1、第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua 课程课程 名称：名称： 经济数学模型经济数学模型 学分：学分： 2 教师：教师： 毛瑞华毛瑞华 电话：电话： (028) 85413996 E-mail: (123456) QQ： 459519390第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua2. 参考书参考书1. 宏观经济数量分析方法与模型宏观经济数量分析方法
2、与模型, 刘起运刘起运 主编主编, 高等教育出版社高等教育出版社2. 经济数学模型经济数学模型, 洪毅洪毅 等等 编著编著 华南理工大学出版社华南理工大学出版社3. 经济学中的分析方法经济学中的分析方法, 高山晟高山晟(美美) 著著, 刘振亚刘振亚 译译, 中国人民大学出版社中国人民大学出版社4. 经济数学方法与模型经济数学方法与模型，安吉尔，安吉尔.德德.拉拉.弗恩特弗恩特 著著, 上海财经大学出版社上海财经大学出版社5. 经济学的结构经济学的结构-数量分析方法数量分析方法, Eugene Silberberg, Wing Suen 著著, 清华大学出版社清华大学出版社第一章第一章 引引 论
3、论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua第一部分第一部分经济数学模型的概念经济数学模型的概念及建模方法简介及建模方法简介第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua1.1数学模型和模型的建立一、模型和数学模型一、模型和数学模型1. 模型：人们为了深刻地认识和理解原型问题而对其所作的一种抽象和升华，其目的是通过对模型的分析、研究加深对原型问题的理解和认识。2. 数学模型：通过抽
4、象和简化，使用数学语言对实际现象进行的一个近似的描述，以便于人们更加深入地认识所研究的对象。第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua(1) 对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条件，将实际问题中的一些指标进行量化；件，将实际问题中的一些指标进行量化；(2) 给出描述问题的数学提法；给出描述问题的数学提法；(3) 利用数学理论和方法或计算机进行分析利用数学理论和方法或计算机进行分析, 得出结论；得出结论；(4)
5、利用现实问题验证结论的合理性，并作修正利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.3. 需要解决几个问题：需要解决几个问题：第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua4.数学模型建模的步骤数学模型建模的步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用模型改进第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua二、建立数学模型的一个实例二、建立数学模型的一个
6、实例1、问题的提出、问题的提出 设市场上有设市场上有n 种资产种资产Si(i=1,2,n)可供投资者选择可供投资者选择, 某公司某公司有数额为有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务人员对这财务人员对这 n 种资产进行了评估，估计出在这一时期内购买种资产进行了评估，估计出在这一时期内购买资产资产Si 的平均收益率为的平均收益率为ri,且预测出购买资产且预测出购买资产Si 的风险损失为的风险损失为qi。 考虑到投资越分散考虑到投资越分散,总的风险越小。公司决定在运用这批资总的风险越小。公司决定在运用这批资金购买若干资产时，总体风险
7、用在资产金购买若干资产时，总体风险用在资产Si中所投资产的最大风中所投资产的最大风险来度量。险来度量。 购买资产购买资产Si的需要支付交易费的需要支付交易费,其费率为其费率为pi,并且当购买额不并且当购买额不超过超过ui时时, 交易费按购买额交易费按购买额 ui计算。计算。 设同期银行存款利率是设同期银行存款利率是r0=5%, 且存取款时既无交易费也无且存取款时既无交易费也无风险。风险。 第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua2. 对问题的定位：最优化问题对问题的定位：
8、最优化问题 需要确定购买资产需要确定购买资产Si 的具体投资额的具体投资额 xi ,即建立投资组合，实即建立投资组合，实现两个目标：现两个目标：(1) 净收益最大化；净收益最大化；(2) 整体风险最小化；整体风险最小化；第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua3. 建模准备：建模准备：(1)决策变量：决策变量： 资产资产Si ( i =0,1,n)的投入量的投入量xi , i =0,1, n, 其中其中S0 表示将表示将资产存入银行。资产存入银行。(2)投资收益：投资收益
9、： 购买资产购买资产Si (i=0,1,2, n)的收益率为的收益率为 ri, 因此投资因此投资 xi 的收益的收益率为率为 rixi , 除去交易费用除去交易费用ci(xi),则投资则投资 xi 的净收益为的净收益为 Ri=rixi - ci(xi)。从而，总投资的总收益为从而，总投资的总收益为 R(x)= Ri(xi)。用数学符号和公式表述决策变量用数学符号和公式表述决策变量,构造目标函数和确定约束条件构造目标函数和确定约束条件第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua
10、(3)投资风险投资风险：购买资产购买资产Si(i=0,1,2, n)的风险损失为的风险损失为qi , 因此投资因此投资xi 的收益率为的收益率为qi xi, 其总体风险用其总体风险用Si的风险的风险,即即Qi(xi)= qi xi中中最大的一个来度量最大的一个来度量.从而总投资的风险损失为从而总投资的风险损失为 Q (x)= maxQi(xi)。(4) 约束条件：约束条件：000,0;(), 0;1, ,()0.,.iiiiiiiiiiixc xpuxuin c xp xxu0(I)()niiiixc xM第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 200
11、7Economical mathematic Model-Maoruihua(II). 记记 x=(x0, x1, x2, , xn)T, 1=(1, 1, 1, ,1)T, c=(c0, c1, c2, , cn)T, r=(r0, r1, r2, ,rn )T,1cxxx1crxxTniiiiniTTniiixfFxQQxRR000)()()(max)()()(总净收益总净收益R(x), 整体风险整体风险Q(x)和总资金和总资金F(x)各为各为0( )min( ),0( )i nQFMR xxxx4. 两目标优化模型两目标优化模型第一章第一章 引引 论论 College of Econom
12、ics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua5. 单目标优化模型单目标优化模型求解模型求解模型,Mqk 令令模型模型1求最大化收益。求最大化收益。给定风险水平给定风险水平,qmax( ). .( ),( ),0Rs tQk FMxxxx求解模型求解模型模型模型2求最小化风险。求最小化风险。,r给定盈利水平给定盈利水平,Mrh 令令min( ). .( ),( ),0Qs tRh FMxxxx模型模型3 给定投资者对风险给定投资者对风险-收益的收益的相对偏好参数相对偏好参数 0, 求解模型求解模型0,)(.)()1 ()()(minxx
13、xxxMFtsRQS第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua6. 简化交易费用下的模型简化交易费用下的模型.,;0,; 0, 0)(iiiiiiiiiiiuxxpuxupxxcuipiuixici0(1) 交易费用函数为交易费用函数为第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua(2) 由于固定费用由于固定费用pi ui 的存在在的存在在, 使得模型是非线
14、性模型使得模型是非线性模型,难于难于求解模型。求解模型。表示投资于表示投资于Si 的资金比例。的资金比例。nixpyiii, 1 , 0,)1 (在实际计算中，常假设在实际计算中，常假设M=1，则则 Mxpniii0)1 ( 当当M 很大而很大而 ui 相对较小时相对较小时,可略去可略去 pi ui 的作用的作用,即即ci(xi)=pixi, 则资金约束条件变为：则资金约束条件变为：第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua(3) 简化交易费用下的模型：简化交易费用下的模型
15、：LP1：11max. .,11,0.niiiiniiiiiirpxs tq xkpxxLP2：11min max. .,11,0.iinniiiiiiiiq xs trpxhpxx第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-MaoruihuaLP3：1011min(1). .,11,0.nniiiiniiniiiixrpxs tq xxpxx第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Mao
16、ruihua1.2 优化模型的求解方法优化模型的求解方法(1) (1) 一元函数的无一元函数的无( (有有) )条件极值；条件极值；( (2) 2) 多元函数的无多元函数的无( (有有) )条件极值；条件极值；(3)* 线性(或非线性)规划方法；第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua定理定理 1 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则x
17、xf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf(1) 一元函数的极值与最大一元函数的极值与最大(小小)值值第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua定理定理2 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x第一章第一章 引引 论论 College of Economi
18、cs, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua二、二、最大值与最小值问题 求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求f(x)在(a,b)内的极值可疑点x1,x2,xm ;若函数f(x)在a,b上连续,则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到. (2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathem
19、atic Model-Maoruihua 当f (x)在a,b内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大(小)值 , 则也是最大(小)值 . 当f(x)在a,b上单调单调时,最值必在端点处达到.对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua20AB100CxD例例1. 铁路铁路 AB 段的距离为段的距离为100 km,工厂工厂C 距距A处处20 km , AC AB ,要在要在 AB 线上选定一点线上选
20、定一点 D 向工厂修一条公路向工厂修一条公路,已知铁路与公路每已知铁路与公路每公里货运价之比为公里货运价之比为 3:5 ,为使货物从为使货物从B 运到工厂运到工厂C 的运费最省的运费最省,问问D 点应如何选取点应如何选取? 第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua( k 为某一常数 )解解: 设,(km)xAD 则,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得 ,15x又,015
21、xy所以 为唯一的极小点 ,15x故故 AD =15 km 时运费最省时运费最省 .总运费从而为最小点 ,第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua例例2. 一束光线由空气中一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中点经过水面折射后到达水中B点点(如图示如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1 和和v2 , 光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播, 试确试确定光线的路径。定光线的路径。OQh2
22、h1PAB12x空气水第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua解：设点解：设点 A 到水面的垂直距离为到水面的垂直距离为 AO= h1, 点点B 到水面的垂直距到水面的垂直距离为离为BQ= h2, x 轴沿水面过点轴沿水面过点O、Q, OQ = l。 根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传播的，因而光线从播的，因而光线从 A 点到点到B 点应该经过折射点点应该经过折射点P, 其路径为折线其路径为折线 APB,所
23、需时间为：所需时间为：2211( )hxT xv2222(),hlxv0,xl当当 x 0, l 时时,2222121211( ),()xlxT xvvhxhlx2212332222121211( )0,()hhTxvvhxhlx(0)0,( )0,TT l第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-MaoruihuaT (x)在在0, l上连续上连续,T (x)在在 x (0, l )上有唯一的零点上有唯一的零点x0,且且x0是是T(x)在在(0,l )内唯一的极小值点内唯一的极小值点, 从
24、而从而x0也也是是T(x)在在(0,l )内的极小值点内的极小值点,设设 x0满足满足 T (x)=0, 即即00222212102011,()xlxvvhxhlx与 1 联系与 2 联系第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua因此，因此，1212sinsin.vv 即当点即当点 P 满足上述条件时，满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。即是光线的传播途径。记记012210sin,xhx022210sin,()lxhlx第一章第一章 引引 论论 College of
25、Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua (二) 多元函数的极值 设设 n 元函数元函数 f (x1, x2, xn)具有具有3 阶连续偏导数阶连续偏导数,记记12,12,(,) ,(,) ,TTnnXx xxaa aa,1,2,iiffinx2, ,1,2,ijijijX afhfi jnx x ()ijn nHh第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua多元函数极值的判断多元函数极值的判断定理定
26、理1.1 设设n元函数元函数 f (x1, x2, xn) 具有具有3阶连续偏导阶连续偏导数，且在点数，且在点X=(a1, a2, an)T处邻域内有定义，处邻域内有定义，|H| 0,则则函数函数 f (x1, x2, xn) 在点在点X=(a1, a2, an)T处达到极处达到极大值的充分必要条件是大值的充分必要条件是, 2 , 1, 0nixffaXii且nnijhH)(是负定矩阵(海森矩阵)。第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua111212122212nnnnn
27、nffffffHfff矩阵矩阵H 的正定性的判断方法的正定性的判断方法(1)矩阵对应的二次型大于0；(2) 矩阵H 的顺序主子式全大于0；(3) 矩阵H 的特征值全大于0。第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua定理1.2 设设n元函数元函数 f (x1, x2, xn) 具有具有3阶连续偏导数阶连续偏导数, 且在且在点点X = (a1, a2, an)T处邻域内有定义处邻域内有定义, |H| 0,则则函数函数 f (x1, x2, xn) 在点在点X=(a1, a2,
28、an)T处达到极小值的充分必要条件是处达到极小值的充分必要条件是, 2 , 1, 0nixffaXii且nnijhH)(是正定矩阵(海森矩阵)。第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua1.2.3 二次多项式函数的极值二次多项式函数的极值函数函数 f (x1, x2, xn)是二次多项式时，设矩阵是二次多项式时，设矩阵 AT=A，记记()Tf XX AXBXC注: 当B = 0，且C = 0 时，f (X)即是线性代数中的二次型。推论推论1.1 设函数设函数 f (X)=X
29、TAX+BX+C 是一个二次多项式是一个二次多项式,且且AT=A,则函数则函数f (X)在点在点(a1, a2, an)T 处达到极大值的充分必要条件是处达到极大值的充分必要条件是, 2 , 1, 0nixffaXii且矩阵且矩阵A是负定矩阵。是负定矩阵。推论推论1.2 设函数设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式是一个二次多项式, 且且AT=A。则函数则函数 f (X) 在点在点(a1, a2, an)T处达到极小值的充分必要条件是处达到极小值的充分必要条件是, 2 , 1, 0nixffaXii且矩阵且矩阵A是正定矩阵。是正定矩阵。第一章第一章 引引 论论 College
30、of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua多元函数的条件极值多元函数的条件极值 Lagrange multiplier设函数设函数u = f (x1, x2,xn)具有具有3阶连续偏导数阶连续偏导数,且有且有m个约束条件个约束条件:mnmnnbxxxgbxxxgbxxxg),(),(),(2122121211(一一)约束条件问题约束条件问题(1) 函数函数 u = f (x1, x2, xn) 的自变量的变化范围受到限制的自变量的变化范围受到限制,必须必须满足满足m个约束条件。个约束条件。(2) 要求在这要求在这
31、m 个约束条件下求解函数个约束条件下求解函数u = f (x1, x2, xn)的极大的极大值或极小值值或极小值函数函数 u 的的条件极值。条件极值。第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua(二二) Lagrange multiplier 函数函数引入引入m个拉格朗日乘数个拉格朗日乘数 1, 2, , m ,构造新的函数构造新的函数 拉格朗日拉格朗日乘子函数乘子函数：121212121(,)(,)(,)nmmniiniiF xxxfxxxgxxxb ( (三三) ) 条件
32、极值存在的必要条件条件极值存在的必要条件12121212(,)0,1,2, ,(,)0,1,2,.nminmjF x xxinxF x xxjm 第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua(四四)应用实例应用实例 设某电视机厂生产一台电视机的成本为设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电视机的销售价每台电视机的销售价格为格为 p, 销售量为销售量为 x。假设该厂的生产处于平衡状态。假设该厂的生产处于平衡状态 ，即电视机，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测的生产量
33、等于销售量。根据市场预测, 销售量销售量 x与销售价格与销售价格 p 之之间有如下关系：间有如下关系： (0,0)(1)apxMeMa其中其中M 为市场最大需求量为市场最大需求量,a 是价格系数。同时生产部门根据对是价格系数。同时生产部门根据对生产环节的分析生产环节的分析, 对每台电视机的生产成本对每台电视机的生产成本c有如下测算有如下测算:0ln(0,1)(2)cckxkx其中其中c0是只生产一台电视机的成本是只生产一台电视机的成本,k是规模系数是规模系数.根据上述条件根据上述条件,应该如何确定电视机的销售价格应该如何确定电视机的销售价格 p,才能使该厂获得最大利润才能使该厂获得最大利润?第
34、一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua分析分析：在生产和销售商品过程中,商品销售量、生产成本与销售价格 是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格最优价格,才能获得最大利润。解：设厂家获得的利润为：设厂家获得的利润为u, 每台电视机的生产成本为每台电视机的生产成本为c,销售价格为销售价格为p,销售量为销售量为x, 则利润函数为则利润函数为 u = (p - c) x (3)问题变化为在条件问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最大值。下求解利润函数的最大值。
35、构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数( , , , , )L x p c ()pc x()apxMe0(ln )(4)cckx第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua0()0(5)0(6)0(7)0(8)ln0(9)xappcapLpckxLxaMLxLxMeLcckx 令令由由(8)(9)可得可得)10()(ln0apMkcc由由(8)(6)可得可得1(11)a 由由(7)可得可得(12)x从而从而,有有01)(ln0kaapMkcp第一章第一章 引引 论论 College
36、 of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua最优销售价格为最优销售价格为akkaMkcp11ln0*说明：说明： 在最优销售价格在最优销售价格p*的表达式中含有规模参数的表达式中含有规模参数k、价格系数、价格系数a。为了确定电视机的最优销售价格为了确定电视机的最优销售价格,必须预先给出这些参数。必须预先给出这些参数。第一章第一章 引引 论论 College of Economics, SWUN, 2007Economical mathematic Model-Maoruihua复习：微积分的相关内容复习：微积分的相关内容1. 多元函数的偏导数的求法；多元函数的偏导数的求法；2. 多元函数的无条件极值的求法；多元函数的无条件极值的求法；3. 多元函数的条件极值的求法；多元函数的条件极值的求法；
