1、第二章随机变量及其概率分布o1随机变量随机变量o2离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布o3连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布 o4第四节第四节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布第二章 随机变量及其概率分布第二章随机变量及其概率分布第一节 随机变量一、随机变量的概念在前一章里，很多随机试验的样本空间的样本点是与实数对应的，而有一些结果虽然不能直接与实数对应，但是我们可以将其用数量标识为方便地研究随机试验的各种结果及其发生的概率，对于每一个随机事件，如果能用一个数量来表示将会带来极大的方便 例1 投掷一枚硬币，只有两种可能的结果： 1正面朝上， 2反面朝上， 定义函数：121
2、,( )0,X第二章随机变量及其概率分布定义1 设随机试验E的样本空间是，如果对每一样本点 都有唯一的一个实数 ( )X与之对应， 这样就得到一个定义在上的实值单值函数)(XX 我们称之为定义在上的一个随机变量随机变量 随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点特点： 变异性、随机性第二章随机变量及其概率分布例2 掷一颗骰子，令X表示出现的点数，则X就是一个随机变量它的所有可能取值为1，2，3，4，5，6； 3X 表示掷出的点数不超过3这一随机事件； 2X 表示掷出的点数大于2这一随机事件 我们还可以定义其它的随机变量，例如定义： 1,2,0,2,xYx1,6,0,6.xZx第二章随机变量及其概
3、率分布 例4 一个公交车站，每隔10分钟有一辆公共汽车通过，一位乘客在任一随机时刻到达该站，则乘客等车时间X为一随机变量，它的取值为： ， 010X5X 表示 等车时间不超过5分钟这一随机事件； 28X表示 等车时间超过2分钟而不超过8分钟这样的随机事件例3 上午 8:009:00 在某路口观察，令X为该时间间隔内通过的汽车数，则X就是一个随机变量它的取值为 0，1，； 1000X 表示通过的汽车数小于 1000辆这一随机事件； 500X 等于500辆这一随机事件表示通过的汽车数大于第二章随机变量及其概率分布二、随机变量的分类从上述例子可知，随机变量的取值各种各样，有的只能取有限个数值，有的则
4、可以取可列无数个数值，还有的是在某个区间内取值，因此，根据随机变量的取值情况将其分为两大类：离散型和非离散型定义定义2 2 若随机变量X只可能取有限个值或可列无限个值（即取值能够一一列举出来），则称X为离散型随机变量，否则称为非离散型随机变量第二章随机变量及其概率分布第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 一、概率分布及其性质 第二章随机变量及其概率分布分布律还可以用表格表示为： 分布律具有以下性质分布律具有以下性质:，非负性21, 0. 1kpk1. 21kkp规范性第二章随机变量及其概率分布例1 袋中有5只分别编号为1，2，3，4，5的球，从袋中同时随机地抽取3只，以X
5、表示取出的球中的最大号码，试求随机变量X的分布律例2 设随机变量X的概率分布为X123Pa27a2aa试确定常数 a的值，并求分布函数 ( )F x第二章随机变量及其概率分布510)(344034355，kCCCkXPkk第二章随机变量及其概率分布X01234Pp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4X01234P 0.50.250.1250.0625 0.0625 例例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相互独立的),求X的分布律. 解解:以p表示每个信号灯禁止
6、汽车通过的概率,易知X的分布律为 或写成PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3;PX=4=(1-p)4. 以p=1/2代入得第二章随机变量及其概率分布5 , 4 , 3 , 2 , 1,)(kakkXP1265)(5151aakkXPkk151a.(2)2521( XP)21 ( XP从而)2() 1(XPXP5115215151152151)2() 1(XPXP第二章随机变量及其概率分布二、常见分布二、常见分布定义定义2 2 如果随机变量X的概率分布为 X01P1-pp则称X服从两点分布 ，其中 01p特别地，当 120,1xx时，则称X服从参数为p的01分布，(1, )XBp1 1两
7、点分布两点分布记作第二章随机变量及其概率分布X01Pk0.550.45第二章随机变量及其概率分布X01Pk0.10.6+0.3第二章随机变量及其概率分布当取到正品时当取到次品时, 1, 0)(XX当取到正品时当取到次品时, 0, 1)(YY 例例:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.若定义随机变量X为则有 PX=0=0.05,PX=1=0.95若定义随机变量Y为则有 PY=0=0.95,PY=1=0.05从中看到X,Y都服从(0-1)分布第二章随机变量及其概率分布例3一批种子的发芽率为95%，从中任意抽取一粒进行实验，用随机变量X表示抽出
8、的一粒种子发芽的个数，求X的分布律及分布函数2 2二项分布二项分布定义3 如果随机变量X的概率分布为(1), 0,1,2,kkn knP XkC ppkn则称随机变量X服从为参数为n，p的二项分布，( , )XB n p特别地，当n=1时，二项分布就是参数为p两点分布记为第二章随机变量及其概率分布 二项分布产生于n重伯努利（Bernoulli）试验事实上，设X表示n重伯努利试验中A发生次数，p为A发生的概率，则 ( , )XB n p例4 某人进行射击训练，每次射中的概率为0.02，独立射击400次，求至少击中1次的概率第二章随机变量及其概率分布第二章随机变量及其概率分布1239. 04 .
9、06 . 0)3() 1 (5338CXP)2() 1 ()0()2()2(888PPPXP622871880084 . 06 . 04 . 06 . 04 . 06 . 0CCC0498. 0) 1 ()0(1)2()3(88PPXP71880084 . 06 . 04 . 06 . 01CC9915. 0第二章随机变量及其概率分布X012345678P0.00070.00790.04130.12390.23220.27870.20900.08960.0168第二章随机变量及其概率分布2.2.3 0-1分布和二项分布的关系分布和二项分布的关系 ，否则发生次试验中，第01AiXini, 2 ,
10、 1X01Pi1-ppni, 2 , 1第二章随机变量及其概率分布nXXXX21第二章随机变量及其概率分布3 3泊松（泊松（PoissonPoisson）分布）分布定义4 如果随机变量X的概率分布为, 2 , 1 , 0,!)(kekkXPk( )XP例5 一本畅销书共100页，如果每页上印刷错误的数目服从参数 的泊松分布，且各页的印刷错误的数目相互独立，求该合订本中各页的印刷错误的数目都不超过4个的概率 2第二章随机变量及其概率分布) 1()0(1)2(XPXPXP9826. 0! 16! 061660ee第二章随机变量及其概率分布解解 )3(XP(1) 45-35e!5!5)4() 3(k
11、kkkkekXPXP140374. 0734974. 0875348. 0(2) 986305. 0013695. 01!51)11(1)10(511ekXPXPkk) 1() 3() 1()1() 3() 13(XPXPXPXXPXXP881286. 0993262. 0875348. 0!5/!51535kkkkekek(3) 第二章随机变量及其概率分布定理1（泊松定理） 设随机变量 nX服从二项分布 ( ,)(1,2,)nB n pn ，其中 np与n有关，若数列 np满足 limnnnp，则 lim lim(1)e!kkkn knnnnnnP XkC ppk(0)kn例6 用步枪射击飞
12、机，每次击中的概率为0.001，今独立地射击6000次，试求击中不少于两弹的概率第二章随机变量及其概率分布 例例:设某人每次射击的命中率为0.02.独立射击400次,试求至少击中两次的概率. 解解:将每次射击看成一次试验.设击中的次数为X,则XB(400,0.02). X的分布律为PX=k=C400k0.02k0.98400-k ,k=0,1,2,400于是所求概率为 PX2=1-PX=0-PX=1 =1-0.98400-4000.020.98399 直接计算上式很麻烦.第二章随机变量及其概率分布第二章随机变量及其概率分布)8()10000050000500000(XPXP002. 02500
13、80!)002. 02500(ekkkkkkkC2500802500)998. 0()002. 0(59!51ekkk931906. 0068094. 01第二章随机变量及其概率分布4 4几何分布几何分布例7 一次接一次地向同一目标射击，各次射击独立进行，每一次射击的命中率都是 ，直到首次命中目标为此以X表示所作的射击次数，试求X的分布律(01)pp解 如果以 ) 1( kAk表示第k次射击命中目标的事件， 则由题设知： pAPk)(121nnXnA AAA由独立性得 1, 1nP Xnqpqp 1,2,n 称该例题的分布为几何分布.第二章随机变量及其概率分布几何分布具有无记忆性几何分布具有无
14、记忆性. .即 mXPnXmnXP因为 pqpqpqnXPnnn2112()1nnnnnpqp qqqqq于是,P Xnm XnP XnmP Xnm XnP XnP Xnn mmnqqP Xmq第二章随机变量及其概率分布5超几何分布 设有一批产品共N件，其中M件是次品从中随机地（不放回）抽取n件产品进行检验以X表示抽取出来的n件产品中次品的个数，则由古典概率计算公式可得,0,1,min ,kn kMN MnNC CP Xkkn MC称随机变量X服从超几何分布，记作 (, )XH M N n第二章随机变量及其概率分布三、分布函数三、分布函数例6 抛掷一枚骰子，用X表示出现的点数，则1,1,2,3
15、,4,5,66P Xkk随机变量X的分布函数为 0 ,1,( ),1 ,1,2,3,4,5,61 ,6.xkF xkxkkx第二章随机变量及其概率分布例7 向半径为0.5米的圆形靶子射击，假设击中靶上任何同心圆的概率与该同心圆的面积成正比，且每次射击必中靶令X表示弹着点到靶心距离，求X的分布函数 . ( )F x分布函数为解 20,0,( )4,00.5,1,0.5.xF xxxx第二章随机变量及其概率分布X-123P1/41/21/43, 4/12/14/132, 2/14/121, 4/11, 0)(xxxxxF3, 132, 4/321, 4/11, 0)(xxxxxF例:设随机变量X的
16、分布律为求X的分布函数,并求PX1/2,P3/2X 5/2,P2 X 3.解:由概率的有限可加性得即 PX1/2=F(1/2)=1/4 P3/2X 5/2 =F(5/2)-F(3/2) =3/4 -1/4=1/2 P2 X 3 = F(3)-F(2)+PX=2 =1-1/4+1/2=3/4第二章随机变量及其概率分布-11230.250.51xF(x)F(x)的示意图第二章随机变量及其概率分布离散型随机变量分布函数的计算离散型随机变量分布函数的计算o设离散型随机变量分布律为设离散型随机变量分布律为PX=PX=x xk k=p pk k, ,k k=1,2,=1,2, 由概率的可列可加性得由概率的
17、可列可加性得X X的分布函数为的分布函数为F(F(x x)= PX)= PXx x=PX=PXx xk k=p pk k 这里和式是对于所有满足这里和式是对于所有满足x xk kx x的的k k求和求和. .第二章随机变量及其概率分布解解 (1) 7 . 0)3()3(FXP)321( XP5 . 02 . 07 . 0)21()3(FF第二章随机变量及其概率分布随机变量X的分布函数 ( )F x的几个性质： 由分布函数的定义，对任意实数 )()(lim)0(0000 xFxFxFxx. 12,x x12()xx，有 122121()()P xXxP XxP XxF xF x第二章随机变量及其
18、概率分布2.5 连续型随机变量连续型随机变量0)()(xXPxF)()(xXPxFabax)()(xXaPaXP)(0 xXaP第二章随机变量及其概率分布1)()(xXPxF综上所述bxbxaabaxaxxF，10)(如果令 ，其他，01)()(bxaabdxxdFxf则有 dttfxFx)()(第二章随机变量及其概率分布第三节第三节 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布一、连续型随机变量及其概率密度函数第二章随机变量及其概率分布概率密度 ( )f x具有以下性质： （1）非负性 ( )0f x （2）规范性 ( )1f x dx（3）若 ( )f x在 点连续，则 x( )( )F
19、xf x（4）对任意的实数a，b有， ( )( )( )baP aXbF bF af x dx对于连续型随机变量X取任一指定实数值a的概率均为0，即 0P Xa因此，对于连续型随机变量X有P aXbP aXbP aXbP aXb第二章随机变量及其概率分布关于密度函数的性质，下面作一些说明：连续型随机变量的分布函数( )F x的值就是曲线 ( )yf x从 到 x与 轴所围成的面积 图形如下 x概率 P aXb的值等于在区间 , a b上以曲线 ( )f x为曲边的曲边梯形的面积 图形如下 第二章随机变量及其概率分布例1 设连续型随机变量X的分布函数为0,( )arcsin,1,xaxF xAB
20、axaaxa 试求（1）参数A,B； （2）X的概率密度 ( )f x（3） 222aaPx第二章随机变量及其概率分布解解 f(x)的图形如图 20020)(xtdtdtxFx00)(xdtxF第二章随机变量及其概率分布236)66(20)(2212100 xxdtttdtdtxFx10)66(20)(11212100 xdtdtttdtdtxF从而得1112123621000)(22xxxxxxxxF，第二章随机变量及其概率分布解解 由密度函数性质(1) AdxxAxdxxf65) 1()(110,从而 56A(2) 211)()211(dxxfXP51) 1(5602/1001dxxxdx
21、第二章随机变量及其概率分布第二章随机变量及其概率分布解解 任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为32100100)()150(1501502150 xdxxdxxfXPp(1) 1317. 0)31()32()5(0555CYP(2) )5()4()4(YPYPYP4609. 0)31()32(31)32(0555445CC第二章随机变量及其概率分布其他, 021 ,10,)(xxaxxxp1)2(2)()(12121022110axaxxdxxaxdxdxxp其他, 021 ,210,)(xxxxxp25 . 1125. 0)2(25 . 1dxxXP 例例:试确定常数a,使为某个随机变量
22、X的概率密度,且计算事件1.50.1. 解解 由于即有解得K=3.于是X的概率密度为第二章随机变量及其概率分布解解（1） ) 15 . 0( XP（2） )2(XP35 . 115 . 0315 . 033eeedxexx623233eedxexx第二章随机变量及其概率分布（3） )(XXP33)(3eee)()(XPXP)(),(XPXXP)(1)(1FF第二章随机变量及其概率分布3正态分布第二章随机变量及其概率分布正态分布的概率密度 ( )f x的图形如下，称该曲线为正态曲线，它是一条钟形曲线具有以下特征：（1）曲线 ( )f x关于 对称； x（2）当 时，函数处达到最大值 x1( )2
23、f（3） 轴是曲线 的渐近线； x( )f x当 时曲线 上有拐点； x( )f x第二章随机变量及其概率分布（4）如果固定参数 的值不变，改变参数 的值，2则 ( )f x的曲线沿着 x轴平行移动而形状不改变；如下图 故 称之为位参； （5）如果固定参数 的值不变，改变参数 的值，2则 ( )f x的形状会改变，故 2称之为形参；如下图 第二章随机变量及其概率分布因为 的曲线关于y轴对称，见图故有 ( ) x()1( )xx 2 ( ) 1P Xxx 第二章随机变量及其概率分布定理 设 2( ,)XN ，分布函数为 ( )F x，则有 (0,1)XN即 ( )()xF xP Xx 证 作变换
24、 ty，有 222()2211( )()22txyxxF xedtedy 所以 ( )()xF x 若 ，则 2( ,)XN ( )( )()()baP aXbF bF a 第二章随机变量及其概率分布例4 设 ，计算 ， 2(3.4,2 )XN5.8P X 06PX例例5 5 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内, 调节器整定在d,液体的温度T(以计)是随机变量,且TN(d,0.52). (1)若d=90,求X小于89的概率. (2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少为多少?第二章随机变量及其概率分布解解 )45()62()6245(FFXP)5 . 0(1 )
25、2 . 1 ()5 . 0()2 . 1 (5764. 06915. 018849. 0)6040()1050(XPXP1) 1 (2)1 (1 ) 1 () 1() 1 (6826. 018413. 02)105045()105062()105040()105060(第二章随机变量及其概率分布解解 45. 0)640()()(111xxFxXP所以)640(1x查表得13. 06401x从而22.3940613. 01x55. 045. 01)640(11x第二章随机变量及其概率分布解解 由)(1)(22xFxXP 知86. 0)6402x（ 查表得08. 16402x从而48.464060
26、8. 12x在自然现象中,大量随机变量都服从或近似服从正态分布. 在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中正态分布随机变量起着极其重要的作用.14. 0)640(12x第二章随机变量及其概率分布第四节第四节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 ( )g x()Yg X()Yg X 一般地，设X是随机变量， 是一实值连续函数， 则 称为X随机变量的函数，可以证明Y也是一个随机变量在这一节中，将讨论当随机变量X的分布已知时，求随机变量 的概率分布方法下面分不同的情形进行讨论第二章随机变量及其概率分布一、离散型随机变量函数的分布设X为离散型随机变量，其概率分布如下表则随机变量 也是离散型随机变量，
27、其可能取值为 ()Yg X( ),1,2,iiyg xi1.如 各不相等，则随机变量Y的概率分布如下表 ( )ig x第二章随机变量及其概率分布2.如 有若干个函数值相等，即存在 ( )ig x,ijxx有 *( )()ijg xg xy，那么必须把相应的概率 ip相加后合并成一项即有*()iig xyP YyP Xx例1 设X是离散型随机变量，其概率分布为X-2 0 2P 0.12 0.33 0.55试求（1） 23YX ；（2） 的分布律 2ZX第二章随机变量及其概率分布二、连续型随机变量函数的分布一般地，连续型随机变量的函数不一定都是连续型随机变量，在此只讨论连续型随机变量的函数还是连续
28、型随机变量的情形下面通过具体的例子来导出解决此类问题的一般方法例2 设随机变量X的概率密度为232,0,( )0,0,xXx exfxx试求 的概率密度2YX第二章随机变量及其概率分布下面给出求 的分布函数与密度函数的一般步骤： ()Yg X1由随机变量X的值域，确定随机变量函数Y的值域2对任意一个实数y，将 ( ) ()YFyP YyP g Xy通过事件的恒等变换表示为 ( )yyXSP XSfx dx求出相应 ( ),YFyyR其中 ( )ySxg xy若干个区间的并集是一个或3对得到的分布函数 两边关于y求导， ( )YFy即可得密度函数 ( )Yfy第二章随机变量及其概率分布例例: :
29、设X服从参数为的泊松分布,试求Y=f(X)的分布列.其中为奇数为偶数xxxxf, 10, 0, 1)(解解 易知Y的可能取值为-1,0,1,且有0120)!12(121kkkekkXPYPPY=0=PX=0=e-121)!2(21kkkekkXPYP第二章随机变量及其概率分布其他, 040 ,8)(xxxpX求随机变量Y=2X+8的概率密度.解解 先求Y=2X+8的分布函数FY(y).82)(yXPyYPyFY于是得Y=2X+8的概率密度为)28)(28()(yypypXY例：例：设随机变量X具有概率密度28)(28yXdxxpyXP其他, 04280 ,21)28(81yy其他, 0168
30、,328yy第二章随机变量及其概率分布解 当 时， ； 0y ( )0Yfy 当 ，则 0y 2230( )02yxF yP YyP XyPXyx edx上式两边对y求导数，由变上限积分求导公式有 2()31( )( )2()2yyYfyF yyeyey所以 的概率密度函数为 2YX0,0,( ),0.Yyyfyyey第二章随机变量及其概率分布定理定理设连续型随机变量X的概率密度为 ( )Xfx，又设 ( )yg x是处处可导的严格单调函数，则 ()Yg X连续型随机变量，其概率密度为也是一个 ( )( ) ,( )0,XYfh yh yyfy其他，其中 是 的反函数， ( )h y( )g
31、x 分别 是的最小值, ( )yg x和最大值第二章随机变量及其概率分布例3设随机变量 ，求Y的概率密度函数 (0,1),XXNYe第二章随机变量及其概率分布解解 先根据Y与X的函数关系式求Y的分布函数:)()()(ybaXPyYPyFY0),(1)(0),()(aabyFabyXPaabyFabyXPXX若若第二章随机变量及其概率分布yeaeaaabyaby,21212222)(2)(2)()( ,(2aabN即Y 从而0,1)(0,1)()()(aaabyfaaabyfdyydFyfXXYY若若aabyfX1)(第二章随机变量及其概率分布解解 X的取值范围为(0,1), 从而Y的取值范围为(1,3) 当1y3时,Y的分布函数为)12()()(2yXPyYPyFY)21()21()2121(yFyFyXyPXX由于x0时，0)(xFX从而0)21(yFX 因此当1y3时，)21()(yFyFXY，其他，0311421221)21()()(yyyyfdyydFyfXYY
