1、建筑工程学院 弹性力学弹性力学（第四版）（第四版）建筑工程学院建筑工程学院 刘文治Tel：1598715327 E-mail：建筑工程学院 弹性力学第第 四四 版版弹性力学简明教程弹性力学简明教程徐芝纶徐芝纶作者简介 1911 06.20 - 1999 08.26，工程力学家。江苏江都人。 1934年毕业于清华大学，1936年获美国麻省理工学院硕士学位，1937年获哈佛大学硕士学位。建筑工程学院 弹性力学河海大学教授，1952年参与组建华东水利学院（现河海大学）并先后任教务长、副院长，是国内最早引进有限单元法解决水利问题的专家。第三届全国人大代表，第五、六、七届全国政协委员。著有工程力学方面论
2、文10余篇，并结合教学工作编写及翻译工程力学方面的教科书10余部，为我国工科院校广泛采用，对工科基础理论教育起了较大作用。其中弹性力学问题的有限单元法是国内最早引进有限单元法的专著，对工程问题的解决起了重要作用。1980当选为中国科学院院士(学部委员)。中国力学学会第一、第二届理事，江苏省力学学会第一届副事长和第二、第三届理事长，以及第四届名誉理事长。建筑工程学院 弹性力学第一章第一章 绪论绪论建筑工程学院 弹性力学第一章第一章 绪论绪论1-1 1-1 弹性力学的内容弹性力学的内容 第一节 弹性力学的内容 研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。弹性力学（弹性力
3、学（ elasticity elasticity ） 研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性力学。它们的研究对象研究对象分别如下：建筑工程学院 弹性力学材料力学-研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、 扭转和组合变形等问题。(构件) 弹性力学-研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间 体、板壳、薄壁结构等问题。 结构力学-在材料力学基础上研究杆系结构（如 桁架、刚架等）。第一章第一章 绪论绪论第一节 弹性力学的内容 建筑工程学院 弹性力学材料力学(mechanics of materials)弹性力学(theory of elasticity )：研究的范围更广，如叶轮、地基，堤
4、坝、桥梁等实体。（非杆状物体）第一章第一章 绪论绪论第一节 弹性力学的内容 建筑工程学院 弹性力学第一章第一章 绪论绪论第一节 弹性力学的内容 建筑工程学院 弹性力学第一章第一章 绪论绪论第一节 弹性力学的内容 建筑工程学院 弹性力学第一章第一章 绪论绪论第一节 弹性力学的内容 建筑工程学院 弹性力学 在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。弹力研究方法弹力研究方法 在研究方法上，弹力和材力也有区别： 第一章第一章 绪论绪论第一节 弹性力学的内容 建筑工程学院 弹性力学由分离
5、体的平衡条件由分离体的平衡条件 平衡方程平衡方程 由微单元的几何条件由微单元的几何条件 几何方程几何方程 由广义虎克定律由广义虎克定律 物理方程物理方程 还考虑边界条件还考虑边界条件 取微小的分离体作为隔离体取微小的分离体作为隔离体 第一章第一章 绪论绪论第一节 弹性力学的内容 建筑工程学院 弹性力学材力 也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。 因此材料力学材料力学建立的是近似理论近似理论，得出的是近似的解近似的解答答。从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件形状的结构。第一章第一章 绪论绪论第一
6、节 弹性力学的内容 建筑工程学院 弹性力学 弹性力学是其他固体力学分支学科的基础； 弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。 弹性力学弹性力学在力学学科和工程学科中,具有重要的地位：第一章第一章 绪论绪论第一节 弹性力学的内容 建筑工程学院 弹性力学 工科学生学习弹力的目的：（4 4）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。（3 3）能用弹力近似解法（变分法、差分法和有限单元法）能用弹力近似解法（变分法、差分法和有限单元法）解决工程实际问题；解决工程实际问题；（2 2）能阅读和应用弹
7、力文献；）能阅读和应用弹力文献；（1 1）理解和掌握弹力的基本理论；）理解和掌握弹力的基本理论；第一章第一章 绪论绪论第一节 弹性力学的内容 建筑工程学院 弹性力学 参考教材：参考教材：弹性力学简明教程弹性力学简明教程（第三版）徐芝纶（第三版）徐芝纶 ； 弹性理论弹性理论, 高等教育出版社高等教育出版社,(1990).铁摩辛柯铁摩辛柯 古地尔著古地尔著, 徐芝纶译；徐芝纶译；弹性力学教程弹性力学教程（王敏中、王炜、武际可）（北京大学出版社（王敏中、王炜、武际可）（北京大学出版社, 2002年）；年）； 弹性理论基础弹性理论基础（陆明万、罗学富）（清华大学出版社，（陆明万、罗学富）（清华大学出版
8、社，1990年）。年）。 第一章第一章 绪论绪论第一节 弹性力学的内容 建筑工程学院 弹性力学思考题弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？ 3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非杆件和杆系的结构？试考虑在土木、水利工程中有哪些非杆件和杆系的结构？第一章第一章 绪论绪论第一节 弹性力学的内容 建筑工程学院 弹性力学第一章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。
9、外力外力1 12 2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念外力外力面力面力体力体力建筑工程学院 弹性力学定义：作用于物体体积内的力。体力表示：以单位体积内所受的力来量度， （重力， 惯性力）量纲：.,zyxfff符号：坐标正向为正坐标正向为正。-2-2ML T .fVFlim0V(或N/mm3、kN/m3)第一章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 建筑工程学院 弹性力学定义：作用于物体表面上的力。面力表示：以单位面积所受的力来量度， .,zyxfff符号：坐标正向为正坐标正向为正 。量纲：-1-2ML T .fSFlim0s(N/mm2、kN/m2、Pa、kPa)第一
10、章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 建筑工程学院 弹性力学yfxfyfxf例：表示出下图中正的体力和面力第一章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 O(z)xyO(z)xyfxfyfxfy建筑工程学院 弹性力学 假想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和假想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力矩合力矩)，称为内力。，称为内力。内力第一章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 建筑工程学院 弹性力学量纲：表示： 垂直于 轴的面上沿 向正应力， 垂直于 轴的面上沿 向切应力。符号：符号：应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负应力成对出现，坐标面上
11、的应力以正面正向，负面负 向为正；正面负向，负面正向为负。向为正；正面负向，负面正向为负。 截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。应力应力xxxyyxx-1-2ML T .pAFlim0A第一章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 建筑工程学院 弹性力学例：正的应力例：正的应力切应力的互等性：zyyzxzzxyxxy第一章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 建筑工程学院 弹性力学 在正面上，两者正方向一致，在负在正面上，两者正方向一致，在负面上，两者正方向相反。面上，两者正方向相反。应力与面力第一章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 O(z)xyxyx
12、yxxfxfyfyfx建筑工程学院 弹性力学 弹力与材力 相比，正应力正应力正负号相同相同，切应力切应力正负号不同不同弹性力学弹性力学材料力学材料力学第一章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 建筑工程学院 弹性力学 由微分体的平衡条件M =0=0得： yxxy 在弹力中，xy与yx不仅数值相同，符号也相同。 在材力中， xy与yx数值相同，符号相反。因此，弹力与材力中的符号规定不完全相同。因此，弹力与材力中的符号规定不完全相同。 切应力互等定理：切应力互等定理：第一章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 建筑工程学院 弹性力学 - 物体形状的改变。形变伸长为正，缩短为
13、负伸长为正，缩短为负以直角变小时为正，变大为负以直角变小时为正，变大为负第一章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 建筑工程学院 弹性力学 位移位移 位置的移动，用u，v，w表示，量纲为 L。以坐标正向为正。变形前p(x，y)，变形后p(x+u，y+v)第一章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 建筑工程学院 弹性力学思考题试画出正负 y 面上正的应力和正的面力的方向。在dx dy 1的六面体上，试问x面和y面上切应力的合力是否相等？第一章第一章 绪论绪论第二节 弹性力学中的几个基本概念 建筑工程学院 弹性力学第一章第一章 绪论绪论第三节 弹性力学中的基本假定 由微分体
14、的平衡条件，建立由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；平衡微分方程； 由应力与形变之间的物理关系，建立由应力与形变之间的物理关系，建立物理方程；物理方程； 弹性力学的研究方法，在体积弹性力学的研究方法，在体积V 内内： 由微分线段上形变与位移的几何关系，建立由微分线段上形变与位移的几何关系，建立几何方程；几何方程；1 13 3 弹性力学中基本假定弹性力学中基本假定 建筑工程学院 弹性力学在给定约束的边界在给定约束的边界Su上，建立上，建立位移边界条件。位移边界条件。 在在给定面力的边界给定面力的边界S上，建立上，建立应力边界条件应力边界条件; ; 在边界在边界S面面上上: : 然后在边界条件下
15、求解上述方程，得出应力、形变和然后在边界条件下求解上述方程，得出应力、形变和位移。位移。第一章第一章 绪论绪论第三节 弹性力学中的基本假定 建筑工程学院 弹性力学（1 1）连续性连续性假定物体是连续的。 因此，各物理量可用连续函数表示。弹性力学中的五个基本假定弹性力学中的五个基本假定。 关于材料性质的假定料性质的假定及其在建立弹性力学理论中的作用：第一章第一章 绪论绪论第三节 弹性力学中的基本假定 建筑工程学院 弹性力学 （2 2）完全弹性完全弹性 假定物体是：假定物体是：因此，因此，应力与应变关系可用应力与应变关系可用胡克定律胡克定律表示（物理线性）。表示（物理线性）。a.a.完全弹性完全弹
16、性外力取消，变形恢复，无残余变形。外力取消，变形恢复，无残余变形。b.b.线性弹性线性弹性应力与应变成正比。应力与应变成正比。第一章第一章 绪论绪论第三节 弹性力学中的基本假定 建筑工程学院 弹性力学（3 3）均匀性均匀性假定物体由同种材料组成。假定物体由同种材料组成。 因此，因此， E、 等与位置等与位置( (x，y，z) )无关。无关。（4 4）各向同性各向同性假定物体各向同性。假定物体各向同性。因此，因此， E、等与方向无关。等与方向无关。符合（符合（1 1）- -（4 4）假定的称为）假定的称为理想弹性体理想弹性体。由（由（3）,（4）知）知E、等为常数。等为常数。第一章第一章 绪论绪
17、论第三节 弹性力学中的基本假定 建筑工程学院 弹性力学（5 5）小变形假定小变形假定假定位移和形变为微小量。 变形状态假定：变形状态假定：例：梁的例：梁的 10103 3 1,1, 1 1弧度（弧度（57.357.3）。）。a. .位移位移物体尺寸物体尺寸, ,例：梁的挠度例：梁的挠度v 梁高梁高h。第一章第一章 绪论绪论第三节 弹性力学中的基本假定 b. .， （，）2 （，）3，可略去可略去（，）2以上的项以上的项, ,使几何方程成为线性方程。使几何方程成为线性方程。第一章第一章 绪论绪论第三节 弹性力学中的基本假定 建筑工程学院 弹性力学 弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围弹性力
18、学基本假定，确定了弹性力学的研究范围: :理想弹性体的小变形问题。理想弹性体的小变形问题。2 2、听课与复习听课与复习3 3、习题与练习习题与练习学习方法：学习方法：1 1、预习与自学预习与自学第一章第一章 绪论绪论第三节 弹性力学中的基本假定 建筑工程学院 弹性力学第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论建筑工程学院 弹性力学第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题第一节第一节 平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题 弹
19、性力学平面问题共有应力、应变和位移弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8 8个未知函数，个未知函数，且均为且均为 。 弹性力学空间问题共有应力、应变和位移弹性力学空间问题共有应力、应变和位移1515个未知个未知函函数，且均为数，且均为 ；zyxf,yxf,建筑工程学院 弹性力学 （4 4）约束约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。 （3 3）面力面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变； （2 2）体力体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；条件是：条件是： 第一
20、种：平面应力问题第一种：平面应力问题 （1 1）等厚度的）等厚度的薄板薄板；第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学 坐标系如图选择。坐标系如图选择。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学简化为平面应力问题：简化为平面应力问题： 故只有平面应力故只有平面应力 存在。存在。0,2zzyzxz(在V中) , 0,zyzxz 由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无由
21、于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可向外力，可认为：认为：（1 1）两板面上无面力和约束作用，故）两板面上无面力和约束作用，故xyyx, ,第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学 所以归纳为平面应力问题：所以归纳为平面应力问题：a.a.应力中只有平面应力应力中只有平面应力 存在；存在；b.b.且仅为且仅为 。yxf,xyyx, ,（2 2）由于板为等厚度，外力、约束沿）由于板为等厚度，外力、约束沿z z向不变，故向不变，故应力应力 仅为仅为 。yxf,xyyx, ,第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第
22、一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学如：如：计算简图：计算简图：深梁深梁计算简图：计算简图：Fyfyf弧形闸门闸墩弧形闸门闸墩第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学因表面无任何面力，因表面无任何面力，0,0yxff 即：.0,zyzxz.0,zyzxzAB例题例题1 1：试分析：试分析ABAB薄层中的应力状态薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故接近平面应力问题。故表面上，有：故表面上，有：在近表面很薄一层内：在近表面很薄一层内：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应
23、变问题建筑工程学院 弹性力学（2 2）体力体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；第二种：平面应变问题第二种：平面应变问题条件是：条件是：（1 1）很长的）很长的常截面柱体常截面柱体；（3 3）面力面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4 4）约束约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学坐标系选择如图：坐标系选择如图：o
24、xzyozxy对称面zy第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学（平面位移问题）只有 ; , 0u,vw（平面应变问题）只有 ., , 0,0, 00 xyyxzyzxzyzxzw（1 1）截面、外力、约束沿）截面、外力、约束沿z z 向不变，外力、约束平行向不变，外力、约束平行xy面，面，柱体非常长。故任何柱体非常长。故任何z z 面（截面）均为对称面。面（截面）均为对称面。简化为平面应变问题：简化为平面应变问题：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学（2 2
25、）由于截面形状、体力、面力及约束沿）由于截面形状、体力、面力及约束沿z向均不变，故应向均不变，故应力、应变和位移均为力、应变和位移均为 f（x，y）。）。注意：由于注意：由于Z方向的位移被阻止，所以方向的位移被阻止，所以z一般不等于一般不等于0。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学 所以归纳为平面应变问题：所以归纳为平面应变问题： a. a.应变中只有平面应变分量应变中只有平面应变分量 存在；存在； b. b.且仅为且仅为 f（x，y）。）。xyyx,第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平
26、面应变问题建筑工程学院 弹性力学例如：例如：隧道隧道挡土墙挡土墙oyxyox第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学且仅为且仅为 。故只有故只有 ，本题中：本题中：0, 0zyzxzyxf,xyyx,oxyz例题例题2 2：试分析薄板中的应变状态。：试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。故为平面应变问题。. 0,zyzx第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性
27、力学第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第一节 平面应力问题和平面应变问题建筑工程学院 弹性力学2 22 2平衡微分方程平衡微分方程 平衡微分方程平衡微分方程表示物体内任一点的微分体的平衡条件。 在任一点（在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体取出一微小的平行六面体dxdy1 1, ,作用作用于微分体上的力：于微分体上的力：体力：体力： 。yxff , 应力：应力：作用于各边上，并表示出正面上由坐标增量引起的作用于各边上，并表示出正面上由坐标增量引起的应力增量。应力增量。 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第二节 平衡微分方程建筑工程学院 弹性力学应用的基本假定
28、应用的基本假定：连续性假定连续性假定应力用连续函数应力用连续函数 来表示。来表示。小变形假定小变形假定用变形前的尺寸用变形前的尺寸 代替变形后的尺寸。代替变形后的尺寸。 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第二节 平衡微分方程建筑工程学院 弹性力学列出平衡条件列出平衡条件：合力 = 应力面积，体力体积； 以正向物理量来表示。平面问题中可列出3个平衡条件。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第二节 平衡微分方程建筑工程学院 弹性力学其中一阶微量抵消，其中一阶微量抵消，并除以并除以dxdy得：得： .01dd1d1)dd(1d1)dd(, 0yxfxxyyyyxxFxy
29、xyxyxxxxx0.(a)yxxxfxy0 .(b)yxyyfyxFy=0，同理可得：，同理可得：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第二节 平衡微分方程建筑工程学院 弹性力学 当当dx，dy 0时，得切应力互等定理时，得切应力互等定理, ,MC =0，得，得,d21d21yyxxyxyxxyxy.(c)xyyx第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第二节 平衡微分方程建筑工程学院 弹性力学,0ij ijF00yxyyxyxxfxyfyx 对平面应力和平面应变问题都适用的对平面应力和平面应变问题都适用的平衡方程平衡方程：可用张量形式简记为：可用张量形式简记为：（2-
30、2）第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第二节 平衡微分方程建筑工程学院 弹性力学 适用的条件适用的条件连续性，小变形；连续性，小变形；对平衡微分方程的说明：对平衡微分方程的说明： 代表代表A中所有点的平衡条件，因为（中所有点的平衡条件，因为（x，y）A； 应力不能直接求出；应力不能直接求出； 对两类平面问题的方程相同。对两类平面问题的方程相同。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第二节 平衡微分方程建筑工程学院 弹性力学理论力学理论力学考虑整体考虑整体V的平衡（只决定整体的运动状态）。的平衡（只决定整体的运动状态）。 比较比较: :材料力学材料力学考虑有限体考虑有
31、限体V的平衡（近似）。的平衡（近似）。 弹性力学弹性力学考虑微分体考虑微分体dV的平衡（精确）。的平衡（精确）。 所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。 当当dV均平衡时，保证均平衡时，保证V ， V平衡；反之则不然。平衡；反之则不然。 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第二节 平衡微分方程建筑工程学院 弹性力学理力（ V ）材力（ ）弹力（ ）bxhVd1dddyxVhV dxdy dx第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第二节 平衡微分方程建筑工程学院 弹性力学思考题1.1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同
32、（可用来检试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来检验方程的正确性）。验方程的正确性）。2.2.将条件将条件MC =0, ,改为对某一角点的改为对某一角点的M=0 ，将得出什么结，将得出什么结果？果？3.3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第二节 平衡微分方程建筑工程学院 弹性力学第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第二节 平衡微分方程建筑工程学院 弹性力学第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第三节 平面问题中一点的应力状态 已知坐标面上
33、应力已知坐标面上应力x，y，xy求斜面上的应力。求斜面上的应力。问题的提出：问题的提出：2 23 3平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态建筑工程学院 弹性力学求解求解：取出一个三角形微分体（包含取出一个三角形微分体（包含x面，面，y面，面，n面），面）， l=cos(n,x), m=cos(n,y)。 边长边长AB=ds,PB=lds,PA=mds斜面应力表示：斜面应力表示：p= (px，py)，p= (n，n)第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第三节 平面问题中一点的应力状态建筑工程学院 弹性力学由平衡条件由平衡条件Fx=0 及及Fy=0 ，并略去高阶分量体力项，
34、得，并略去高阶分量体力项，得(1)(1)求求 (px，py)(2-3)(2-3),xyyyyxxxlmpmlp其中：其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y) 斜截面的方向余弦斜截面的方向余弦。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第三节 平面问题中一点的应力状态建筑工程学院 弹性力学(2)(2)求求 (n，n)将将p =(px，py)向法向，切向投影，得向法向，切向投影，得（2-4）（2-5）第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第三节 平面问题中一点的应力状态建筑工程学院 弹性力学 设某一斜面为主面，则只有设某一斜面为主面，则只有 由此建立方程，由此建立方程
35、，求出求出: :, 0,nn(3)(3)求主应力求主应力121221,22tan .xxyxyxyxy(2-6)(2-6)容易看出容易看出: :yx21(2-7)(2-7)第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第三节 平面问题中一点的应力状态建筑工程学院 弹性力学将将x，y放在放在1 1，2 2方向，列出任一斜面上应力公式，可以得方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设出（设1 1 2 2 ）.,2,2121 45 maxminmaxminnn的斜面上应力成发生在与主）（）（(4)(4)求最大，最小应力求最大，最小应力说明：以上均应用弹说明：以上均应用弹力符号规定导出。力符号规定
36、导出。(d)第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第三节 平面问题中一点的应力状态建筑工程学院 弹性力学第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第四节几何方程刚体位移几何方程几何方程表示任一点的微分线段上形变与位移之间的关系。表示任一点的微分线段上形变与位移之间的关系。2 24 4几何方程刚体位移几何方程刚体位移 通过点通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段作两正坐标向的微分线段, ,dyPBdxPA建筑工程学院 弹性力学变形前位置：变形前位置：P，A，B 变形后位置：变形后位置： P ，A ，B 各点的位置如图。各点的位置如图。 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问
37、题的基本理论第四节几何方程刚体位移建筑工程学院 弹性力学32sin,3!cos11,2 !tan. 应用基本假定应用基本假定：连续性；连续性；小变形小变形。当当很小时，很小时，第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第四节几何方程刚体位移建筑工程学院 弹性力学().xuudxuuxdxx.yvy由位移求形变：由位移求形变：PA 线应变线应变转角转角PB 线应变线应变转角转角同理，同理，tan.vdxvxdxxyu第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第四节几何方程刚体位移建筑工程学院 弹性力学 适用于区域内任何点，因为（适用于区域内任何点，因为（x, ,y） A；对几何方
38、程的说明：对几何方程的说明：. , ,yuxvyvxuxyyx所以平面问题的几何方程为：所以平面问题的几何方程为： 适用条件：适用条件：a.a.连续性；连续性；b.b.小变形。小变形。 应用小变形假定，略去了高阶小量应用小变形假定，略去了高阶小量 线性的几何方程线性的几何方程；第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第四节几何方程刚体位移建筑工程学院 弹性力学 几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。 形变和位移之间的关系：位移确定形变和位移之间的关系：位移确定 形变完全确定：形变完全确定： 从物理概念看，各点的位置确定，则微分
39、线段上的形从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定变确定 。 从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第四节几何方程刚体位移建筑工程学院 弹性力学 从物理概念看，从物理概念看，确定，物体还可作刚体位移。确定，物体还可作刚体位移。 从数学推导看，从数学推导看， ，确定，求位移是积分运算，出现待定确定，求位移是积分运算，出现待定函数。函数。形变确定，位移不完全确定：形变确定，位移不完全确定： 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第四节几何方程刚体位移建筑工程学院
40、弹性力学由由 , ,两边对两边对y积分，积分，由由 , ,两边对两边对x积分，积分，例：若例：若 , ,求位移：求位移：0 xyyx0, (a)xyvuxy0 xxu0yyv).(0),(1yfyxu).(0),(2xfyxv代入第三式代入第三式第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第四节几何方程刚体位移建筑工程学院 弹性力学分开变量，分开变量， 12d ( )d( ) ( ).(b)ddfyfxyx 因为几何方程第三式对任意的因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当均应满足。当（x，y）变化时，式变化时，式( (b) )的左，右均应的左，右均应= =常数常数，由此解出，由
41、此解出f1 1，f2 2。可得。可得 , . (c)oou uyv vx 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第四节几何方程刚体位移建筑工程学院 弹性力学物理意义：物理意义：表示物体绕原点的刚体转动。表示物体绕原点的刚体转动。u0 0，v0 0表示表示 x，y向的刚体平移，向的刚体平移，第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第四节几何方程刚体位移建筑工程学院 弹性力学结论 形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移关的刚体位移 则未定。则未定。 须通过边界上的约束条须通过边界上的约束条件来确定件来确定
42、。,oovu,oovu第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第四节几何方程刚体位移建筑工程学院 弹性力学思考题1.1.试证明微分体绕试证明微分体绕z轴的平均转动分量是轴的平均转动分量是).(21yuxv,cbaxyyx 2. 2.当应变为常量时，当应变为常量时， 试求出对应的位试求出对应的位移分量。移分量。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第四节几何方程刚体位移建筑工程学院 弹性力学第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第五节 物理方程物理方程物理方程表示（微分体上）应力和形变之间的物理关系。表示（微分体上）应力和形变之间的物理关系。11(), ,11(
43、), ,11(), .xxyzyzyzyyzxzxzxzzxyxyxyEGEGEG广义胡克定律：广义胡克定律：2 25 5物理方程物理方程（2-10）建筑工程学院 弹性力学物理方程的说明：物理方程的说明： 正应力只与线应变有关；切应力只与切应变有关。正应力只与线应变有关；切应力只与切应变有关。 是线性的代数方程；是线性的代数方程； 是总结实验规律得出的；是总结实验规律得出的； 适用条件适用条件理想弹性体；理想弹性体；第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第五节 物理方程建筑工程学院 弹性力学 物理方程的两种形式：物理方程的两种形式： 应变用应力表示，用于按应力求解；应变用应力表示，
44、用于按应力求解； 应力用应变（再用位移表示）表示，用于按应力用应变（再用位移表示）表示，用于按位移求解。位移求解。)(f)(f第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第五节 物理方程建筑工程学院 弹性力学平面应力问题的物理方程：平面应力问题的物理方程： 代入代入 ，得：，得：在在z方向方向0zyzxz11(), (),(a)2(1).xxyyyxxyxyEEE).( , 0yxzzE第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第五节 物理方程建筑工程学院 弹性力学221(),11(),(b)12(1).xxyyyxxyxyEEE平面应变问题的物理方程：平面应变问题的物理方程：在
45、在z z方向，方向，).(,0yxzz 代入代入, 0zyzxz得得第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第五节 物理方程建筑工程学院 弹性力学平面应力物理方程平面应力物理方程平面应变物理方程：平面应变物理方程：.1 ,12EE变换关系变换关系：.1 ,)1()21(2EE平面应变物理方程平面应变物理方程平面应力物理方程：平面应力物理方程：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第五节 物理方程建筑工程学院 弹性力学思考题 1.1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。 2. 2.试证：试证：3 3个主应力均为压应力，
46、有时可以产生拉裂现象。个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。 3. 3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）比圆筒试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）比圆筒（平面应变问题）的变形大。（平面应变问题）的变形大。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第五节 物理方程建筑工程学院 弹性力学第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第六节 边界条件 位移边界条件位移边界条件 设在设在Su部分边界上给定位移分量部分边界上给定位移分量u( (s) ) 和和v( (s) ), ,则有则有),()( ),()(svvsuuss（在（在Su上上) )。（a） 边界条件边界条件 表
47、示在边界上表示在边界上位移与约束位移与约束，或，或应力与面力应力与面力之间的关系。之间的关系。2 26 6边界条件边界条件建筑工程学院 弹性力学 若为简单的固定边，若为简单的固定边， 则有则有位移边界条件的说明：位移边界条件的说明：, 0 vu, 0)( , 0)(ssvu（在在Su上）。（上）。（b） 它是在它是在边界上边界上物体保持连续性的条件，或物体保持连续性的条件，或位移保持连续位移保持连续性的条件性的条件。 它是函数方程，要求在它是函数方程，要求在Su上每一点上每一点S，位移与对应的约束，位移与对应的约束位移相等。位移相等。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第六节 边
48、界条件建筑工程学院 弹性力学 在在23 中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，面应力与斜面应力的关系式，应力边界条件应力边界条件设在设在S上给定了面力分量上给定了面力分量 , ,xyyyyxxxlmpmlp).( ),(sfsfyx（在（在A中）。（中）。（c）第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第六节 边界条件建筑工程学院 弹性力学将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力应力边界条件边界条件: :()( ), . (d)()( ),xyxsxyxysy
49、lmfssmlfs（在 上）第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第六节 边界条件建筑工程学院 弹性力学 它是边界上微分体的静力平衡条件；它是边界上微分体的静力平衡条件；应力边界条件的说明：应力边界条件的说明： 式（式（c）在在A中每一点均成立，而式（中每一点均成立，而式（d）只能在边界只能在边界S上上成立；成立； 它是它是函数方程函数方程，要求在边界上每一点，要求在边界上每一点s上均满足，这是上均满足，这是精确的条件；精确的条件；第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第六节 边界条件建筑工程学院 弹性力学 所有边界均应满足，无面力的边界所有边界均应满足，无面力的边界
50、（自由边）（自由边） 也必须满足。也必须满足。 式（式（d）中，中， 按应力符号规定，按应力符号规定， 按面力符号规定；按面力符号规定；yfxf 位移位移, ,应力边界条件均为每个边界两个，分别表示应力边界条件均为每个边界两个，分别表示x，y向向的条件；的条件；, 0yxffxyyx, ,第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第六节 边界条件建筑工程学院 弹性力学若若x=a为正为正x 面，面，l = 1, m = 0, 则式则式( (d) )成为成为( ), (). (e)x ax x axxyyff当边界面为坐标面时，当边界面为坐标面时，第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的
