1、6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示温故知新温故知新平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数1，2，使 = 1 e1+ 2 e2aaa(1)我们把不共线向量我们把不共线向量e1、e2叫做表示叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量由定理可将任一向量a在给出基底在给出基底e1、e2的条件下进行分解；的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一基底给定时，分解形式唯一. 1,2是被是被 a ,e1、
2、e2唯一确定的数量。唯一确定的数量。F1F2GG=F1+F2类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量1a1和2 a2,使a=1a1 + 2 a2新课引入新课引入G与与F1,F2有什么关系有什么关系?把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解正交分解若两个不共线向量互相垂直时a1a12 a2F1F2G正交分解正交分解2 32aij把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量做把向量. .如图，向量如图，向量是两个互相垂是两个互相垂直的单位向量，向量直的单位向量，向量与与的夹角是的夹角是3030，且，且，以
3、向量，以向量为基底，向量为基底，向量如何表示？如何表示？, i j ai4a , i j aB BO OA AP PijaABCDoxyija如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则, i j , i j .a a = i +xjyxy对于该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，可使 i i = =j j = =0 0 = =（1，0）（0，1）（0，0）( , )ax y其中，其中，x叫做叫做 在在x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫做叫做 在在y轴上的轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示坐标，式叫做向量的坐标表示. .
4、aa这样，平面内的任一向量这样，平面内的任一向量 都可由都可由x，y唯唯一确定，我们把（一确定，我们把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）的（直角）坐标，记作坐标，记作aa例1：如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1 2 3 4-4 -3 -2 -154321-1-2-3-4-5ji1 2 3 4a=(2,3)由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,例例2 2已知已知 ，求，求 的坐标的坐标. . ABOxyB(x2,y2)A(x1,
5、y1)ABOBOA 结论结论1 1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。线段终点的坐标减去始点的坐标。1122( ,), (,)A x yB xy2,211()( ,)x yx y2121(,)xx yyyOxajixiyjxiyjb向量a、b有什么关系?ab能说出向量b的坐标吗?b=( x,y )例例3 3在直角坐标系内画出下列向量在直角坐标系内画出下列向量. .(1)(1,2)a (2)( 1,2)b (1,2)A.xyoaxyo( 1,2)B .b例例4已知四边形已知四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A(0,2),B(-1,-
6、2),C(3,1),且且 ，则顶点，则顶点D的坐标为的坐标为（ ）2BCAD A. （2， ） B.（2， ）C. （3，2） D.（ 1，3）7212 A解析：解析：设设D（x, y），），(4,3),( ,2),2BCADx yBCAD 由得得x=2,y= ,故选故选A72例5.解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y）( 123 112AB （）， ）（， ）(3,4)DCxyABDC 由，得(1,2)(3,4)xy1324xy22xy已知已知 ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为( (2,1)2,1)、( (1,3)1,3)、(3,4),(3,4),求
7、顶点求顶点D D的坐标的坐标11yxOABCD随堂练习随堂练习1 a= 4,6 ,a=2b,b、且且那那么么 的的坐标是坐标是A A、(3,2) B(3,2) B、(2,3) C(2,3) C、(-3,-2) D(-3,-2) D、(-2,-3)(-2,-3)B2a= x-2,3b= 1,y+2、若若向向量量与与向向量量相相等等，那那么么A A、x=1,y=3 Bx=1,y=3 B、x=3,y=1x=3,y=1C C、x=1,y=-3 Dx=1,y=-3 D、x=5,y=-1x=5,y=-1B3AB= x,y , B -2,1 ,OA 、已已知知的的坐坐是是那那么么的的标标坐标为坐标为A A、
8、(x-2,y+1) B(x-2,y+1) B、(x+2,y-1)(x+2,y-1)C C、(-2-x,1-y) D(-2-x,1-y) D、(x+2,y+1)(x+2,y+1)CABCDoxyij4.如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设设 ，填空：，填空： OA = i,OB = j（1）| |= _,| j|= _,|= _;（2）若用）若用 来表示来表示 ，则：，则： i,j OC,ODOC = _,OD = _. 3 i +4 j 5 i +7 j11535475 5、已知平行四边形、已知平行四边形ABCDABCD
9、的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C的坐标分别为的坐标分别为（-2-2，1 1）、（）、（-1-1，3 3）、（）、（3 3，4 4），求顶点），求顶点D D的坐标的坐标. .4321-1-2-3-4-6-4-2246x xy yO OA(-2,1)A(-2,1)B(-1,3)B(-1,3)C(3,4)C(3,4)D(x,y)1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念: :2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解: :(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标; ;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标. .3.3.平面向量共线的坐标表示：平面向量共线的坐标表示：axiyj(x,y).向量向量 共线共线 x x1 1yy2 2=x=x2 2yy1 1a,b(b0) 小结小结
