1、第二章第二章 虚功原理及其应用虚功原理及其应用1 1、虚位移原理、虚位移原理虚位移原理，亦称虚功原理，其表述如下：虚位移原理，亦称虚功原理，其表述如下：在在不可解不可解、理想理想、完整完整、稳定稳定的约束下，力学系统平衡的充要条件的约束下，力学系统平衡的充要条件是作用在系统上的主动力在任何虚位移中所作元功之和等于零。是作用在系统上的主动力在任何虚位移中所作元功之和等于零。 注：平衡是指在诸主动力作用下系统仍然保持原来状态。注：平衡是指在诸主动力作用下系统仍然保持原来状态。证明：证明： 必要性必要性 由已知推结论由已知推结论 设力学体系由设力学体系由N N个质点组成，受个质点组成，受k k个完整
2、约束。对第个完整约束。对第i i个质点来个质点来 说，平衡时应有说，平衡时应有iiF + R = 0, i= 1, 2, ,N1.1.虚位移原理及其证明虚位移原理及其证明设每一个质点在平衡位置发生一个虚位移设每一个质点在平衡位置发生一个虚位移 , , 则作虚功为则作虚功为: : i riiiiiW =F r+R r=0, i=1, 2, ,N于是于是Niii=1W =F r =0Nixiiyiizii=1W=(F x +F y +F z )=0或或 充分性充分性 反推由结论推导已知反推由结论推导已知对所有质点取和：对所有质点取和：NNiiiii=1i=1W=F r+R r=0由于约束是不可解的
3、、理想的，由于约束是不可解的、理想的， 因此有因此有Niii=1R r =0设主动力的虚功之和为零，即设主动力的虚功之和为零，即 ； 但质点系不平衡；这意但质点系不平衡；这意 Niii=1F r =0味着质点系中必有味着质点系中必有 部分质点由静止进入运动，现取这样的一个质点来分析。部分质点由静止进入运动，现取这样的一个质点来分析。当质点不平衡时作用在其上的主动力与约束力的合力不为零，即当质点不平衡时作用在其上的主动力与约束力的合力不为零，即iiiN =F+R0此质点将沿着其所受的合力此质点将沿着其所受的合力 的方向由静止开始运动，故的方向由静止开始运动，故 做正功为：做正功为：iNiNiii
4、iN dr= F+Rdr 0因此，对于整个质点系有因此，对于整个质点系有Niii=1F+Rdr 0但在理想约束下，但在理想约束下， ； 于是有于是有由于质点系受到的约束是稳定的完整约束，所以实位移是虚位移中的一个，由于质点系受到的约束是稳定的完整约束，所以实位移是虚位移中的一个，因此必有某一虚位移与实位移重和，即因此必有某一虚位移与实位移重和，即 。因此。因此iir=drNNiiiii=1i=1F r+Rr0Niii=1Rr=0Niii=1F r0显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足 质点系不能从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。质点系不能
5、从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。Niii=1F r=02. 2. 虚位移原理的各种形式虚位移原理的各种形式(1). (1). 矢量形式矢量形式10NiiiFr(2). (2). 广义坐标形式广义坐标形式假设假设N N个质点组成的质点系，受到个质点组成的质点系，受到k k个不可解、理想、稳定的约束，则可个不可解、理想、稳定的约束，则可取取 s=3N-k s=3N-k 个独立的广义坐标个独立的广义坐标 来表示出任意质点位矢，即来表示出任意质点位矢，即12,sq qq12( ,) (1, 2, ,)iisrr q qqiN1siirrqq变分得：变分得：s=1W=Q q =0-虚功原理的广
6、义坐标形式虚功原理的广义坐标形式111s=11 =0 NNsiiiiiiNiiirWFrFqqrFqq 它表明受理想约束的体系处于平衡的充要条件是所有作用在体系上的广它表明受理想约束的体系处于平衡的充要条件是所有作用在体系上的广义力等于零，即义力等于零，即1 0, 1, 2, , NiiirQFsq定义：定义： 为对应于广义坐标为对应于广义坐标 的广义力，则有的广义力，则有1 NiiiarQFqq若不用广义坐标对虚功原理作变换，仍采用不独立的直角坐标形式，则若不用广义坐标对虚功原理作变换，仍采用不独立的直角坐标形式，则不能直接用来求解具体的问题，这时需要应用拉格朗日不定乘子法求解。不能直接用来
7、求解具体的问题，这时需要应用拉格朗日不定乘子法求解。3. 3. 虚功原理的意义虚功原理的意义(1). (1). 虚功原理是静力学的最普遍的原理，由它可以推导出全部静力学。虚功原理是静力学的最普遍的原理，由它可以推导出全部静力学。(2). (2). 虚位移原理是从功的观点来研究力学系统的平衡的，而几何静力学虚位移原理是从功的观点来研究力学系统的平衡的，而几何静力学 是从力的观点来研究平衡的。是从力的观点来研究平衡的。(3). (3). 当系统有较多约束时，利用分析静力学的方法解静力学问题比几何当系统有较多约束时，利用分析静力学的方法解静力学问题比几何 静力学简单得多。静力学简单得多。(4). (
8、4). 虚功原理与达朗伯原理联合而构成动力学普遍方程，因此虚功原理虚功原理与达朗伯原理联合而构成动力学普遍方程，因此虚功原理 是分析力学的一个基本原理。是分析力学的一个基本原理。2 2、 虚位移原理的应用虚位移原理的应用1. 1. 用虚功原理解静力学问题用虚功原理解静力学问题例例1. 1. 离心调速器如图，已知小球离心调速器如图，已知小球ABAB的重量都是的重量都是P P，套筒，套筒C C 和各杆的重量和各杆的重量均不计，套筒的尺寸和系统摩擦也不计。均不计，套筒的尺寸和系统摩擦也不计。AD=BC=bAD=BC=b，OC=OD=aOC=OD=a，在铅直轴，在铅直轴上作用一力偶，其力偶矩为上作用一
9、力偶，其力偶矩为M M。若取调速器转角为。若取调速器转角为 及杆及杆ADAD和和BCBC与铅直线与铅直线间的夹角间的夹角 为广义坐标，求对应的广义力为广义坐标，求对应的广义力 和和 。QQABCDP P Oxy解：建如图直角坐标系解：建如图直角坐标系, 1122A(x ,y ) , B(x ,y )21212121x =-x =a+bsinx =-x =bcosy =y =bcosy = y =-bsin12W=Py +Py +M-2Pbsin+M=Q +Q 系统所做虚功为：系统所做虚功为：ABCDP P Oxy-2Pbsin+MQ +Q (Q +2Pbsin)+(Q -M)0由于由于 是相互
10、独立的，有是相互独立的，有, Q +2Pbsin=0Q =2PbsinQM)=0Q =M例例2. 2. 如图所示的劈，求平衡时如图所示的劈，求平衡时 之间的关系。之间的关系。12P, P, P1P2PBAC1PP解：取三物体为系统，设各接触面都是光解：取三物体为系统，设各接触面都是光滑的且满足理想约束条件。系统有两个自滑的且满足理想约束条件。系统有两个自由度。取直角坐标由度。取直角坐标xoyxoy，劈尖，劈尖C(x,y)C(x,y)为广义为广义坐标，坐标， 。12A(x ,0)B(x ,0)，1122Py+Px +P x =0由虚功原理：由虚功原理：由几何关系写出约束方程：由几何关系写出约束方
11、程：1122x =x+ytgx =x+ytgx =x-ytgx =x-ytg由于由于 是相互独立的，故得平衡条件：是相互独立的，故得平衡条件：1221(P-Ptg-P tg)y+(P -P )x=0 x , y1212121P-Ptg-P tg=0P=2PtgP -P =0P =P例例3. 3. 如图所示，均匀杆如图所示，均匀杆ABAB长为长为a a，重，重P P，约束在一个固定光滑的铅直圆环中。，约束在一个固定光滑的铅直圆环中。圆环的半径为圆环的半径为R R，求其平衡位置。，求其平衡位置。yxABCoP解：根据已知知道该系统有三个约束条件，自由度为解：根据已知知道该系统有三个约束条件，自由度
12、为s=1.s=1.设、设、C C三点坐标分别为三点坐标分别为AABBCCA(x ,y ) B(x ,y ) C(x ,y )222AA222BB222ABABx +y =Rx +y =R(x -x ) +(y -y ) =a因此取杆重心因此取杆重心C C的纵坐标的纵坐标 为广义坐标，则杆的位置完全确定。平衡时，虚为广义坐标，则杆的位置完全确定。平衡时，虚位移原理为：位移原理为：yxABCoP2222ABAB(x +x ) +(y +y ) =4R -a2CAB222CCCAB1x =(x +x )a2x +y =R -14y =(y +y )2CyCCPy =0y =02222CCaay =-
13、|OC|sin =- R -siny =- R -cos =044 30, cos0,.222P1P),(222yxC),(111yxC),(33yxBFAxyo解解 ： 我们只要能确定我们只要能确定A、B两点的位置，问题两点的位置，问题就可解决。因为这是一个平面问题，确定就可解决。因为这是一个平面问题，确定A、B两点的位置需要四个坐标，但有两个约束方程两点的位置需要四个坐标，但有两个约束方程: 所以只有两个自由度。现取所以只有两个自由度。现取及及为两个广义坐为两个广义坐标。因两杆均匀，则和两重力作用点分别在两标。因两杆均匀，则和两重力作用点分别在两杆的中点。设此两中点的坐标分别为杆的中点。设
14、此两中点的坐标分别为 和和 , 并设的作用点并设的作用点B的坐标的坐标 , 则则由虚功原理，有由虚功原理，有12,OAlABl22(x ,y )11(x ,y )33(x ,y )例例4. 4. 均匀杆均匀杆OAOA，重，重 ，长为，长为 ，能在竖直平面内绕固定光滑铰链，能在竖直平面内绕固定光滑铰链O O转动，此转动，此杆的杆的A A端用光滑铰链连接另一重为端用光滑铰链连接另一重为 ，长为，长为 的均匀杆的均匀杆ABAB。在。在ABAB杆的杆的B B端加一端加一水平力。求平衡时此两杆与水平线所成的角度水平力。求平衡时此两杆与水平线所成的角度及及。1P2P2l1l032211yFxPxP0 1i
15、niirFW112123121sin21sinsin2coscosxlxllyll112121211sinsinsin( coscos ) 022PlPllF ll2P1P),(222yxC),(111yxC),(33yxBFAxyo1 12 112 2211coscossincossin022PlPlFlPlFl 1 12 112 221coscos2sin01cossin02PlP lFlP lFl因因 及及 互相独立，所以有互相独立，所以有由此得到由此得到、的解为：的解为：FPtgFPPtg2222212. 2. 利用虚位移原理求平衡位置及其稳定性利用虚位移原理求平衡位置及其稳定性iix
16、xiyyiziiiVVVF= V=Fe +Fe +FxyzzeN个质点组成的保守系统，每个质点个质点组成的保守系统，每个质点 的作用力的作用力 都具有势函数都具有势函数V, 则则imiFNNiiixiiyiizii=1i=1Niiii=1iiiiiiW=F rF x +F y +F zVVVx +y +zxxx=V(x ,y ,z )=0代入虚位移原理得：代入虚位移原理得：(1). (1). 力有势函数的平衡条件力有势函数的平衡条件这表明具有势函数时的平衡条件是势函数具有稳定值，此时系统处于平这表明具有势函数时的平衡条件是势函数具有稳定值，此时系统处于平衡状态。衡状态。(2). (2). 平衡
17、位置的稳定性平衡位置的稳定性设质点系仅有一个自由度且独立参数为设质点系仅有一个自由度且独立参数为q q，势函数是，势函数是V(q)V(q)， 是此质点系是此质点系的一个平衡位置，即的一个平衡位置，即0q0q=qV0q000n00n1q=q2000q=qq=q1VV(q)=V(q )+(q-q )! qV1VV(q )(q-q )(q-q )q2qnnn！V(q)V(q)泰勒展开得：泰勒展开得：0202q=qV 0 , V(q )q为为V(q)V(q)的极小的极小值值00NNNiiiiiiii=1i=1i=1iiin+1n0n+1n=1q=q202q=qrrxVVVQ=FVqqxqqqV1V =
18、(q-q )qn! qV =(q-q )qyzyz 若取若取q q为广义坐标，则对应的广义力：为广义坐标，则对应的广义力：00022q=q22q=q22q=qV0qV0qV0q广义力广义力Q Q与位移反号，与位移反号，Q Q使系统恢复到平衡位置，使系统恢复到平衡位置，即在处系统是稳定平衡即在处系统是稳定平衡0(q-q )0q0q广义力广义力Q Q与位移同号，即在处系统是不稳定平衡与位移同号，即在处系统是不稳定平衡0(q-q )0q不能确定平衡的稳定性不能确定平衡的稳定性00002n-1n2n-1nq=qq=qq=qq=qVVVV0 , 0 ;qqqq若若则则有有(i). (i). 当当n n为
19、偶数，时为极大值，则系统是不稳定平衡为偶数，时为极大值，则系统是不稳定平衡. .0V(q )0nnq=qV0q(ii). (ii). 当当n n为偶数，为偶数， 时为极小值，则系统是稳定平衡时为极小值，则系统是稳定平衡. .0V(q )0nnq=qV0q对于两个自由度系统，设为它的广义坐标，其势能函数为：对于两个自由度系统，设为它的广义坐标，其势能函数为：12q , q12V=V(q ,q )11022012q =qVV=0 , =0q =qqq系统平衡条件为：系统平衡条件为：将在点附近做泰勒级数展开：将在点附近做泰勒级数展开：12V(q ,q )1020(q ,q )110110220220
20、1102202221210201101102202q =qq =q112q =qq =q222202q =q2q =q1VVV(q ,q )=V(q ,q )+q -q2q -qq -q2qq qVq -qq 1102202222221212q =qq =qVVVq qqq 取取则有则有102010200, V(q,q)=0, 0, V(q,q) 非极值非极值问题不能确定问题不能确定为极值为极值222212222212VV0 0 0 ,qq或 或 是极大值是极大值系统处于不稳平衡系统处于不稳平衡1020V(q ,q )是极小值是极小值系统处于稳定平衡系统处于稳定平衡1020V(q ,q )例在
21、光滑的圆柱上放置着长为例在光滑的圆柱上放置着长为b b，重量同为，重量同为P P的两均匀杆两杆用光的两均匀杆两杆用光滑铰链相联结，求其平衡位置并讨论它的稳定性已知圆柱半径为滑铰链相联结，求其平衡位置并讨论它的稳定性已知圆柱半径为a.a.A AO OC Ca azyh hb bb bP解：此系统自由度为，设铰链解：此系统自由度为，设铰链A A与圆柱中心与圆柱中心O O连线连线AOAO与杆的夹角为，与铅垂线夹角为，则与杆的夹角为，与铅垂线夹角为，则两杆的合重心两杆的合重心C C离离O O的高度的高度h h为：为：ah=|OC|cos=(|OA|-|AC|)cos=(-bcos)cossin系统的势
22、能为：系统的势能为：aV=2Ph=2P(-bcos)cossin-,0 sin V=0 Va=-2P-bcos=-2P|OC|sin 0022222222=0=0=VVVV-2P OC0 时，才存在极值。时，才存在极值。022=0=V0而而 表明系统的平衡为稳定的，表明系统的平衡为稳定的， OC0表示杆的重心表示杆的重心C C应在圆柱应在圆柱中心中心O的下面。的下面。QPA 1.一滑轮组由一定滑轮一滑轮组由一定滑轮A与与n个动滑轮所组成。试求平衡时被举起的重物个动滑轮所组成。试求平衡时被举起的重物Q 与作用于绳子一端的力与作用于绳子一端的力P之比值。之比值。2. 2. 一小球一小球M M在一光
23、滑管内，此管成一长轴为在一光滑管内，此管成一长轴为2a2a的椭圆形状并位于水平面内。的椭圆形状并位于水平面内。此球受椭圆二焦点的吸引，引力和距离平方成反比，其中一焦点吸引力的此球受椭圆二焦点的吸引，引力和距离平方成反比，其中一焦点吸引力的比例系数为比例系数为 ，另一个为，另一个为 。求小球在平衡位置时的矢径。求小球在平衡位置时的矢径r r及及b.b.2k21krbMAByx3. 3. 均匀杆均匀杆AB=aAB=a，重，重P P，一端靠在铅垂光滑墙面上，另一端在光滑地面上。如，一端靠在铅垂光滑墙面上，另一端在光滑地面上。如欲使杆在铅垂面内任意位置都能平衡，试求此地面的形状。欲使杆在铅垂面内任意位
24、置都能平衡，试求此地面的形状。AByxOP7.7.一匀质杆一匀质杆ABAB长为长为2a2a，依于曲线导板上，导板形状是半径为，依于曲线导板上，导板形状是半径为R R的半圆，不计的半圆，不计摩擦。求平衡位置并讨论其稳定性。摩擦。求平衡位置并讨论其稳定性。BAOyxR8.8.一个均匀杆一个均匀杆ABAB长为长为2a2a，其，其B B端与光滑垂直壁相接触，并靠在与壁相距为端与光滑垂直壁相接触，并靠在与壁相距为b b的的光滑固定钉上如图。试确定杆的平衡位置并讨论其稳定性。光滑固定钉上如图。试确定杆的平衡位置并讨论其稳定性。BAb9. 9. 质量为的两质点质量为的两质点A A、B B，用长为，用长为a
25、a的细线相连接。挂在光滑的固定钉的细线相连接。挂在光滑的固定钉O O上，上，B B铅垂向下，铅垂向下，A A放在与线在同一铅垂面内的光滑曲线上，不论放在与线在同一铅垂面内的光滑曲线上，不论A A在曲线上在曲线上的什么位置，都处于平衡。试问该曲线是何形状？的什么位置，都处于平衡。试问该曲线是何形状？rOxyAB10. 10. 半径为半径为a a的小圆球放在半径为的小圆球放在半径为b b的大圆球顶上，接触处有足够摩擦，不至于的大圆球顶上，接触处有足够摩擦，不至于产生滑动。小球的重心产生滑动。小球的重心A A在过接触点铅垂线的正上方在过接触点铅垂线的正上方h h距离处如图所示。距离处如图所示。试讨论小球平衡的稳定性试讨论小球平衡的稳定性。AabBh
