1、1 总结分析总结分析：(1)(1)前面讨论的信号的统计检测问题前面讨论的信号的统计检测问题(2(2元、元、M M元元) )，观测次数，观测次数N N是固定的，在达到规定的观测次数后，是固定的，在达到规定的观测次数后，强制作出强制作出M M个假设中其中一个假设个假设中其中一个假设H Hj j成立的判决，这种判成立的判决，这种判决方式通常称为硬判决。决方式通常称为硬判决。 (2)(2)信号检测的性能分析表明，功率信噪比与观测次数信号检测的性能分析表明，功率信噪比与观测次数N N成正比。成正比。 N 2222dNAdn3.8 3.8 信号的序列检测信号的序列检测2 通常情况下，观测是顺序进行的，即各
2、次的通常情况下，观测是顺序进行的，即各次的观测信号观测信号x xk k是顺序得到的，这样如果我们事先是顺序得到的，这样如果我们事先不不规定观测的次数规定观测的次数N N，而按照实际情况，采用边观，而按照实际情况，采用边观测边判决的方式，如果观测到第测边判决的方式，如果观测到第k k次还不能作出次还不能作出满意的判决，则可以不判决，而继续进行满意的判决，则可以不判决，而继续进行k+1k+1次次观测。称之为信号的观测。称之为信号的序列检测。序列检测。3信号序列检测的好处信号序列检测的好处 信号的序列检测使所需平均意义上的检测时信号的序列检测使所需平均意义上的检测时间相对于固定观测次数间相对于固定观
3、测次数N N的检测时间有所减小的检测时间有所减小。即在给定检测性能指标的情况下，它所用的平均即在给定检测性能指标的情况下，它所用的平均观测次数最少观测次数最少，平均检测时间最短。，平均检测时间最短。43.8.1 3.8.1 信号序列检测的基本概念信号序列检测的基本概念 在进行信号的序列检测时，若不预先规定对信号的检测在进行信号的序列检测时，若不预先规定对信号的检测次数次数N N，而是在获得第一个观测信号，而是在获得第一个观测信号x x1 1时就开始判决所能达时就开始判决所能达到的指标，如果在满足性能指标要求的前提下能做出判决，到的指标，如果在满足性能指标要求的前提下能做出判决，则信号检测过程便
4、结束，否则继续进行下一步观测则信号检测过程便结束，否则继续进行下一步观测, ,进一步进一步判决。判决。(1) (1) 信号的序列检测的基本概念；信号的序列检测的基本概念；(2(2）信号的序列检测的平均观测次数；）信号的序列检测的平均观测次数；5图图3.20 3.20 序列检测的判决域序列检测的判决域R,iijRRRj 2i=0，i继续判决对于最常用的二元信号的序列检测，其划分问题如下对于最常用的二元信号的序列检测，其划分问题如下6检测门限检测门限1 1检测门限检测门限2 27信号序列检测使用的准则信号序列检测使用的准则 为了实现信号的序列检测，一般采用为了实现信号的序列检测，一般采用修正修正的
5、奈曼的奈曼皮尔逊皮尔逊准则，在该准则下，信号的序准则，在该准则下，信号的序列检测是在给定的性能指标列检测是在给定的性能指标P(HP(H0 0|H|H1 1) )和和P(HP(H1 1|H|H0 0) )的条件下，从获得第一个观测量的条件下，从获得第一个观测量x x1 1开始进行似然开始进行似然比检验，检验的两个检测门限是由两个错误判比检验，检验的两个检测门限是由两个错误判决概率决概率P(HP(H0 0|H|H1 1) )和和P(HP(H1 1|H|H0 0) )的值计算出来的。的值计算出来的。8 设设N N次观测信号次观测信号x xk k所构成的所构成的N N维观测矢量为维观测矢量为x xN
6、N=(=(x1,x2,xN) )T T, , 其似然比函数为其似然比函数为 如果假设各次观测是相互统计独立的，则序如果假设各次观测是相互统计独立的，则序列检测的似然比函数可以表示为：列检测的似然比函数可以表示为：9进一步写成进一步写成110011001(|)(|)(|)(|)P HHP HHP HHP HH0下面确定似然检测门限和设与的约束值分别为则信号的序列似然检验如下H H1 1成立成立H H0 0成立成立10根据下一次观测进行检验根据下一次观测进行检验10下面推导以 、 表示两个检测门限和对于给定的 、 ，有11113.8.73.8.11(|)P HHN1因为有，由其物理意义知道故必须满
7、足式，即（x ）成立，代入1 成立得10得两检测门限和1210考虑到上面是以不等式形式给出的，我们可以得到近似设计和取上限取上限取下限取下限13如用对数形式则10对应检测门限为ln和ln14 3.8.23.8.2信号序列检测的平均观测次数信号序列检测的平均观测次数 信号序列检测的平均观测次数是该信号序列检测的平均观测次数是该检测方式的一个重要参数，下面计算检测方式的一个重要参数，下面计算 E(N|HE(N|H1 1) )和和E(N|HE(N|H0 0) )，其中，其中N N是终止观测的是终止观测的观测次数，它是个随机变量。观测次数，它是个随机变量。15 如果信号序列检测到第如果信号序列检测到第
8、N次观测时终次观测时终止，即满足止，即满足011 HH NN0lln (x ) ln判n (x ) ln判决成立成立决16 可得假设可得假设H H0 0为真时为真时 可得假设可得假设H H1 1为真时为真时 171NNN1N1NN0NN1ln (x)=ln (x )-ln (x)由于随着观测次数 的增加，ln (x)到ln (x )的每一步增量一般很小，所以可以近似认为终止观测时的对数似然比函数ln (x )只取两个值ln和ln因此ln (x )的条件均值为18k如果假设在每一个假设条件下，观测量x 都是独立同分布的，则H1（x）是任一次观测的似然比函数，因此在假设为真的条件下，有1913.8
9、.223.8.26H将代入式，则在假设为真下，所需的平均观测次数为0H同理，在假设为真下，所需的平均观测次数为2011 10Nk0对应上图，对于信号的序列检测lnln (x ) ln则不能作出判决，需要进行下一次观测，ln (x )落在ln和ln之间的概率一般小于 ，即有2111 n0k0所以,在n次观测中，对数似然比函数ln (x )落在ln和ln之间的概率，即ln (x )全部落在ln和ln之间的概率为Nn因此，当时有1 n0这说明，当n时，ln (x )落在ln和ln之间而不能判决的概率等于0,即信号的序列检测是有终止的。22 注解：虽然信号的序列检测是有终止的，但有时虽然信号的序列检测
10、是有终止的，但有时候观测次数太大，这时候我们需要规定一个观测次数候观测次数太大，这时候我们需要规定一个观测次数的上限的上限N N* * ；超过；超过N N* *则转为固定观测次数的判决方式，则转为固定观测次数的判决方式，称为可截断的序列检测。称为可截断的序列检测。 结论：对于给定的错误判决概率约束条件，这种对于给定的错误判决概率约束条件，这种序列检测方式所需的平均观测次数序列检测方式所需的平均观测次数E(N|HE(N|H1 1) )和和E(N|HE(N|H0 0) )是最少的。是最少的。231001011(|)(|)0.11kkkkP HHP HHHxnHxnN kN(0,)，各次观测统计独例
11、3.8.1 在二元数字通信系统中,两个假设下的输出信号分别为信号在通信系统传输过程中叠加了高斯噪声n 0.1;(1)序列检测判决表示式(2立，且观测是顺序)在各个假设条件进行的，试确定下列约束条件下下，各个观测次：数：的平均值。2422N11N22N0111N11exp()|22|1exp()22Nexp()2Nln()2NNkkNNkkNkkNkkxpHpHxxxxxx解：（1）若进行到第 次观测，则似然比函数为化为对数似然比函数为25110111ln()ln92.1971ln()ln2.19719N()2.197 H2N()2.197 H2N2.197 ()2.197 2NkkNkkNkk
12、xxx 10所以两个检测门限分别为lnln成立成立继续261100HHN(1)EN|H(ln ( |)(1)EN|H(ln ( |)Ex HEx H101010(2)在假设和下，观测次数 的平均值为lnln（）=lnln（）=2711001010011011(ln ( |)E(x-)|H =2211(ln ( |)E(x-)|H =-22(ln ( |) 3.515(ln ( |) 3.515(|)(|)0.1(ln ( |)(ln ( |)Ex HEx HnEx HEx HP HHP HHEx HEx H式中式中， 是任意一次观测的观测噪声，因此有即要达到题目中的约束条件0.1;的性能指标，
13、平均需要观测4次，如果计算得到的，不相等，则平均需要的观测次数取其中的较大者282930 如果对所有的假设如果对所有的假设H Hj j，信号的概率密度函数都，信号的概率密度函数都是高斯概率密度函数，则称此类信号的检测为是高斯概率密度函数，则称此类信号的检测为一般一般高斯信号的统计检测高斯信号的统计检测 本节在一般高斯分布的联合概率密度函数的基本节在一般高斯分布的联合概率密度函数的基础上，讨论一般高斯二元信号的统计检测。础上，讨论一般高斯二元信号的统计检测。3.9 3.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测313.9.1 3.9.1 一般高斯分布的联合概率密度函数一般高斯分布的联合概率
14、密度函数 定义定义1 1：联合高斯随机变量：联合高斯随机变量：若有一组随机变量：若有一组随机变量x x1 1,x,x2 2, ,x xN N，当它们的所有线性组合都是高斯随机变量时，则称这组随机变当它们的所有线性组合都是高斯随机变量时，则称这组随机变量是联合高斯随机变量量是联合高斯随机变量 。 定义定义2: N2: N维高斯随机矢量维高斯随机矢量：若有一个：若有一个N N维随机矢量维随机矢量x,x,其各分其各分量量x1,x2,xN是联合高斯的随机变量时，则称是联合高斯的随机变量时，则称x x是是N N维高斯随机维高斯随机矢量矢量 。 3.9 3.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测
15、32定义定义3 3：一般高斯分布的联合概率密度函数：一般高斯分布的联合概率密度函数设设 是是 维高斯随机矢量，维高斯随机矢量，意即其各个分量是联合高斯的随机变量。意即其各个分量是联合高斯的随机变量。 T21Nx,x,xx N则高斯随机矢量的则高斯随机矢量的N N维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为33 式中，均值矢量式中，均值矢量 其中其中 协方差矩阵协方差矩阵 其中其中 T21Nxxxx, kxxEk 1 11 212 12 2212NNNNNNx xx xx xx xx xx xxx xx xx xccccccCccc jkkjkjxxxkxjxxcxxEc 343.9.2 3.9.2
16、 一般高斯二元确知信号的统计检测一般高斯二元确知信号的统计检测 设设 是是N N维高斯随机矢量，维高斯随机矢量， T21Nx,x,xx 00|kxkE xH0000|j kjkjkx xjxkxx xcExHxHc35 设假设设假设 下，接收信号的概率密度函数为下，接收信号的概率密度函数为 而假设而假设 下，接收信号的概率密度函数为下，接收信号的概率密度函数为 则由似然比检验，经化简得一般高斯二元确知信号统计检则由似然比检验，经化简得一般高斯二元确知信号统计检 测的最佳判决通式为测的最佳判决通式为0H1H11111121 21|exp 3.9.82|TxxxNxp x HxCxC0000102
17、1 21|exp 3.9.72|TxxxNxp x HxCxC36 000111TT111122lxxxxxxxxCxxCx def0110ln21ln21ln xxHHCC3.9.1037 判决式表明，可以分三种情况判决式表明，可以分三种情况 11010 xxxxCC 21010 xxxxCC 31010 xxxxCC 三种情况中的任意一种出现，都能实现信号状态的最佳判决。三种情况中的任意一种出现，都能实现信号状态的最佳判决。讨论：讨论：1.1.情况（情况（3 3）最佳判决式为前面已经给出的）最佳判决式为前面已经给出的(3.9.10)(3.9.10)判决通式。判决通式。2.2.讨论前两种情况
18、讨论前两种情况(1)(1)和和(2)(2)。382. 2. 情况（情况（1 1）等协方差矩阵的情况等协方差矩阵的情况 若假设若假设H H0 0和和H H1 1下，观测信号的均值矢量不等，下，观测信号的均值矢量不等，协方差矩阵相等协方差矩阵相等 01011xxxxCC39将将3.9.113.9.11和和3.9.123.9.12式代入式代入3.9.103.9.10得检验统计量得检验统计量l(xl(x) )的的左边为左边为40 令令 则由则由判决通式（判决通式（3.9.10）得最佳判决式得最佳判决式 简记为简记为 分析：分析：检验统计量检验统计量 是由高斯随机矢量是由高斯随机矢量 经经 两次线性变换
19、得到的两次线性变换得到的一维高斯随机变量一维高斯随机变量 。这将对性能分析。这将对性能分析带来方便带来方便 。 性能分析：现研究检测性能。就和前面章节的相同了。性能分析：现研究检测性能。就和前面章节的相同了。 TTT01xxx 0011101T1T1T21lnxxxxxxHHxxCCxC 10HHxl xCxlxx1T x41 -101( )Txxl xC xHHl x因为，检验统计量为是高斯随机变量，我们求假设和下的检验统计量的均值和方差，42 检验统计量检验统计量 是高斯分布的，称为是高斯分布的，称为均值偏移高斯均值偏移高斯 高斯高斯问题。其判决概率问题。其判决概率 和和 分别为分别为 式
20、中，参数式中，参数 的平方定义为的平方定义为 xl 01H|HP 11H|HP 2ln01ddQH|HP 2ln11ddQH|HP dH|HPQQ 011d xxxxxxCCH| lVarH| lEH| lEd 1T21T02012def xxxC 1T 称为称为偏移系数偏移系数。对于此类信号检测问题，其。对于此类信号检测问题，其检测性能完全检测性能完全 由偏移系数由偏移系数d d2 2决定决定。43 以上我们给出了二元确知信号检测时，如果检验统计以上我们给出了二元确知信号检测时，如果检验统计 量量 是高斯分布的，其偏移系数为是高斯分布的，其偏移系数为 ，判决概率，判决概率 和和 的公式。该结
21、果同先求出的公式。该结果同先求出 和和 ， 再根据判决式，对再根据判决式，对 进行积分求出判决概率进行积分求出判决概率 的结果是一样的。的结果是一样的。 xl2d 01H|HP 11H|HP 0H| lp 1H| lp jH| lp jiH|HP 11010 xxxxCC 在等协方差矩阵情况下，根据协方差矩阵的结构，在等协方差矩阵情况下，根据协方差矩阵的结构，讨论几种特殊情况。讨论几种特殊情况。44A 设等协方差矩阵中的各元素满足设等协方差矩阵中的各元素满足 在这种特殊情况下意味着各次观测信号在这种特殊情况下意味着各次观测信号x xk k之间互不相关，因而也统计独立，且各个之间互不相关，因而也
22、统计独立，且各个分量分量x xk k的方差都相等的方差都相等45于是在两个假设下的协方差矩阵为于是在两个假设下的协方差矩阵为其逆矩阵为其逆矩阵为46则检验统计量则检验统计量l(xl(x) )为为检测门限为检测门限为偏移系数偏移系数d d2 2为为470110112(1)(2)(|)(0,),)3 9.1|.nkkkkkkkHxnHxsnP HHPnHHNs 例考虑高斯白噪声中简单二元信号的检测问题，两个假设分别为信号在通信系统传输过程信号：求判决表示中叠加了高斯噪已知。声式；求判决概率，。48B 设等协方差矩阵中的各元素满足设等协方差矩阵中的各元素满足 在这种特殊情况下意味着各次观测信在这种特
23、殊情况下意味着各次观测信号号x xk k之间互不相关，因而也统计独立，且之间互不相关，因而也统计独立，且各个分量各个分量x xk k的方差的方差不相等不相等49两个假设下的协方差矩阵为两个假设下的协方差矩阵为其逆矩阵为其逆矩阵为50因此，其检验统计量为因此，其检验统计量为51显然在上式中，具有小方差的观测信号分量加权越重，显然在上式中，具有小方差的观测信号分量加权越重，对检验统计量对检验统计量l(xl(x) )的贡献越大，检测门限为的贡献越大，检测门限为偏移系数偏移系数d d2 2为为52001101HHxxxx如果进一步假定，假设下的均值矢量中的各分量都等于，假设下的均值矢量中的各分量都等于
24、，则有偏移系数偏移系数d d2 2为为小方差对小方差对l(xl(x) )贡献贡献大大53这两种特殊结构的协方差矩阵形式，信号统计这两种特殊结构的协方差矩阵形式，信号统计检测的判决式的检验统计量检测的判决式的检验统计量l(xl(x) )和检测门限都和检测门限都是简明的表示式，决定检测性能的参数是简明的表示式，决定检测性能的参数d d2 2也可也可以简单求得。有两个简单特点。以简单求得。有两个简单特点。1 观测信号互不相关2 协方差矩阵为对角矩阵54C C 观测信号观测信号x xk k之间是相关的之间是相关的 其主要思路就是将这种情况下的协方差矩其主要思路就是将这种情况下的协方差矩阵变换为对角阵。
25、变相关为不相关。阵变换为对角阵。变相关为不相关。55 因为协方差矩阵因为协方差矩阵C Cx x是对称的正定阵，利用是对称的正定阵，利用对称矩阵的正交变换定理，将协方差矩阵对称矩阵的正交变换定理，将协方差矩阵C Cx x变变换为对角阵。这也是我们以前线性代数中的知换为对角阵。这也是我们以前线性代数中的知识。识。T为对角矩阵， 为正交矩阵56对角矩阵 表示为其逆矩阵为57xCNi矩阵中的元素 是矩阵的特征方程的 个特征根。T正交矩阵 表示为58是由齐次线性方程组NCN12Nx求出的 个线性无关的特征矢量a ,a ,.a经过正交化、单位化后获得的的 个线性无关两两正交的单位u是线性方程组矢量。的变量
26、。59Cxx在协方差矩阵对角化为 后，观测信号矢量 、均值矢量、均值差矢量也需要进一步的正交化处理式中60tt这说明，正交化观测矢量x 的各个分量是互不相关的，x是高斯随机矢量，所以x 仍为高斯随机矢量，统计独立。61正交化均值矢量为式中62正交化均值差矢量为式中63检验统计量和检测门限为2偏移系数d 为64010111211201TTN2x ,x1, 111HHCxxxxxxxxCCC 例3.9.2 已知一般高斯二元信号统计检测是属于不等均值矢量、等协方差矩阵的情况，且观测次数 。若观测信号的协方差矩阵为假设下和假设下的均值矢量为试通过对角化的方法建立检验统计量和检测门限，（0，0）（，）并
27、求偏移系数。653 等均值矢量情况等均值矢量情况 21010 xxxxCC 此时即此时即01xxx01xxCC信号检测的判决表示式为信号检测的判决表示式为66 在等均值矢量情况下，概率密度函数在等均值矢量情况下，概率密度函数p(x|Hp(x|H0 0) )和和p(x|Hp(x|H1 1) )在在N N维观测空间中的坐标中心维观测空间中的坐标中心是相同的，故均值矢量不能提供判决假设是相同的，故均值矢量不能提供判决假设H H0 0和和H H1 1成立的信息，而要靠两个协方差矩阵的差异成立的信息，而要靠两个协方差矩阵的差异CxCx0 0和和CxCx1 1。67 因此，在等均值矢量情况下，把概率密度函
28、数因此，在等均值矢量情况下，把概率密度函数p(x|Hp(x|H0 0) )和和p(x|Hp(x|H1 1) ) 的坐标中心移到原点，（即令均值的坐标中心移到原点，（即令均值矢量等于矢量等于0 0），同时对检测门限进行适当调整，就可以），同时对检测门限进行适当调整，就可以得到相同的判决结果，令得到相同的判决结果，令68则式则式3.9.603.9.60可表示为可表示为691CNNx由于是 阶方阵之差，故为 阶方阵，得到l(x)是高斯随机矢量x的二次型函数，而不是x的线性组合，所以l(x)不这是和前面服从高斯分布。的根本差异。 根据信号根据信号s s的协方差矩阵的协方差矩阵C Cs s的结构，教的结
29、构，教材分为三种特殊情况进行了讨论。这里从材分为三种特殊情况进行了讨论。这里从略。略。703.10 3.10 复信号的统计检测复信号的统计检测前面讨论的都是实信号的最佳检测理论前面讨论的都是实信号的最佳检测理论模型、最佳判决表示式、检测性能分析模型、最佳判决表示式、检测性能分析复信号的检测应用比较广泛复信号的检测应用比较广泛把实信号检测的结论推广到复信号把实信号检测的结论推广到复信号71主要内容主要内容复确知二元信号的统计检测复确知二元信号的统计检测复高斯二元随机信号的统计检测复高斯二元随机信号的统计检测723.10.13.10.1复确知二元信号的统计检测复确知二元信号的统计检测1 1 首先考
30、虑复高斯噪声独立同分布条件首先考虑复高斯噪声独立同分布条件下，简单二元复确知信号的统计检测下，简单二元复确知信号的统计检测01kkkkkkkHxnHxsnsn：其中 为确知复信号， 是复高斯噪声，互不相关因此也统计独立的，令复观测信号矢量为73是是N N维复高斯随机矢量，则两个假设条件下维复高斯随机矢量，则两个假设条件下的的N N维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为74H H表示复共轭转置表示复共轭转置75s 信号矢量 为763.10.5将概率密度函数代入到，两边取自然对数整理化简得77图图3.233.23独立同分布独立同分布CnCn情况下简单二元复确知信号检测原理框图情况下简单二元复确知
31、信号检测原理框图78下面简要讨论其检测性能下面简要讨论其检测性能独立复高斯随机变量之和仍是复高斯随机变量，独立复高斯随机变量之和仍是复高斯随机变量，其实部为高斯随机变量。求其均值和方差，从而其实部为高斯随机变量。求其均值和方差，从而获得其检测性能。获得其检测性能。首先，令首先，令它是复高斯随机变量，其均值和方差分别如下它是复高斯随机变量，其均值和方差分别如下79k2*kkn (k=1,2,.N)(n)(n )kkVarsVars利用互不相关80021E( |)0E( |)ksl Hl HsENk=18122202221( |)( |)nknsnknsVar l HsEVar l HsENk=1
32、Nk=1822NskEsNk=1是 次观测的信号能量83由于复高斯随机变量的实部和虚部都为实高斯随机变量，且相互统计独立，方差相同，且均为复高斯随机变量方差的一半，所以，根据84得852偏移系数d 为复信号的偏移系数为实复信号的偏移系数为实信号偏移系数的信号偏移系数的2 2倍倍E( |)jl Hll这是由于上面条件均值为实数，而检验统计量 （x）仅保留（x）的实部从而导致方差减半86于是得到判决概率为87下面考虑复高斯噪声独立同分布条件下，下面考虑复高斯噪声独立同分布条件下，一般二元复确知信号的统计检测一般二元复确知信号的统计检测001101kkkkkkkkkHxsnHxsnssn：、为确知复
33、信号，服从复高斯分布，且互不相关，因此也是统计独立的，令88两假设下的复信号矢量分别为两假设下的复信号矢量分别为89两复信号均为两复信号均为N N维矢量，所以观测信号在两个维矢量，所以观测信号在两个假设下的假设下的N N维联合概率密度函数分别为维联合概率密度函数分别为90根据似然比检验得根据似然比检验得91图图3.243.24独立同分布独立同分布CnCn情况下一般二元复确知信号检测原理框图情况下一般二元复确知信号检测原理框图 92下面分析以上判决的检测性能，首先定义下面分析以上判决的检测性能，首先定义01200211NENEkskkskssssNk=1Nk=1（1） 次观测复信号的能量为（2）
34、 次观测复信号的能量为9301kkss（3）复信号与的的相关系数9410kkss（4）复信号与的的相关系数95在以上定义的基础上，令96它当然是复高斯随机变量，在两个假设条件下，它的均值矢量和方差分别为0101010*1E( |)E( |)ssssssl HE EEl HEE E970101010101012*02*1( |)()( |)()nssssssnssssssVar l HEEE EE EVar l HEEE EE E9801010101010101010*12*02*1( )Re( ( ),( )( )E( |)E( |)( |)()/2( |)(ssssssnssssssnsss
35、sl xl xl xl xl HE EEl HEE EVar l HEEE EE EVar l HEEE EE因为检验统计量所以实高斯随机变量的方差是复高斯随机变量的一半，于是有01)/2ssE992这样，偏移系数d 为100判决概率分别为2 Cn 复高斯噪声矢量协方差矩阵为情况（从略）1013.10.2 复高斯二元随机信号的统计检测复高斯二元随机信号的统计检测 01s2n0CkkkkkkkHxnHxsnsnI考虑在复高斯白噪声中，复高斯二元随机信号统计检测的一种情况：其中复信号 是均值为 ，协方差矩阵为的复高斯随机信号是均值为0，协方差矩阵为的复高斯白噪声。102因为复高斯随机变量之和仍然为
36、复高斯随机变量，所以，在两假设下，观测信号矢量x的概率密度函数为103代入似然比检验两边取自然对数得104应用矩阵求逆引理得则3.10.40为105则3.10.40可写为2n对上式两边同乘以得106( )l x 为了得到更简明得判决表示式，对进一步化简1073.10.43( )l x 则式最终化为如下形式108图3.26复高斯二元随机信号检测原理框图109( ),l x2s显然，在复数情况下，检验统计量是高斯随机变量平方的加权和，特殊情况下，如果复高斯随机信号的各次观测信号互不相关，方差均为则判决表示式为1102a0110.1(1,2,. ),(1,2,. ),kkkkkkkNkNnHxnHx
37、snkkkk例3.考虑雷达信号检测的问题。若雷达系统发射的复信号为g来自目标反射回波的复信号为s =ag其中g 为已知的发射复确知信号，a是目标回波幅度起伏的复随机变量。假定a服从均值为0，方差为的复高斯噪声，且与观测噪声统计独立，这样，在两个假设下的观测信号的模型分别为：2nkkknnskag 是均值为0，方差为的复高斯白噪声，信号 是复高斯信号。（1）研究雷达信号的判决表示式；（2）对检测性能进行分析.111 第第3章主要内容章主要内容3.2 信号统计检测的基本概念信号统计检测的基本概念 信号不同状态的假设信号不同状态的假设 ； 不同状态信号的统计描述不同状态信号的统计描述 ； 根据信号统
38、计特性的差异，作出合理地判决；根据信号统计特性的差异，作出合理地判决； 判决结果为判决结果为 ，判决概率为，判决概率为 ； 最佳判决的实质是满足某种指标要求的判决域最佳划最佳判决的实质是满足某种指标要求的判决域最佳划 分，数学上表示为最佳判决式分，数学上表示为最佳判决式。 最佳判决的性能分析，最佳判决的性能分析，关键是要求出检验统计量关键是要求出检验统计量 的概率密度函数的概率密度函数 ，进而求出判决概，进而求出判决概 率率 ，最终分析检测性能。，最终分析检测性能。）（110 M,jHj ）（110 M,jH|xpj ）（110 M,j , iH|Hji ）（110 M,j , iH|HPji
39、 ）（110 M,jH| lpj xl ）（110 M,j , iH|HPji1123.33.4 二元确知信号统计检测的三个主要准则的基本概念：二元确知信号统计检测的三个主要准则的基本概念：贝叶斯准则贝叶斯准则 先验概率先验概率 已知，代价因子已知，代价因子 指定，使平均代价指定，使平均代价 最小；最小；最小平均错误概率准则最小平均错误概率准则 先验概率先验概率 已知，代已知，代 价因子价因子 ， 使平均错误概率使平均错误概率 最小；最小；奈曼皮尔逊准则奈曼皮尔逊准则 在在 约束下，使约束下，使 最大。最大。二元确知信号的统计检测二元确知信号的统计检测 ）（10,jHPj ）（10,j , i
40、cij C ）（10,jHPj ）（101,j , icijij 101010H|HPHPH|HPHPPe 01H|HP 11H|HP113 二元确知信号统计检测的最佳判决式：二元确知信号统计检测的最佳判决式：似然比检验判决式似然比检验判决式化简为检验统计量与检测门限比较的最佳判决式化简为检验统计量与检测门限比较的最佳判决式 或或 检测性能分析：检测性能分析： 根据检验统计量根据检验统计量 统计特性；求出其概率密度函统计特性；求出其概率密度函 数数 ；根据最佳判决式，积分求出各种判；根据最佳判决式，积分求出各种判 决概率决概率 ；进而求出其检测性能。；进而求出其检测性能。 1001HHH|xp
41、H|xpx 10HHxl 10HHxl xl ）（10,jH| lpj ）（10,j , iH|HPji 1143.6 M3.6 M元确知信号的统计检测元确知信号的统计检测 我们可以把二元确知信号统计检测的我们可以把二元确知信号统计检测的贝叶斯准则、最贝叶斯准则、最 小平均错误概率准则的小平均错误概率准则的概念、理论和方法推广应用到概念、理论和方法推广应用到M M元确知信元确知信号的统计检测中。号的统计检测中。1153.7 3.7 参量信号的统计检测参量信号的统计检测 在确知信号统计检测理论的基础上，结合参量在确知信号统计检测理论的基础上，结合参量信号的统计特性，可以实现参量信号的统计检测，信
42、号的统计特性，可以实现参量信号的统计检测，这就是复合假设检验。其方法主要有基于最大似然这就是复合假设检验。其方法主要有基于最大似然估计的广义似然比检验和基于对参量统计平均的贝估计的广义似然比检验和基于对参量统计平均的贝叶斯方法或需要进行事后检验的奈曼叶斯方法或需要进行事后检验的奈曼皮尔逊准皮尔逊准则方法。则方法。1163.83.8信号序列检测的基本概念信号序列检测的基本概念 在进行信号的检测时，若不预先规定对信在进行信号的检测时，若不预先规定对信号的检测次数号的检测次数N N，而是在获得第一个观测信号，而是在获得第一个观测信号x x1 1时就开始判决所能达到的指标，如果在满足时就开始判决所能达
43、到的指标，如果在满足性能指标要求的前提下能做出判决，则信号检性能指标要求的前提下能做出判决，则信号检测过程便结束，否则继续进行观测。测过程便结束，否则继续进行观测。11710得两检测门限和118 3.9 3.9 一般高斯信号的统计检测一般高斯信号的统计检测 具有高斯特性的信号是实际中最常用的信号模型。我们讨论了一般具有高斯特性的信号是实际中最常用的信号模型。我们讨论了一般二元高斯信号的统计检测问题，在均值矢量二元高斯信号的统计检测问题，在均值矢量 不等、协方差矩阵相等，均不等、协方差矩阵相等，均值矢量相等、协方差矩阵不等值矢量相等、协方差矩阵不等 和均值矢量不等、协方差矩阵也不等三种和均值矢量
44、不等、协方差矩阵也不等三种情况的任意一种情况的任意一种 出现，都可实现一般二元高斯信号的统计检测。出现，都可实现一般二元高斯信号的统计检测。 在均值矢量不等、协方差矩阵相等的情况下，在均值矢量不等、协方差矩阵相等的情况下，检验统检验统 计量计量 l(xl(x) )是服是服从高斯分布从高斯分布的，这是均值偏移高斯的，这是均值偏移高斯高斯问高斯问 题。决定检测性能的偏移题。决定检测性能的偏移系数系数 判决概率为判决概率为 02012H| lVarH| lEH| lEd 2ln01ddQH|HP 119 式中式中 2ln11ddQH|HP dH|HPQQ 011 uuuQud2exp2122100 120本章习题本章习题3. 2 3. 4 3.6 3. 17 3.21 3.273. 2 3. 4 3.6 3. 17 3.21 3.27计算机仿真计算机仿真1 1 自己设计一个奈曼自己设计一个奈曼皮尔逊接收机。皮尔逊接收机。2 2 设计一个二元调制最佳接收机。设计一个二元调制最佳接收机。要求：要求：1 1 仿真题简要写明设计过程；仿真题简要写明设计过程；2 2 提供程序代码；提供程序代码；3 3 程序程序要有详细注释。要有详细注释。
