4,CH=12,O1O2=4 2，O2C2=O1C2+O1O22=96,O2H2=O1H2+O1O22=48O2C2+O2H2=CH2，CO2O2H,4分HO2FG=O2,CO2平面ABFG
17、6分(2)由(1)知O1O2,CH,DE两两垂直，如图建立空间直角坐标系O1-xyz，则C(0,8,0)，F(8,0,4 2)，D(-8,0,0)，CF=(8,-8,4 2)，CD=(-8,-8,0)，设平面CFD的法向量为n=(x,y,z)，则nCF=0nCD=0，(x,y,z)(8,-8,4 2)=0(x,y,z)(-8,-8,0)=0，可取n=(-1,1,2 2)8分由(1)知平面ABFG的法向量可取O2C=n1=(0,8,-4 2)，则cosn,n1=nn1|n|n1=-151510分平面ABFG与平面CFD所成二面角的正弦值为2101512分20.解：(1)由已知得ca=22c=1a
18、2=b2+c2a=2b=1,E:x22+y2=13分(2)由(1)知，点A(0，1)，过点A作圆F的切线，当其中一条斜率不存在时不合题意，可设切线方程为y=kx+1，圆F的半径为r(0r2，且r1)，得|k+1|k2+1=r,(1-r2)k2+2k+(1-r2)=0设切线l1,l2的斜率分别为k1,k2，则k1+k2=-21-r2,k1k2=15分由l1：y=k1x+1，令y=0得xB=-1k1;由y=k1x+1x22+y2=1 得(2k12+1)x2+4k1x=0,xP=-4k12k12+17分同理xc=-1k2，xQ=-4k22k22+1S1S2=12|AB|AC|sinA12|AP|AQ
19、|sinA=1+k211k11+k221k21+k214k12k12+11+k224k22k22+1=4k12k22+2(k12+k22)+116=4+2(k1+k2)2-2k1k2+116=1+221-r2216=331610分r2=12或3211分圆F：(x-1)2+y2=12或(x-1)2+y2=3212分21.（1）f(x)=ex-2axf(x)=ex-2a00,ln2a1 f(x)f(ln2a)=2a(1-ln2a)04分命题得证（2）存在a,使得ex-ax2lnx+b对于xR成立，存在a,使得ex-lnx-bax2对于xR成立，由于ax20，原题意的必要条件是ex-lnxb，对xR
20、都成立设h(x)=ex-lnx,h(x)=ex-1x,x012,1，使得ex0=1x0，即-x0=lnx0h(x)在(0,x0)是减函数，在(x0,+)是增函数，其中ex0=1x0，即-x0=lnx0h(x)min=h(x0)=ex0-lnx0,6分显然h(x)min=ex0-lnx0h(1)=eb都成立的最大整数b是2以下证明充分性，当b=2时，存在a,使得ex-ax2lnx+2恒成立，ex-ax2lnx+2ex-lnx-2x2a，由上证明知ex-lnx-2x2存在大于0的正的最小值，故存在大于0的a，使得ex-lnx-2x2a恒成立,10分当b=3时，设(x)=ex-lnx-3x2,(1)
21、=e-30,ex-ax2lnx+3不恒成立 12分存在a,使得 f(x)g(x)+b对于任意的xR成立，最大的整数b的值是222.解：(1)由=2 2sin+4得2=2sin+2cos,2=x2+y2,sin=y,cos=x,x2+y2=2x+2y,即 x12+y12=2,所以曲线C的直角坐标方程为 x12+y12=2.4分(2)易知直线l过点P 1,0,设直线倾斜角为,则直线l的参数方程为x=1+tcos,y=tsin,(t为参数),代入 x12+y12=2得t22tsin1=0,易得0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=2sin,t1t2=1,6分故PQPA+PB=t1+t
22、22t1+t2=t1+t22t1-t2=t1+t22(t1+t2)2-4t1t2=sin4sin2+4=13,解得sin2=45,7分则cos2=15,tan2=4,tan=2,9分.l的斜率为2.10分23.已知函数 f(x)=x1+x+3.(1)求不等式 f(x)6的解集；(2)f(x)a 2x+1的解集包含0，2,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=x1+x+3=2x+2,x1,4,3x1,2x2,x1时,由2x+26得x2,1x2,当3x1时,46,3x1,当x3时,2x26,得x4,4x0,4a(2x+1),a42x+1令g(x)=42x+1,x 0,1，则g x在0,1上单调递减，最小值为437分当x(1,2时,即2x+2a(2x+1),2x+10,2x+22x+1a.令h x=2x+22x+1=1+12x+1,x 1,2,则h x在 1,2上单调递减，最小值为h(2)=65,a65,10分综上，即a的取值范围为,65.
