1、第七章第七章 向量值函数的积分向量值函数的积分第二型曲线积分第二型曲线积分 Green公式公式 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用2xo2AiA1-iA1Ao oAA= =nAB= =iMzy一、第二型曲线积分一、第二型曲线积分1 1、 第二型曲线积分的概念与性质第二型曲线积分的概念与性质引例：变力沿曲线所作的功引例：变力沿曲线所作的功第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用3xo2AiA1-iA1Ao oAA= =nAB= =iMzyiT第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用4第五章第五章 多元
2、函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用52、第二型曲线积分的定义、第二型曲线积分的定义第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用6 = = = = niiiiiiiiidCsTAdszyxTzyxA10),(),(lim),(),( 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用7第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用8第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用93、第二型曲线积分的性质、第二型曲线积分的性质首首尾尾相相接接. .与与 , ,其其中中2121CCCCC = =反反方方向向的的有有向向曲曲线线弧弧。是是与与其其中中
3、 C C- -（线性性质）（线性性质）（方向性方向性）（对积分弧段的可加性）（对积分弧段的可加性）第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用104、第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算RdzQdyPdxdszyxACC = = ),(dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP)()(),(),( )()(),(),()()(),(),( = = 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用11第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用12x2yx= =yo) 1, 1 ( -A) 1 , 1 (B.54d )d(1 0 0 1
4、= = - -= = xxxxxx第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用13xyo)0 , 1 (A) 1 , 0(Bxyo)0 , 1 (A) 1 , 0(BdyyxdxAByx)()( )1(- - tttttttd)cossin(cos)sin)(sin(cos20 - - - - = = . 1sin2cos220 - -= =- -= = dttt dyyxdxyxAOB)()( )2(- - dyyxdxyxdyyxdxyxOBAO)()( )()(- - - - = = . 12121)(1 0 0 1 - -= =- - -= =- - = = dyyxdx
5、第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用14dttttt31)2(1)33(12)2(1)(10 1 2 - - - - = = 3223)8306(20 1 - -= = = = dttt第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用155、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用16二、二、格林公式格林公式1 1、单连通区域与复连通区域、单连通区域与复连通区域2区域区域 D 的边界曲线的边界曲线 C 的正向的正向DCD1C2C第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用173定理定理
6、3.1（Green 定理）定理）第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用1842R - -第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用19yoxRC.242d)(42 0 0 4322RRddxdyyxRD - -= =- -= =- -= = - -= = 在这里，不能将曲线方程在这里，不能将曲线方程 代入被积函数代入被积函数。222Ryx= = -C第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用20yoxC)0 ,( aAD,cos),(myeyxQx- -= =,cosmyeyPx- -= = ,cos yexQx= = = =Dmd 第五章第
7、五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用2102 2 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用22=-DdxdyyPxQ0)(。 公式GreenI解：229yxyP-=，229yxxQ=， xQyxxyyP=-=22222)9(9，0=-yPxQ（)0 , 0(),(yx） 。 yox)0 , 2(AC（1）2R当时， 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用23（2）2R当时， 在 C 所围成的区域内作正向椭圆 2229:=yxC，则在-CC与所围成的复连通区域 D 上，满足公式 Green的条件，得 公式公式Greenyox)0 , 2( AC
8、C0)(=-=-=-dxdyyPxQCCDCC = =CC-=CyxydxxdyI229 -Cydxxdy21清除奇点清除奇点.3232222= =Ddxdy第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用24三、平面曲线积分与路径无关的条件三、平面曲线积分与路径无关的条件第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用25第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用26第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用27 = = = =yyxxyxyxdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPyxu ),( ),( ),(),( ),(),(),(o
9、oooo),(ooyxA),(oyxM),(yxNo),(yxByox第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用28曲线积分中类似牛曲线积分中类似牛- -莱公式的结论：莱公式的结论：第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用29yox)0 ,2( A第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用30CD),(-A),(-Byox第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用31E = = - - - = =AEBCyxdyyxdxyxI22)()(dttttttt - - - - - = =452242cos)sin(cos)sin)(s
10、in(cos)2( .231)( 454 - -= =- -= = - -dtyox),(-A),(-B第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用32.arctanarctan00022xyxyyxxdyyy= = = = = )0 , 1 (A)0 ,(xB),(yxCyox第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用33)( - - = =- -Cdxeeexfdxxdx,212xxxxeCeCdxee- -= = - -= =- - - 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用34第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用3
11、5四、四、全微分方程全微分方程第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用36 - - - - - = =),()0, 0(2222)2()2(),(yxdyyxyxdxyxyxyxu解解法法 1： （曲曲线线积积分分法法） 33)2(3223 0 22 0 2yxyyxxdyyxyxdxxyx- - - = =- - - = = 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用37解法解法2（偏积分法偏积分法） 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用38dyyxyxdxyxyx)2()2(2222- - - - - )2()2()3131(2233xydydxydyxxydxyxd - - - -= =)()()3131(2233xydyxdyxd- - - -= =)3131(2233xyyxyxd- - - -= =解法解法3（凑微分法凑微分法） 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用39练习：练习：4()ab 02- -第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用40A2第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用4124()92 -第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用42
