1、第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续 第一节第一节 函数及其性质函数及其性质第二节第二节 极限极限第三节第三节 函数的连续性函数的连续性分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性2 在讨论函数极限时在讨论函数极限时, 我们说函数在一点的我们说函数在一点的 函数值函数值与与极限值极限值是两个不同的问题是两个不同的问题 .它们的关系有它们的关系有函数值不存在，极限存
2、在；函数值不存在，极限存在； 函数值函数值,极限值都存在极限值都存在, ,但不相等；但不相等； 函数值等于极限值函数值等于极限值. 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性3增量：增量：21uuu 终值与初值的差终值与初值的差 自变量在自变量在x0处的增量：处的增量：0 xxx 函数函数y在点在点x0处相应的增量：处相应的增量：00()()yf xxf x 一、一、 函数的连续性函数的连续性（一）函数（一）函数y=f (x) 在点在点 处的连续性处的连续性0 x1.1.增量增量第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函
3、数的连续性4xy00 xxx 0)(xfy x 0y xy00 xxx 0 x 0y )(xfy x虽然称为增量，但是其值可正可负虽然称为增量，但是其值可正可负. .例如例如，当当 x x0 时时， x = x - - x0 x0 时时， x = x - - x0 0, 一般地一般地： x 0第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性5 定义定义1.3. 1 设函数设函数y=f (x)在点在点x0的某邻域的某邻域内有定义，如果当自变量内有定义，如果当自变量x在在x0处的增量处的增量 x趋于趋于零时，相应的函数增量零时，相应的函数增量 y=f (x0+
4、x)- - f(x0)也趋也趋于零，即于零，即0000limlim()()0 xxf xxf xy 则称函数则称函数 y=f (x)在点在点x0连续连续，也称点，也称点x0为函数为函数y=f(x)的的连续点连续点第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性6说明说明：2. 函数在一点连续实质就是函数在一点连续实质就是:当自变量变化不当自变量变化不大时大时, 函数值变化也不大函数值变化也不大.1. 函数函数 y=f (x)在点在点x0连续的几何意义表示函连续的几何意义表示函数图形在数图形在x0不断开不断开.y0 x)(xfy )(0 xf0 x第一章第一章
5、 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性7 定义定义1.3.2 设函数设函数y=f (x)在点在点x0的某邻的某邻域内有定义，如果域内有定义，如果xx0时，时，相应的函数相应的函数值值f(x)f(x0) ，即，即00lim( )()xxf xf x 000lim (0),xxxxx 2)1(lim21 xx例如：例如：则称函数则称函数 y=f (x)在点在点x0连续连续，也称点，也称点x0为函数为函数y=f (x)的的连续点连续点故故 在在x0 连续，连续，x21x 在点在点1处连续处连续.第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性
6、函数的连续性83. 函数函数y=f (x)在点在点x0连续必须连续必须同时满足同时满足以下以下三个条件：三个条件：(1) 函数函数 y = f (x)在点在点x0的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，0lim( )xxf x00lim( )().xxf xf x 函数在函数在一点的一点的的连续性同极限一样，都是函的连续性同极限一样，都是函数的局部性质。数的局部性质。(2) 极限极限(3) 函数在函数在 x0 处极限值等于函数值，即处极限值等于函数值，即 存在；存在； 即即 y = f (x0) 存在存在;第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性9例
7、例1 讨论函数讨论函数 f (x)=x+1在在x=2处的连续性处的连续性2lim( )(2)3.xf xf0( )?limxxf x f (x)在在x=2及其近旁有定义且及其近旁有定义且f(2)=3;22lim( )lim(1)3;xxf xx f (x)在在x =x0及其近旁点及其近旁点是否有定义？是否有定义？若有定义，若有定义， f(x0)=？00( )()limxxf xf x ？所以，所以，函数函数f (x) = x+1在在x=2处连续处连续.解解第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性10例例2 讨论函数讨论函数1sin,0,( )0,0
8、xf xxx f (x)在在x = 0及其近旁有定义且及其近旁有定义且 f(0)=0;001lim( )limsinxxf xx 不存在不存在,因此函数因此函数 f (x) 在在 x = 0 处不连续处不连续.解解在在x = 0处的连续性处的连续性第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性11例例3 讨论函数讨论函数1,1,( )1,1xxf xxx f (x)在在x=1及其近旁有定义且及其近旁有定义且f (1)=0,11lim( )lim(1)0,xxf xx 不存在不存在.因此函数因此函数 f (x) 在在 x = 1 处不连续处不连续.11lim
9、( )lim(1)2,xxf xx 11lim( )lim( ),xxf xf x 1lim( )xf x解解在在 x = 1 处的连续性处的连续性第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性12 定义定义1.3. 3 设函数设函数y=f (x)在在(x0- , x0 有定义，有定义，称称y = f (x) 在在x0处处00lim( )(),xxf xf x 2. 函数函数 y = f (x) 在在x0处的左、右连续处的左、右连续设设函数函数y = f (x) 在在x0, x0+ ) 有定义，有定义，且且称称y = f (x) 在在x0处处00lim(
10、)(),xxf xf x 且且第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性13 定理定理1.3. 1 函数函数 在点在点 处连处连续的充要条件是函数续的充要条件是函数 在点在点 处既处既左连续左连续又又右连续右连续.0 x( )yf x ( )yf x 0 x由于由于000000lim( )()lim( )()lim( )(),xxxxxxf xf xf xf xf xf x 且且得得:第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性14例例4 讨论函数讨论函数 ( )f x f (x) 在在x = /2 及其近旁有定
11、义且及其近旁有定义且 f ( /2) =1.22lim( )lim(1 cos ) 1( ),2xxf xxf 因此函数因此函数f(x)在在x= /2处处左连续左连续.因此函数因此函数f(x)在在x= /2处处右连续右连续.因此函数因此函数f (x)在在x = /2处处连连续续.22lim( )lim sin1( ),2xxf xxf 1cos ,2,sin ,2xxxx 解解在在 x = /2 处的连续性处的连续性第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性15 定义定义1.3. 4 如果函数如果函数y=f(x)在开区间在开区间(a,b)内的每内的每l
12、im( )( );xaf xf a lim( )( ),xbf xf b （二）函数（二）函数y=f (x) 在区间在区间a, b上的连续性上的连续性那么称函数那么称函数y=f (x)在在闭区间闭区间a, b上连续上连续,或者说或者说(4)在右端点在右端点b处左连续处左连续,即即 如果如果y=f (x) 满足满足(1)在闭区间在闭区间a,b上有定义上有定义;(3)在左端点在左端点a处右连续处右连续,即即(2)在开区间在开区间(a, b)内连续内连续;一点都连续一点都连续,称函数称函数y=f(x)在在开区间开区间(a,b)内连续内连续.y=f (x)是是闭区间闭区间a, b上连续函数上连续函数.
13、第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性16 若若函数函数y=f(x)在它定义域内的每一点都连在它定义域内的每一点都连续续,则称则称 y = f (x) 为为连续函数连续函数.基本初等函数在其定义域内都连续基本初等函数在其定义域内都连续连续函数的图象是一条连续不间断的曲线连续函数的图象是一条连续不间断的曲线 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性17二、二、 初等函数的连续性初等函数的连续性 定理定理1.3. 2 0()0 ,g x f (x)g(x) , f (x)g(x) , f (x)/g(x) 在
14、点在点 x0 处也连续处也连续 若函数若函数 f (x), g (x) 在点在点x0处连续，则函数处连续，则函数 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性18 定理定理1.3. 3 设有复合函数设有复合函数y=f (x) ，若，若 (x)在点在点x0连连续，且续，且 (x0)=u0而函数而函数f (u)在在 u=u0连续，则复连续，则复合函数合函数 y = f (x)在在 x = x0也连续也连续例如，例如，1(,0)(0,)ux 在在sin(,)yu 在在1sin(,0)(0,)yx 在在内连续内连续 ,内连续内连续 ,内连续内连续 .第一章第一章
15、 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性19 推论推论 若若 lim (x) = u0，函数，函数 y= f (u) 在在 00lim( )lim( )= ()lim ( ).uufxf uf ufx(1) 可作变量代换可作变量代换 u= (x) 求复合函数的极限求复合函数的极限, 即即0lim ( )xxfx 令令u= (x) 0lim( )uuf u点点 u0 处连续，则有处连续，则有: lim( )lim ( ).fxfx (2)极限运算与函数运算可以交换次序，即极限运算与函数运算可以交换次序，即 这表明这表明: 复合函数复合函数 满足推论条件时满足推论条
16、件时: ( )yfx 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性200ln(1)lim.xxx 解解10liml (1nlnln1).limxxueuex 原原式式0101lnlnlimlim(1) (1) ln1.xxxxxxe 原原式式例如例如，求，求1ln ,(1) ,xyu ux设设 时时,ue处连续处连续.由于由于1ln(1)ln(1)xxxx 或或:0 x lnyuue且且在在第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性21定理定理1.3. 4 初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内是连续的内是连
17、续的注注: 定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间!第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性22例例5 计算计算lim arcsin(ln )xex 因为因为arcsin(lnx) 是初等函数，且是初等函数，且x=e是它是它的定义区间内的一点，由定理的定义区间内的一点，由定理1.3.3，有，有:limarcsin(ln)arcsin(ln )xexe 解解arcsin1.2 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性23例例6 计算计算011limxxx 0011limlim1xxx
18、xxxxx 011lim.21xxx 解解第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性24三、函数的间断点三、函数的间断点 定义定义1.3.5 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0的某的某去心邻域内有定义，在点去心邻域内有定义，在点x0处不连续，则称处不连续，则称y=f (x)在点在点x0处处间断间断, 并称点并称点x0为函数为函数 y=f (x)的的不连续点或间断点不连续点或间断点（一）间断点的概念（一）间断点的概念第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性25 设函数设函数f(x)在在点点x0的某去心邻域
19、内有定义的某去心邻域内有定义，则下列情形之一函数则下列情形之一函数f(x)在点在点x0不连续不连续. (1) 在在x0处没有定义；处没有定义； (3) 虽在虽在x0处有定义，且处有定义，且 存在，但存在，但 0limxxfx00lim( )(),xxf xf x (2) 虽在虽在x0有定义，但有定义，但 不存在不存在; 0limxxfx这样的点这样的点 x0称为函数称为函数f(x)的的间断点间断点.第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性26无穷间断点：无穷间断点：在第二类间断点中，左、右极限在第二类间断点中，左、右极限 第一类间断点：第一类间断点：
20、可去间断点：可去间断点：00()();f xf x 跳跃间断点：跳跃间断点：00()().f xf x 函数函数f (x)在间断点在间断点x0处的左、右处的左、右 函数函数f(x)在间断点在间断点x0处的处的第二类间断点：第二类间断点：（二）间断点的分（二）间断点的分类类左、右极限都存在左、右极限都存在.极限至少有一个不存在极限至少有一个不存在.至少有一个为无穷大的点至少有一个为无穷大的点.第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性27例例7 函数函数( )f x 函数在函数在x=1处是否有定义？处是否有定义？有定义，且有定义，且 f(1) = - -
21、1 . 是否存在？是否存在？ 1lim( )xf x存在，且存在，且 1lim( )2xf x 是否成立？是否成立？ 1lim1xfxf 显然显然 1lim ( )(1)xf xf 所以所以x =1是是f (x)的第一类间断点的第一类间断点,且是可去间断点且是可去间断点21,1,11,1,xxxx 考察考察x=1处处.第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性28说说 明：明： 所谓可去间断点是指：可以通过所谓可去间断点是指：可以通过改变或补改变或补充充 f(x0) 的定义的定义使得使得 从而使函从而使函数数 f (x) 在在 x0 处连续处连续.00
22、()lim( ),xxf xf x 例如：上例中改变定义例如：上例中改变定义, 令令 f (1) =2, 则则21, 1,( )1 , 21,xxf xxx 则则 f (x)在在x=1处就连续了处就连续了.第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性29例例7 函数函数1,0,( )1,0.xxf xxx 函数在函数在x =0 处是否有定义？处是否有定义？有定义，且有定义，且 f(0)=1 . 是否存在？是否存在？ 0lim( )xf x所以所以 不存在不存在00lim( )lim(1)0 xxf xx00lim( )lim(1)1xxf xx 00li
23、m( )lim( )xxf xf x 0lim( )xf x考察考察x = 0处处.所以所以x = 0 是是 f (x) 的的第一类间断点第一类间断点, 且是且是 跳跃间断点跳跃间断点第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性30例例9 函数函数 考察考察 x = 0处处.1( ),f xx 函数在函数在x=0处是否有定义？处是否有定义？ 无定义无定义01limxx 01limxx 是否存在？是否存在？ 0lim( )xf x所以所以x = 0 是是 f (x) 的的第二类间断点第二类间断点, 且是且是 无穷间断点无穷间断点第一章第一章 函数的极限与连
24、续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性31例例10 函数函数1sin,yx xy1sin 01lim sin ,xx 01lim sin xx 称称x = 0是是f(x)的的震荡间断点震荡间断点所以所以 x = 0是为是为 f (x) 的第二类间断点的第二类间断点都不存在都不存在.解解考察考察x = 0处处.0 x 时时, f (x)的值在的值在- -1到到1之间反复震荡之间反复震荡,这时亦这时亦第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性32例例11 讨论函数讨论函数21( )(1)xf xx x f (x)是初等函数，它在其定义区间
25、内连续，是初等函数，它在其定义区间内连续， 显然显然, f (x) 在点在点x = - -1, x = 0 处没有定义处没有定义, 故故 f (x)在区间在区间(- - ,- -1) , (- -1,0), (0,+ ) 内连续内连续, 在点在点 x = - -1，x= 0 处间断处间断解解因此我们只要找出因此我们只要找出 f (x)没有定义的那些点没有定义的那些点如果有间断点，指出间断点类型如果有间断点，指出间断点类型的连续性，的连续性，第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性33在点在点x =- -1处：处：211111lim( )limlim2
26、(1)xxxxxf xx xx x = - -1是为是为f (x)的第一类可去间断点的第一类可去间断点在点在点 x = 0 处：处：2001lim( )lim(1)xxxf xx x x = 0 是为是为f (x) 的第二类间断点的第二类间断点第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性34例例12 讨论函数讨论函数4,20,( )1,02xxf xxx 因为因为x=1是连续区间是连续区间0,2内的一点，且内的一点，且1- -x在点在点x = 0处，因为处，因为00lim( )lim (4)4,xxf xx00lim( )lim (1)1,xxf xx
27、所以所以0lim( )xf x是初等函数，是初等函数，解解间断点，且是第一类间断点间断点，且是第一类间断点在在x = 0与与x = 处的连续性处的连续性不存在，不存在，因此因此 x =1是是f (x)的连续点；的连续点；因此因此 x = 0 是是f (x)的的第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性35 讨论函数讨论函数f (x)的连续性时，的连续性时，(1)若若f (x)是初等函数，是初等函数，则由则由“初等函数在其定义区间内连续初等函数在其定义区间内连续”的基本结论，的基本结论，只要找出只要找出f (x)没有定义的点没有定义的点以及定义域内的孤立
28、点以及定义域内的孤立点，这些点就是这些点就是f (x)的间断点的间断点 (2)若若f (x)是分段函数，则在分界点处往往要从左、是分段函数，则在分界点处往往要从左、右极限入手讨论极限、函数值等，根据函数的点连续右极限入手讨论极限、函数值等，根据函数的点连续性定义去判断；在非分界点处，根据该点所在子区间性定义去判断；在非分界点处，根据该点所在子区间上函数的表达式，按初等函数进行讨论上函数的表达式，按初等函数进行讨论第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性36第一类：第一类：00lim( ), lim( )xxxxf xf x 全全都都存存在在可去：可去
29、：跳跃：跳跃：第二类第二类：00lim( ), lim( )xxxxf xf x不不全全存存在在常见的有无穷间断、常见的有无穷间断、震荡间断，震荡间断，间断点分类间断点分类: 00lim( )lim( )xxxxf xf x 0lim( )xxf x存在；存在；第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性37o1x2x3xyx xfy 看图判断间断点的类型：看图判断间断点的类型：第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性38四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 定理定理1.3.5若函若函数数 f
30、(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，则函数上连续，则函数f (x)在闭区间在闭区间a, b上有界且一定能取得它的最大值和最小值上有界且一定能取得它的最大值和最小值 即在即在a, b上至少存在点上至少存在点 1 和和 2，使得对于，使得对于a, b上的一切上的一切 x 值，有值，有f ( 1)f (x) f ( 2)，这样，这样的函数值的函数值 f ( 2) 和和 f ( 1)分别叫做函数分别叫做函数 f (x) 在区在区间间a,b上的最大值和最小值上的最大值和最小值.（一）有界性与最大值最小值定理（一）有界性与最大值最小值定理第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连
31、续性函数的连续性39如图如图:第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性40y=tanx在区间在区间 (- - /2, /2);1,10,( )0,0,1,01.xxf xxxx 注意条件注意条件: (1) 闭区间闭区间； (2) 连续函数连续函数.如果两个条件不全满足如果两个条件不全满足,结论未必成立结论未必成立.考察以下两例考察以下两例:第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性41 定理定理1.3.6 若函数若函数 f (x)在闭在闭区间区间a, b连续连续, 且且 f (a) f (b) ,则对介于则对
32、介于f (a)与与f (b)之间的任意实数之间的任意实数c，在，在(a, b)内至少存内至少存在一点在一点 ，使，使 f ( ) = c（a b）成立）成立（二）介值定理与根的存在定理（二）介值定理与根的存在定理第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性42f(x)从从f(a)连续地变到连续地变到f(b)时，它不可能不经过时，它不可能不经过c值值如图如图:第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性43 定理定理1.3.7 如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间 a,b上连续，且上连续，且 f (a)f (b)
33、 0 ，则，则方程方程f (x)=0 在在(a, b)内至少存在一个实根内至少存在一个实根 ，即在区间即在区间(a, b)内至少有一点内至少有一点 ，使，使 f ( ) =0 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性44如图如图:第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性45例例13 证明方程证明方程 x4 - -4x +2 = 0 在区间在区间(1,2)内内至少有一个实根至少有一个实根设设 则则 由根的存在定理可知，至少存在一点由根的存在定理可知，至少存在一点 (1,2)，使得，使得f ( ) =0 这表明
34、所给方程在这表明所给方程在(1,2)内至少有一个实根内至少有一个实根 f (x) 在闭区间在闭区间1,2上连续上连续; f (1) = - -1 0.解解4( )42,f xxx第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性46.函数在某点处的连续性是用极限来定义的函数在某点处的连续性是用极限来定义的 .函数在某点处连续与函数在某点处的极限是有区别函数在某点处连续与函数在某点处的极限是有区别的的, 极限存在是连续的必要条件极限存在是连续的必要条件.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质(有界、最值、介值有界、最值、介值). 连续性是函数的重要属性之一所谓连续连续性是函数的重要属性之一所谓连续,从几何从几何直观上来看直观上来看,函数的图形是一条连续不断的曲线从数函数的图形是一条连续不断的曲线从数学定义上看学定义上看,函数的连续与函数的极限是紧密相关的函数的连续与函数的极限是紧密相关的四、本节内容小结四、本节内容小结第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性47
